Première approche : limiter l’impact du rigide sur la dynamique souple

    ¯ F(x) = ^F(x)x − F(xc)xc δx si δx 6= 0 ¯ F(x) = ^{d(F (x)x)} dx si x = xc (3.4) Ainsi, le modèle aux écarts issu du système (3.1) s’écrit :

( ˙_{δx = u}

˙δz = Azδz+ ¯F(x)δx + H(x)u ^(3.5)

On donne également un résultat, extrait des propriétés de la classe de système considérée, qui sera utilisé tout au long du développement de la loi de commande. La matrice Az étant Hurwitz, il existe une matrice Qz ∈ R^2p×2p définie positive et une matrice Pz ∈ R^2p×2p symétrique et définie positive vérifiant l’équation de Lyapunov :

AT

zP_z+ PzA_z = −2Qz (3.6)

On cherche alors une loi de commande non linéaire satisfaisant les objectifs suivants : — assurer la stabilité globale et asymptotique de l’origine du système (3.1),

— améliorer l’amortissement de la dynamique souple : z doit être stable et bien amorti. Pour satisfaire ces deux objectifs de commande, deux approches ont été mises en place : la première approche consiste à améliorer l’amortissement de la dynamique souple en limitant l’im-pact de la dynamique rigide sur la dynamique souple. La seconde approche consiste à apporter directement de l’amortissement à la dynamique souple.

3.1.2 Première approche : limiter l’impact du rigide sur la dynamique souple

Afin de justifier au mieux les choix effectués dans la mise au point de la loi de commande, on présente dans cette sous-partie les différentes étapes de la démarche qui ont menés à la synthèse d’une loi limitant l’effet de la dynamique rigide sur la dynamique souple.

I Première étape : si H(x) = H0 constante

La première étape consiste à considérer la fonction H comme une constante, c’est à dire vérifiant l’hypothèse suivante :

Hypothèse 3.1

Hypothèse 3.2

Il existe une constante positive c₂ vérifiant la condition suivante : c₂ < ^λmin(Pz)

H_M² λ_max(Pz2) ^avec

HM = kH0k2

M. Reyhanoglu et J. Hervas ont développés, dans [89], une loi de commande non linéaire, basée sur la thèorie de Lyapunov, pour contrôler les mouvements d’un robot déplaçant un récipient rempli de liquide. Le système robotique souple considéré dans ce papier est très proche de la classe de système Σ1 considérée ici. Les objectifs de commande et les systèmes considérés étant similaires, on a choisi, dans un premier temps, de s’inspirer de ce travail et de considérer une fonction de Lyapunov semblable à celle utilisée dans [89]. Elle est définie par :

V₁(x, z)1 = ¹₂x²+^c₂^2z^TPzz− 2zTPzH₀x

(3.7) Proposition 3.1

Si les hypothèses3.1et3.2 sont vérifiées, alors la fonction V1 est définie positive sur R2p+1.

Démonstration de 3.1: Soit P1/2

z une racine carré de Pz. ∀(x, z) ∈ R × R2p (P1/2

z z− P1/2

z H0x)T(P1/2

z z− P1/2

z H0x) ≥ 0 En développant cette expression positive, il vient :

z^TPzz+ x2 H0^TPzH0− 2zt PzH0x≥ 0 ⇒ −2zT PzH0x≥ −zT Pzz− x2 H0^TPzH0

Ce qui permet de majorer la fonction V1 : ∀(x, z) ∈ R × R2p

V1(x, z) ≥ ¹₂x²(1 − c2H0^TPzH0) Le caractère symétrique de Pz et l’hypothèse3.2permettent d’écrire :

c2H0PzH0≤ c2H2 Mλmax(Pz) ≤ ^λmin(Pz) λmax(Pz) ≤¹ Il vient ainsi ∀(x, z) ∈ R × R2p V1(x, z) ≥ ¹₂x2 ≥ 0

En considérant le système (3.5), on calcule la dérivée temporelle de V1 : ˙V_{1(x, z) = xu + c2}^A_zz+ F (x)x +_H₀uT

P_zz− c2˙zTP_zH₀x− c2^zTPz_H₀u

1. La fonction choisie est équivalente à V1(x, z) = ^c1 2^x 2 +^c 0 2 2 zT

Pzz − 2z^TPzH0x Sans perte de généralité,

on choisit c1= 1, ce qui revient à choisir c⁰2= ^c2

= x u+ c2F(x)TP_zz− c2˙zTP_zH₀ + c2z^TA^T_zP_zz

L’équation de Lyapunov (3.6), permet de transformer le dernier terme :

z^TA^T_zP_zz= ¹ 2^zTATzP_zz+¹ 2^zTPzA_zz= ¹ 2^zT(ATzP_z+ PzA_z)z = −zTQ_zz (3.8) Et ˙V₁ s’écrit alors : ˙V₁(x, z) = x^hu∆1(x, z) + Γ1(x, z)ⁱ_{− c}2z^TQzz (3.9) avec : ∆1 = 1 − c2H₀^TPzH₀ Γ1(x, z) = c2F(x)TPzz− c2 Azz+ F (x)x^T PzH₀

La positivité de ∆1 a été montré dans la démonstration de la proposition3.1. Ainsi, on peut définir la loi de commande u1 de la façon suivante :

∀(x, z) ∈ R × R^2p, u₁(x, z) = −^{λ1x+ Γ}_∆^{1(x, z)}

1 ^{, λ1>}0 (3.10)

La dérivée temporelle de la fonction V1 s’écrit alors :

˙V_{1(x, z) = −λ1}x²− c2z^TQ_zz (3.11) qui vérifie ˙V1 <0 pour (x, z) 6= (0, 0). La fonction V1 est bien une fonction de Lyapunov et le résultat est résumé par la proposition suivante :

Proposition 3.2

Si les hypothèses3.1,3.2sont vérifiées, alors l’origine du système en boucle fermée, formé par le système (3.1) et la loi de commande (3.10) est globalement et asymptotiquement stable.

I Deuxième étape : si H(x) est une fonction bornée

Hypothèse 3.3

Il existe un réel positif HM tel que : ∀x ∈ R, kH(x)k2≤ HM

On choisit d’utiliser l’intégrale de la fonction H dans la fonction de Lyapunov, en définissant la fonction H : R → R2p par : H(x)x := Z x xc H(s)ds =^{Z x} 0 ^H(s)ds (3.12)

On considère alors la fonction de Lyapunov candidate suivante : V₂(x, z) = ¹ 2^x2+ c₂ 2  zTP_zz− 2zTP_zH(x)x^ (3.13) Proposition 3.3

Sous les hypothèses3.2et3.3, la fonction V2 est définie positive.

Démonstration de 3.3: L’hypothèse3.2permet d’écrire :

∀x ∈ R, Z x 0 H(s)ds 2≤ |x|HM ⇒ kH(x)k2≤ HM (3.14) D’où ∀(x, z) ∈ R × R2p V2(x, z) ≥ ¹₂x²+^c2 2 ^zTPzz− 2|zT PzHMx|^ (3.15) De plus, pour tout k > 0 on a :

−2|zTPzHMx| ≥ −k2x2 −^H 2 M k2 zTP2 zz Ainsi, la fonction V2 vérifie :

∀(x, z) ∈ R × R2p V2(x, z) ≥ ¹₂^1 − k2 c2  x²+^c2 2^zT  Pz−^H 2 M k2 Pz²  z

Alors V2est définie positive si :

k2c2<1 et Pz<^H 2 M k2 P2 z (3.16) Comme λmin(Pz)I2p< Pzet P2 z < λmax P2 z
I2p, la condition (3.16) devient : c2< 1 k2 et λmin(Pz) ≥^HM² k2 λmax P2 z
(3.17)

On peut vérifier la seconde condition de (3.17) en choisissant : k2= H2

M

λmax P2

z

λmin(Pz)^{. La première} condition de (3.17) est finalement assuré par l’hypothèse3.2.

Proposition 3.4

Soit la fonction ∆2 définie pour tout x ∈ R par ∆2(x) = 1 − c2H(x)TPzH(x).

Si les hypothèses 3.3 et 3.2 sont vérifiées, alors la fonction ∆2 est définie positive sur R et l’origine du système en boucle fermée, composé de (3.5) et de la loi de commande suivante :

u₂(x, z) = −^λ2x_∆^{+ Γ2(x, z)}

2(x) ^{, λ2 >0 (3.18)}

avec :

est globalement et asymptotiquement stable.

Démonstration : On remarque tout d’abord que :

d dt H(x)x
= d dx " Z x 0 H(s)ds # ˙x = H(x)u (3.20) On calcule ensuite la dérivée temporelle de la fonction V2:

˙V2(x, z) = xu + c2



Azz+ F (x)x +_H(x)u^T

Pzz− c2˙zTPzH(x)x −₍₍c2zT((PzH⁽⁽(x)u⁽ = x^u∆2(x) + Γ2(x)^_{− c}2zTQzz

De plus, la fonction ∆2 vérifie : ∆2(x) ≥ 1 − c2H2

Mλmax Pz

>0. La loi de commande (3.18) est donc bien définie, et permet finalement d’écrire :

˙V2= −λ2x²− c2z^TQzz (3.21) ce qui satisfait ˙V2 < 0. Ainisi, la fonction V2 est une fonction de Lyapunov. Le théorème de stabilité de Lyapunov assure une stabilité globale et asymptotique de l’origine de la boucle fermée composée du système (3.1) et de la loi de commande (3.18)

Le contrôleur mis en place ici satisfait les objectifs de commande en imposant une contrainte au système, à travers la fonction H. Cependant, la contrainte imposée par l’hypothèse 3.3 est très forte. En effet, une fonction H(x) polynomiale ne vérifie pas cette hypothèse. D’un point de vue théorique, ce résultat n’est donc pas suffisant, puisque l’on cherche à mettre au point une méthode de commande non linéaire générique. D’un point de vue pratique, il est vrai que l’état x sera borné puisqu’il est limité par des contraintes physiques. Par conséquent, la fonction H sera bornée elle aussi, sur un ensemble donné. Cependant, la forme de la fonction de Lyapunov choisie impose également une contrainte à la loi de commande, à travers le paramètre de réglage c2. Cette contrainte complexifie le réglage de la loi de commande. Pour ces raisons, il serait préférable de pouvoir relâcher les hypothèses 3.3 et 3.2. C’est ce qui est fait dans l’étape suivante, en définissant un changement de variable.

I Troisième étape : en utilisant un changement de variable

Afin de se passer de la contrainte imposée à la fonction H, on élimine cette fonction de la dynamique souple en définissant le changement de variable suivant :

Z := z − H(x)x (3.22)

et on l’applique au système (3.1). Il vient alors :

Finalement, le système (3.1) est transformée en une nouvelle classe de système appelée Classe C₂ : C₂ : ( ˙x = u ˙Z = AzZ+ G(x)x ^(3.24) avec G(x) = AzH(x) + F (x)

On considère alors la fonction de Lyapunov candidate suivante :

V₃(x, Z) = ¹₂x²+^c₂²Z^TPzZ (3.25) Proposition 3.5

L’origine de la boucle fermée composée du système (3.24) avec la loi de commande suivante :

u₃(x, Z) = −λ3x− c2G(x)TPzZ, λ₃ >0 (3.26) est globalement et asymptotiquement stable.

Démonstration : La fonction V3 est clairement définie positive. Sa dérivée temporelle est :

˙V3= xu + c2 AzZ+ G(x)x^T PzZ = x^u+ c2G(x)TPzZ  − c2ZTQzZ Avec la loi de commande (3.26), la dérivée temporelle de V3 devient :

˙V3= −λ3x2

− c2ZTQzZ (3.27) et vérifie ˙V3 <0. La stabilité globale et asymptotique de l’origine de la boucle fermée composée du système (3.24) et de la loi de commande (3.26) est donc assurée.

Remarque La classe de système considérée étant à minimum de phase, une loi de commande de la forme u(x) = −λxxavec λx>0, n’utilisant que la dynamique rigide, serait suffisante pour réguler l’état x et stabiliser le système. On a cependant choisi d’utiliser la dynamique souple z dans la loi de commande. Ce choix va permettre de limiter l’interaction de la dynamique rigide sur le transitoire de la dynamique souple et d’assurer un meilleur amortissement. Ce résultat sera illustré lors de l’application de la loi de commande sur un système aérospatial souple. De plus, on verra dans le chapitre 5 qu’il est nécessaire de prendre en compte les modes souples dans la commande lorsque les actionneurs et les capteurs ne sont pas collocalisés.

apporter de l’amortissement. En effet, en définissant une fonction σ : R → R telle que

∀x ∈ R xσ(x) > 0 (3.28)

La loi u3 définie par :

u₃(x, Z) = −λ3x− c2G(x)TPzZ− c4σ(x)ZTQzZ, c₄>0 (3.29) assure une stabilité globale et asymptotique à l’origine du système en boucle fermée. En consi-dérant la même fonction de Lyapunov, V4= V3, sa dérivée temporelle s’écrit alors :

˙V_{4= ˙V3− c4}xσ(x)ZTQ_zZ ≤ ˙V3 (3.30) Et cette loi de commande apporte de l’amortissement aux modes souples en réduisant leur énergie.