Le complexe cubique n’est pas de dimension finie. En effet, nous pouvons trouver des cubes de dimension arbitrairement grande. Pour tout n ∈ N et pour tout ensemble de n points de P2, il existe un cube de dimension n de base P2 et dont les sommets
imposons que pour tout n les points de P2 choisis soient p
1, . . . , pn nous obtenons
une suite de cubes emboîtés. Ainsi, muni de la distance d ce complexe cubique n’est pas un espace métrique complet.
Ce complexe cubique est connexe par arcs. En effet, étant donnés deux repré- sentants de sommets (S1, ϕ1) et (S2, ϕ2) l’application ϕ−12 ◦ ϕ1 est une application
birationnelle allant de la surface S1 vers la surface S2. D’après le théorème de facto-
risation de Zariski (Théorème 1.1.6), cette application se décompose en composées d’éclatements. Les surfaces intermédiaires forment les sommets reliant les deux som- mets (S1, ϕ1) et (S2, ϕ2).
Soit s un sommet de C. Nous pouvons lui associer un complexe simplicial appelé link de s et noté Lk(s), de la façon suivante. Les simplexes de dimension n corres- pondent aux cubes de dimension n + 1 de C qui contiennent le sommet s de sorte qu’un simplexe S1 de Lk(s) est une face d’un simplexe S2 si le cube correspondant
à S1 dans C est une face du cube correspondant à S2. Il ne semble pas exister de
terminologie correspondante en français donc nous emploierons le mot anglais. Par exemple si nous considérons le sommet d’un carré (ou cube de dimension 2), le link associé est un graphe muni de deux sommets reliés par une arête. Si maintenant, nous ne considérons pas le carré mais seulement son 1-squelette alors le link associé à tout sommet est constitué de deux sommets non reliés.
Un complexe de drapeau, ou « flag complex » en anglais est un complexe simplicial tel que tout ensemble de n+1 sommets deux à deux adjacents engendrent un simplexe de dimension n.
Le théorème suivant est dû à Gromov dans le cas des complexes cubiques de dimension finie. I. Leary généralise ce résultat aux complexes cubiques de dimension infinie ([Lea13]). C’est un théorème puissant pour montrer que les complexes cubiques sont CAT(0).
Théorème 5.2.1 (Gromov). Soit C un complexe cubique simplement connexe. Le complexe est CAT(0) si et seulement si tous les links sont des complexes de drapeau. Nous l’utilisons afin de montrer que le complexe cubique que nous avons construit est CAT(0).
Proposition 5.2.2. Le complexe cubique est CAT(0).
Démonstration. D’après le théorème 5.2.1, il faut montrer que le complexe cubique C est simplement connexe et que tous ses links forment des complexes de drapeau.
1) Montrons dans un premier temps que les links sont des complexes de drapeau. Soit v un sommet du complexe cubique. Considérons une famille {s1, . . . , sn+1} de
sommets de Lk(v) telle que ces sommets sont deux à deux adjacents dans Lk(v). Notons vi le sommet de C tel que si appartienne à l’arête [v, vi]. Ainsi tout sommet
dans le link de v correspond à l’éclatement d’un point ou à la contraction d’une (−1)-courbe. Il nous reste à montrer que v appartient à un cube de dimension n + 1 dont les arêtes partant de v sont exactement les arêtes [v, vi] codées par les sommets
si du link.
Notons S une surface correspondant à v. Remarquons que la hauteur de tous les sommets vi diffère exactement de 1 avec le sommet v. Quitte à renuméroter, nous
pouvons supposer que la hauteur des sommets {vi}0≤i≤k vaut un de plus que celle de
v et que celle des {vi}k<i≤n+1 vaut un de moins que celle de v, pour 1 ≤ k ≤ n + 1.
Remarquons que l’une des deux familles peut être vide. Pour k < i ≤ n + 1 les arêtes [v, vi] correspondent à des contractions de S vers la surface associée à vi. Notons Ei
la (−1)-courbe contractée. S’il y a plus de deux sommets de hauteur un de moins que v alors pour tout couple k < i < j ≤ n + 1, les sommets si et sj de Lk(v) sont
reliés par une arête ce qui signifie que dans le complexe cubique les sommets v, vi et
vj appartiennent à une même face. Ceci implique que les (−1)-courbes contractées
sont deux à deux disjointes.
Pour 1 ≤ i ≤ k, les sommets si ∈ Lk(v) correspondent à des points sur S.
De plus ils n’appartiennent à aucune des courbes Ek+1, . . . , En+1. En effet, sinon
les deux sommets de Lk(v) correspondant respectivement au point se trouvant sur une des (−1)-courbe et à cette (−1)-courbe ne seraient pas reliés par une arête. Éclatons les points correspondant aux sommets s1, . . . , sk. Nous obtenons une surface
S0 contenant toutes les (−1)-courbes et par construction elles sont toutes deux à deux disjointes. Ainsi, il existe un cube contenant le sommet v et tous les sommets vi. Par
conséquent les sommets s1, . . . , sn+1 engendrent un simplexe de dimension n dans le
link de v.
2) Montrons que le complexe cubique construit est simplement connexe. Soit γ un lacet. Nous voulons montrer que γ est homotope à un point. Par définition, γ est inclus dans un sous-complexe de dimension finie k. Nous pouvons déformer dans chaque cube de dimension k le lacet γ par une homotopie pour qu’il n’appartienne qu’à des cubes de dimension k − 1. En réitérant ce procédé, nous pouvons supposer qu’il vit dans le 1-squelette du complexe cubique. Soient s1, . . . , sn les sommets tra-
versés et S1, . . . , Sn des représentants. Ils sont en nombre fini puisque γ est compact.
Quitte à faire une homotopie nous pouvons supposer que pour tout i modulo n, les sommets si et si+2 sont distincts. Si aucun sommet n’est traversé ou si un seul som-
domine toutes les surfaces {Si}1≤i≤n. Notons
ρmin(s1, . . . , sn) = min
1≤i≤nρ(Si)
où ρ(Si) est le nombre de Picard associé à la surface Si. Montrons que γ se rétracte sur
le lacet constant égal au sommet s associé à la surface S. Raisonnons par récurrence sur le nombre minimal de Picard associé à la famille des sommets traversés par γ. Soit i0 ∈ {1, . . . , n} tel que ρmin(s1, . . . , sn) = ρ(Si0) où les indices sont modulo n.
Par construction, cela signifie que ρ(Si0−1) = ρ(Si0+1) = ρ(Si0) + 1. Ainsi les surfaces
Si0−1 et Si0+1 ont été obtenues en éclatant deux points distincts de Si0, donc il existe
un nouveau sommet s0i0 tel que les sommets si0−1, si0,si0+1 et s
0
i0 forment un carré.
Il existe donc une homotopie entre le lacet γ et le lacet ˜γ obtenu en remplaçant le chemin [si0−1, si0] ∪ [si0, si0+1] par [si0−1, s 0 i0] ∪ [s 0 i0, si0+1]. Si le sommet s 0 i0 est
identique au sommet si0−2 (respectivement si0+2) il existe une homotopie entre le
sous-chemin [s0i0, si0−2] (respectivement [s
0
i0, si0+2]) de ˜γ et le sommet s
0
i0. Dans ce
cas, nous ré-indiçons les sommets en remplaçant n par n − 2. Soit le nombre de Picard minimal associé à ˜γ a augmenté de 1 par rapport à celui associé à γ soit le nombre de sommets minimisant le nombre de Picard a diminué de 1. Le procédé se termine quand le nombre de Picard minimal est égal au nombre de Picard de S ce qui signifie que le lacet est réduit au sommet s.