Pr´ esentation des instances

Afin de pr´eciser si l’algorithme glouton et la recherche tabou sont suffisamment efficaces et rapides pour obtenir des r´esultats concluants, il est n´ecessaire de faire un certain nombre de tests. Ces tests permettent d’une part d’appr´ecier l’efficacit´e du programme, mais surtout d’analyser son comportement selon diff´erents types d’ins- tances du probl`eme LESC. Tous les tests ont ´et´e r´ealis´es sur un PC Dell Studio muni d’un processeur Intel(R) Core(TM) Quad CPU Q9550 `a 2,83 GHz et de 3,9 Go de m´emoire RAM, le tout fonctionnant sous le syst`eme d’exploitation Linux openSUZE 11.1 (x86 64) KDE 4.1.3 “realease 4.9”. Le langage de programmation JAVA a ´et´e utilis´e pour la programmation de la m´etaheuristique.

Les instances utilis´ees sont des instances trouv´ees dans une biblioth`eque d’ins- tances pour le probl`eme LESC propos´ee par Hoefer (2004) de l’institut d’informatique Max Planck (Allemagne). Plusieurs familles d’instances sont disponibles et consti- tuent la base de nos tests. Nous avons utilis´e les familles suivantes :

– Euclidienne : l’ensemble des clients est le mˆeme que l’ensemble des sites (n = m). Dans un carr´e imaginaire de 7 000 unit´es de cˆot´e, n points sont plac´es al´eatoirement. Chaque point est `a la fois un client et un site ; les coˆuts d’af- fectation sont les distances euclidiennes entre chacun des points. La matrice d’affectation est donc sym´etrique, sa diagonale est nulle et l’in´egalit´e triangu- laire est toujours respect´ee. Les coˆuts d’installation sont ´egaux `a 3000 pour

chaque site. Les instances sont de taille (100 × 100) et sont toutes r´esolues `a l’optimalit´e.

– Galv˜ao-Raggi : les ensembles des sites et des clients sont les mˆemes (n = m). Les coˆuts d’installation sont choisis al´eatoirement selon une loi normale de moyenne µ et d’´ecart-type σ. Les coˆuts d’affectation sont pris de mani`ere `a ce que le probl`eme repr´esente un graphe biparti (l’ensemble 1 est l’ensemble des sites et l’ensemble 2 est l’ensemble des clients) dont la densit´e d des arˆetes est variable selon les instances. Cette densit´e d, diff´erente de la densit´e δ que nous avons d´efinie dans le chapitre pr´ec´edent, est calcul´ee de la mani`ere suivante :

d = N (G(V, E))/N (Kn)

o`u N (G(V, E)) est le nombre d’arˆetes dans le graphe G(V, E) et N (Kn) le

nombre d’arˆetes dans le graphe complet correspondant. Les coˆuts sur les arˆetes sont choisis al´eatoirement selon une loi uniforme sur un intervalle choisi ([1, n] en g´en´eral). La matrice d’affectation est donc une matrice dont les valeurs ci,j

repr´esentent en fait la valeur du plus court chemin du site i au client j. Lorsqu’il n’existe pas de chemin entre le site i et le client j, la valeur est ´egale `a +∞ (c’est-`a-dire un nombre tr`es grand par rapport aux autres coˆuts d’affectation et aux coˆuts d’installation). La matrice est non sym´etrique et sa diagonale est non nulle. Dans les instances, il existe des sites ayant un coˆut d’installation nul pour symboliser le fait que ces sites sont d´ej`a ouverts. Cela permet de simuler des cas o`u par exemple on aurait un r´eseau d’usines d´ej`a ouvertes et o`u l’on aimerait savoir quels sites devraient ˆetre affect´es `a quels nouveaux clients et quels nouveaux sites il serait int´eressant d’installer. Les instances sont de taille moyenne `a grande (entre 50 × 50 et 200 × 200) et sont toutes r´esolues `a l’optimalit´e.

– Koerkel-Ghosh sym´etrique : n = m mais les ensembles des sites et des clients sont diff´erents. Les coˆuts d’installation et les coˆuts d’affectation sont choisis al´eatoirement selon une loi uniforme sur un certain intervalle. La matrice d’af- fectation est sym´etrique mais sa diagonale est non nulle. Les instances donn´ees sont de grande taille : entre 250 × 250 et 750 × 750. Une seule instance de taille 250 × 250 est r´esolue `a l’optimalit´e. Pour les autres instances, seules des solutions faisant office de borne sont donn´ees.

– Koerkel-Ghosh asym´etrique : idem `a la famille Koerkel-Ghosh sym´etrique sauf que la matrice d’affectation n’est pas sym´etrique. Comme pr´ec´edemment, les instances donn´ees sont de grande taille : entre 250 × 250 et 750 × 750, et une seule instance de taille 250 × 250 est r´esolue `a l’optimalit´e. Pour les autres instances, seules des bornes sont donn´ees.

– Uniforme : n = m mais les ensembles des sites et des clients sont diff´erents. Les coˆuts d’installation sont les mˆemes pour tous les sites et les coˆuts d’affectation sont choisis al´eatoirement selon une loi uniforme sur un certain intervalle. La matrice d’affectation n’est pas sym´etrique et poss`ede une diagonale non nulle. Les instances sont de taille moyenne (100 × 100) et sont toutes r´esolues `a l’op- timalit´e.

– Grand saut de dualit´e : n = m mais les ensembles des sites et des clients sont diff´erents. Les coˆuts d’installation des sites sont les mˆemes pour tous les sites. Les coˆuts d’affectation sont soit tr`es grands (suffisamment grands pour repr´e- senter l’infini), soit tr`es petit (compris entre 0 et 4). La matrice contient donc majoritairement des termes tr`es grands et quelques termes tr`es petits. Cela cr´ee de grands “sauts de dualit´e”, ce qui rend difficile le d´eroulement de l’algorithme d’´evaluation et s´eparation d’apr`es Kochetov et Ivanenko (2003). Ces instances de taille 100 × 100 sont r´epertori´ees en trois familles : la classe A qui poss`ede 10 petits coˆuts par client (c’est-`a-dire 10 petits coˆuts par colonne de la matrice d’affectation), la classe B qui poss`ede 10 petits coˆuts par site (c’est-`a-dire 10 petits coˆuts par ligne de la matrice d’affectation) et la classe C qui poss`ede 10 petits coˆuts par client et par site (c’est-`a-dire 10 petits coˆuts par colonne et par ligne de la matrice d’affectation). La matrice d’affectation est non sym´etrique et sa diagonale non nulle. Les instances sont de taille moyenne (100 × 100) et sont toutes r´esolues `a l’optimalit´e.

Pour chacune des instances de ces familles, une solution est disponible. Pour une partie d’entre elles, l’optimalit´e est garantie, et pour d’autres, elle ne l’est pas. Ces instances et leurs solutions nous permettront ainsi d’´evaluer l’efficacit´e de notre m´etaheuristique.

On peut remarquer que, pour chacune des familles d’instances test´ees, on a n = m. Il semble que ce format soit devenu une tendance dans les biblioth`eques d’instances. Dans la biblioth`eque d’instances utilis´ee, seules quelques instances sont de format

n 6= m, cependant, leurs tailles trop petites les rendent peu int´eressantes (n ≤ 50 et m ≤ 100). Nous les avons donc volontairement mises de cˆot´e.