Figure - 1
On remarquera que dans la plupart des cas les contributions des d i f -férents modes sont plus importantes pour les fréquences basses, et tentent S être négligeables pour les fréquences plus hautes. I l en résulte qu'il n'est généralement pas nécessaire d'inclure tous les modes de vibration 3 f r é -quence élevée dans la superposition. La série comprenant les nodes i superposer peut donc être tronquée lorsque la réponse a été obtenue avec un degré de preci-sion suffisant. Une autre raison pour limiter le nombre de modes à considérer dans un calcul dynamique, c'est que la modélisation mathématique d'un système complexe conduit 8 des résultats relativement peu précis pour les modes S fréquences élevées.
Cette méthode comme la précédente, procure la réponse au cours du temps d'une structure A un chargement dynamique, avec la différence que, d'une part, les modes de fréquences élevées ne contribuant pas beaucoup à la réponse totale peuvent être
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-négligés. En pratique, on ne considère que les touts premiers modes, ce qui diminue considérablement le volume de calcul pour une structure complexe a plusieurs degrés de liberté.
D'autre part, la détermination des facteurs d'amortissement pour chaque mode est plus commode que la détermination des coefficients d'influence d'amortissement.
Ces deux avantages font que cette dernière méthode est généralement employée pour l'analyse dynamique des systèmes élastiques linéaires dans le cas où Von s'intéresse aux réponses du système au cours du temps.
La variation au cours du temps des déplacements d'une structure peut être con-sidérée comme la mesure fondamentale de sa réponse a un chargement dynamique. On peut calculer directement les autres éléments de la réponse, telles que les contrain-tes ou les forces produicontrain-tes dans certaines parties de la structure, & partir des déplacements. Par exemple, les forces élastiques qui s'opposent S la déformation de la structure. Ainsi la variation des forces élastiques est calculée au cours f*u temps. Hais dans les cas courants et en pratique, ce qui est recherché, n'est pas la variation au cours du temps des déplacements de la structure ou la variation de la force élastique engendrée dans la structure, mais les maximums de ces valeurs-Dans ce cas la méthode la plus appropriée est la méthode quasi-statique équivalente (mëthode de spectre de réponse).
2.3 METHODE par 1'ANALYSE MODALE et UTILISATIOr! di^SPECTRE de REPONSE L'outil fondamental du calcul "sêismique" par cette méthode est le spectre de réponse. Un spectre de réponse (d'oscillateur) constitue une représentation d'un accélérogramne donné. Ainsi, un séisme dans cette méthode est représenté par son spectre de réponse correspondant, ce qui a lui seul, permet de calculer la réponse d'une structure linéaire.
De la même manière que dans la méthode de superposition modale, a partir du système d'équations de mouvement d'une structure, en utilisant les coordonnées principales, on obtient l'équation du mouvement de chaque mode de vibration, ainsi que la fréquence propre et levecteur modal de chacun d'eux. A partir de ce stade
(») Annexe A
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-de calcul, la procédure -de calcul change par rapport à la métho-de précé-dente.
Cette f o i s - c i , nous ne calculons pas la réponse de chaque mode a un séisme donné (par exemple, par l'intégrale de Duhamel) mais nous obtenons la réponse maximale de chaque mode & un séisme à l'aide de son spectre de réponse. Connaissant la fréquence (f) et le coefficient d'amortissement (V de chaque mode et ayant le spectre de réponse, nous reportons la fréquence sur 1'abscisse du spectre. La ligne perpendiculaire i l'abscisse en ce point coupe la courbe correspondante au coefficient d'amortissement considéré en un point (P) . Une ligne perpendiculaire S un des axes des réponses ! partir de ce point (?) procure la réponse recherchée (figure 2 ) ,
En répétant cette procédure de calcul pour chaque mode, nous obtenons la réponse de chaque mode. Pour avoir la réponse totale de la structure, 11 s u f f i t de combiner ces réponses. Et c'est justement 13 que la d i f f i c u l t é commence : Com-ment doit-on combiner ces réponses, sachant qu'il n'y a pas de raison que ces ré-ponses maximales soient de même signe, ni soient produites au même moment. La super position des valeurs absolues des réponses par la sommation arithmétique sera alors une surestimation de la réponse totale. Une méthode généralement employée dans ce cas, consiste S considérer les modes de vibration indépendants, puis pour obtenir la réponse t o t a l e , conformément aux lois statistiques, faire la moyenne quadratique des carrés des réponses. Ainsi la réponse est la racine carrée de la somme des
car 211 car
-rés des réponses. Evidemment, a p r i o r i , nous ne savons pas si la réponse ainsi obtenue est une surestimation ou une sous-estimation de la vraie réponse.
Des études entreprises et rapportées par Newmark et Al.(1965), Jennings et Newmark (1960) e t encore Jennings et Newmark (1960) Cl J portant sur un ensem-ble de structures â plusieurs degrés de l i b e r t é et soumis â différents séismes (accëlêrogrammes) ont montré des résultats intéressants. Dans ces études, la réponse de chaque système a été calculée, d'abord par calcul dynamique d i r e c t par l ' i n t é g r a t i o n pas à pas des équations du mouvement, puis par l'analyse spectrale.
La vraie réponse obtenue par l a première méthode a été comparée avec celles obte-nues par l a deuxième méthode ( l a somme des valeurs absolues des réponses et la racine carrée de la somme des carrés des réponses). Nous pouvons ainsi résumer les r é s u l t a t s .
Pour les systèmes ayant moins de quatre degrés de l i b e r t é , la vraie réponse à un séisme est très proche mais un peu moins de la somme des valeurs obsolues des réponses modales. En revanche, pour des systèmes â plus de douze degrés de l i b e r t é , la vraie réponse est très proche de l a racine carrée de la somme des carrés des réponses modales. La vraie réponse des systèmes ayant un degré de l i -berté intermédiaire représenterait la moyenne des deux valeurs.
Comme exemple, nous présenterons une étude de Newmark en ce domaine. Cette étude concerne deux systèmes â cinq degrés de l i b e r t é . Pour le premier, les masses et les r i g i d i t é s sont les mêmes.
Dans le deuxième cas, les masses sont les mêmes mais les r i g i d i t é s varient Les réponses de ces deux systèmes sont calculées pour une excitation de sol due à une explosion nucléaire, enregistrée i Aardwark. Les réponses sont données sous forme de déplacements r e l a t i f s de chacun des cinq étages. Les réponses obtenues par l a somme des valeurs absolues des réponses modales ou par la racine carrée de la somme des carrés des réponses modales ainsi que la réponse exacte, calculée par l ' i n t é g r a t i o n pas â pas des équations du mouvement, sont présentées sur les f i g u -res 3 et 4. Dans ces f i g u r e s , la valeur SA = 1.00 s cor-respond au cas où la valeur approximative égale la vraie valeur. Comme démontre les f i g u -res 3 et 4 la somme des valeurs absolues des réponses, se situe souvent, au