Première partie : la descente du bloc

= ⋅ − ⋅

=

29.

On va utiliser un axe des x vers la droite. Lors d’une collision, la quantité de mouvement en x est conservée. On a donc

Quantité de mouvement à l’instant 1 (Avant la collision)

0, 004 750 1,15 0 3

tot x balle balle bloc bloc

m m

s s

kgm s

p m v m v

kg kg

= +

= ⋅ + ⋅

=

Quantité de mouvement à l’instant 2 (Après la collision)

0, 004 320 1,15 1, 28 1,15

tot x balle balle bloc bloc x

ms bloc

kgm s bloc

p m v m v

kg kg v

kg v

′ = ′ + ′

= ⋅ + ⋅ ′

= + ⋅ ′

Conservation de la quantité de mouvement

3 1, 28 1,15

1, 496

tot x tot x

kgm kgm

bloc

s s

m

bloc s

p p

kg v v

= ′

= + ⋅ ′

′ =

30.

Première partie : la descente du bloc

On va trouver la vitesse du bloc à la fin de sa descente avec la conservation de l’énergie. Le système étant formé d’un seul objet, l’énergie mécanique du système est

1 2 mec 2

E = mv +mgy Énergie à l’instant 1 (configuration montrée sur la figure)

L’énergie mécanique est

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 25 1 2

2

0 2 9,8 4

78, 4

N kg

E mv mgy

J kg m

J

= +

= + ⋅ ⋅

=

Nous avons choisi de mettre le y = 0 au niveau de la surface horizontale.

Énergie à l’instant 2 (juste avant la collision avec le bloc de 3 kg) Après la descente, l’énergie est

2

2

2

1 2

1 2 0

2 1

E mv mgy

kg v J

kg v

′= ′ + ′

= ⋅ ⋅ ′ +

= ⋅ ′ Conservation de l’énergie

78, 4 1 2

8,854^m_s

E E

J kg v v

= ′

= ⋅ ′

′ = Deuxième partie : la collision

Lors d’une collision, il y a conservation de la quantité de mouvement.

Quantité de mouvement à l’instant 1 (Avant la collision)

1 1 2 2

2 8,854 3 0

17,709

tot x bloc bloc bloc bloc

m m

s s

kgm s

p m v m v

kg kg

= +

= ⋅ + ⋅

=

Quantité de mouvement à l’instant 2 (Après la collision)

1 1 2 2

2 3

5

tot x bloc bloc bloc bloc

p m v m v

kg v kg v kg v

′ = ′ + ′

′ ′

= ⋅ + ⋅

= ⋅ ′ Conservation de la quantité de mouvement

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 26 17,709 5

3,542 C’est la vitesse des blocs après la collision.

Troisième partie : la glissade

Selon l’équation des forces en x, l’accélération est

2, 45 ²

Avec une vitesse initiale de 3,542 m/s, le déplacement pour arriver à une vitesse nulle est

La conservation de la quantité de mouvement en x nous donne

( )

L’énergie cinétique initiale est de

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 27 l’énergie après la collision. L’énergie cinétique après la collision est donc de 8.64 J.

On a donc

8,64 0,1 0,275

86, 4 2,75

On doit donc résoudre ces deux équations pour trouver les vitesses. Si on isole v'₁ dans l’équation de la quantité de mouvement, on a

1 1^m_s 2, 75 2

v′= − − v′

Si on remplace dans l’équation de l’énergie cinétique, on obtient

( )

On peut résoudre cette équation quadratique pour obtenir

2 2, 623^m_s et 2 3,157^m_s

v′ = v′ = −

De là, on trouve la vitesse de l’autre boule avec −1^m_s =v₁′+2,75v₂′. On obtient alors les solutions suivantes.

1 1

2 2

8, 214 7,681

2,623 et 3,157

m m

Dans ces deux solutions, il y en a une (la deuxième) où les signes des vitesses sont identiques à ce qu’on avait au départ. Comme c’est impossible que les vitesses après

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 28 la collision soient toutes les deux dans la même direction que les vitesses initiales, on rejette cette solution.

Il reste donc la solution suivante.

1 2

8, 214 2,623

m s ms

v v

′ = −

′ =

32.

Lors d’une collision, la quantité de mouvement est conservée. On a donc

1 1 2 2 1 1 2 2

m v +m v =m v′+m v′

Puisque la balle 2 est initialement au repos, l’équation devient

1 1 1 1 2 2

m v =m v′+m v′

Lors d’une collision élastique, l’énergie cinétique est conservée. On a donc

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1

2m v +2m v =2m v′ +2m v′ Puisque la balle 2 est initialement au repos, l’équation devient

2 2 2

1 1 1 1 2 2

1 1 1

2m v = 2m v′ +2m v′ On isole v′₁ dans la première équation

2

1 1 1 2

m

v′=v −m v′ et on remplace dans le deuxième équation

( )

( )

2 1

2 1

22 1

2 2 2

1 1 1 1 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 2 1 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2

2

m m m m

m m

m v m v v m v

m v m v v m v

m v m v m v v v m v

′ ′

= − +

′ ′

= − +

′ ′ ′

= − + +

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 29

33.

Lors d’une collision, la quantité de mouvement est conservée. On a donc

1 1 2 2 1 1 2 2

m v +m v =m v′+m v′

Lors d’une collision élastique, l’énergie cinétique est conservée. On a donc

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1

2m v +2m v =2m v′ +2m v′ Cette dernière équation nous donne

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 30

Mais la première équation donne

( ) ( )

On a maintenant 2 équations.

1 1 2 2 1 1 2 2

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 31

34.

La variation d’énergie cinétique est

2 2 2

La vitesse de la deuxième boule avant la collision est nulle. On a donc

2 2

La vitesse de l’objet après la collision se trouve avec la conservation de la quantité de mouvement.

( )

La variation d’énergi cinétique est donc

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 32 collision, la quantité de mouvement est conservée. On a donc, pour la composante en x, La grandeur de la vitesse est donc

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 33 et sa direction est

arctan collision, la quantité de mouvement est conservée. On a donc, pour la composante en x :

( ) ( ) ( )

1 2

1500 cos 45 2000 3500 12 cos 60

1060, 7 2000 21000

tot x tot x

L’équation en y nous permet alors de trouver la vitesse de l’auto A.

1060,7 36373 34, 29

Avec cette information, on peut trouver la vitesse de l’auto B avec l’équation en x.

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 34

1060,7 2000 21000

1060, 7 34, 29 2000 21000

36 373 2000 21000

2000 15373

7, 69

kgm kgm

s B s collision, la quantité de mouvement est conservée. On a donc, pour la composante en x,

Comme c’est une collision élastique, il y a aussi conservation de l’énergie cinétique.

On a donc

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 35

On isole v′_1x dans l’équation de la conservation de la quantité de mouvement en x.

( )

On isole ensuite v′_1y dans l’équation de la conservation de la quantité de mouvement en y.

On remplace ensuite dans l’équation de la conservation de l’énergie cinétique.

( )

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 36 La grandeur de la vitesse est donc

( ) ( )

et sa direction est

arctan

Nos réponses sont donc

1 collision, la quantité de mouvement est conservée. On a donc, pour la composante en x,

kgm kgm

x

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 37

kgm kgm

y La grandeur de la vitesse est donc

( ) ( )

et sa direction est

arctan arctan 2

1,869

b) L’énergie cinétique avant la collision est

( ) ( )

L’énergie cinétique après la collision est

( ) ( )

La perte d’énergie est donc

94, 48 128

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 38 c) Non, car il y a une perte d’énergie cinétique lors de la collision.

39.

Quantité de mouvement à l’instant 1 (t = 0 sur la figure)

1 1 2 2

10 0 20 0

0

x bloc bloc bloc bloc

m m

x bloc bloc bloc bloc

p m v m v L’impulsion donnée par la force de 50 N

50 3 Théorème de la quantité de mouvement

0 150 30

40.

Quantité de mouvement à l’instant 1 (situation montrée sur la figure)

1 0 0,020 500 10

y bloc bloc balle balle

m m

Quantité de mouvement à l’instant 2 (0,5 s après la collision)

1,02

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 39 L’impulsion donnée par la gravitation pendant 0,5 s

1, 02 9,8 0,5 Théorème de la quantité de mouvement

10 4,998 1,02 4,904

y y y

kgm kgm

s s

3200 3400 1, 088 10

710 000

0 3200 ln

710 000 3400 60 710 000

0 3200 ln

506 000 1084

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 40

exp

²

ln

710 000

0 3200 ln 9,8 30

710 000 3400 30 710 000

0 3200 ln 294

608 000 202,3

100 000

18000 15000 ln

100 000 750 60

100 000

3000 ln

55 000

43.

La force de poussée du moteur est

(

exp

)

Ft = v −v R Avec les données fournies, on a

( )

431 000 166,7 0 431 000 166, 7

431 000 166, 7

44.

La force de poussée du moteur est

(

exp

)

Ft = v −v R Avec les données fournies, on a

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 41

( )

200 000 260 230

200 000 30

45.

La force de poussée du moteur est

(

^{exp2 2}

)

La force de poussée est donc

( )

46.

La force de poussée du moteur est

(

^{exp2 2}

)

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 42

47.

La force de poussée du moteur est

(

^{exp2 2}

)

48.

Quand le ressort est comprimé au maximum, les deux masses ont la même vitesse.

Ainsi, selon la loi de conservation de la quantité de mouvement, on a

1 1 2 2 1 1 2 2

De plus, il doit y avoir conservation de l’énergie mécanique. Avec deux masses et un ressort, l’énergie mécanique est

2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2

Emec = m v +m gy + m v +m gy + kx

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 43 Avant la collision, l’énergie mécanique est (en utilisant un y = 0 au sol)

( )

2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

2

1 1 1

2 2 2

1 1 30 0 0 0 0

2 450

mec

m s

E m v m gy m v m gy kx

kg J

= + + + +

= ⋅ ⋅ + + + +

=

Quand le ressort est comprimé au maximum, l’énergie mécanique est

( ) ( )

2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

2 2 2

2

2

1 1 1

2 2 2

1 1 1

1 10 0 2 10 0

2 2 2

50 100 1 2 150 1

2

mec

m m

s s

E m v m gy m v m gy kx

kg kg kx

J J kx

J kx

′ = ′ + ′+ ′ + ′+ ′

= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ′

= + + ′

= + ′

Avec la conservation de l’énergie mécanique, on obtient

2

2

450 150 1 2 300 1 9600

2 0, 25

mec mec

N m

E E

J J kx

J x

x m

= ′

= + ′

= ⋅ ′

′ =

49.

On a la collision suivante.

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 44 L’équation de la conservation de la quantité de mouvement en x est

1 2

L’équation de la conservation de la quantité de mouvement en y est

1

L’équation de la conservation de l’énergie cinétique est

2 2 conservation de la quantité de mouvement en x

2cos 2 1 1cos 1

v′ θ =v −v′ θ

Le sinus vient de la conservation de la quantité de mouvement en y

2sin 2 1sin 1

cos sin cos sin

cos sin 2 cos cos sin

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 45

sin sin

cos sin

sin sin

sin cos v

sin cos sin sin 90

Puisque la somme des angles est 90°, les trajectoires sont perpendiculaires.

50.

On a la collision suivante.

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 46 L’équation de la conservation de la quantité de mouvement en x est

1 1 2 2

cos cos

60 6 cos 2 cos

L’équation de la conservation de la quantité de mouvement en y est

1 1

L’équation de la conservation de l’énergie cinétique est

2 2

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 47 On va commencer par éliminer ߠ_ଶ avec cos²θ₂+sin²θ₂ =1. Le cosinus vient de la conservation de la quantité de mouvement en x

2cos 2 30^m_s 3 cos1 1

v′ θ = − v′ θ

Le sinus vient de la conservation de la quantité de mouvement en y

2sin 2 3 sin1 1

900 180 cos

m

En utilisant la formule de conservation de l’énergie 2²

2 2 certaine valeur de v'₁, il y a un angle maximum. Puisqu’à un extremum la dérivée d’une fonction est nulle, on trouve la valeur maximale de l’angle avec

Version 2022 10 - La quantité de mouvement 48 On obtient alors qu’à l’angle maximum

( )

Ainsi l’angle est

2

cos 0,94281 19, 47

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