2.2.1.1 Notations et hypothèses
Notations
L’équipe de [Ide et al., 1997] a défini une notation uniforme en assimilation de données qui sera utilisée tout au long du manuscrit. En considérant un espace du modèle de dimension n et un espace des observations de dimension p, on peut donc définir les paramètres suivants :
x : vecteur d’état. C’est un vecteur colonne représentant l’état de l’atmosphère que l’on cherche à estimer. Bien que plusieurs vecteurs d’état peuvent être définis, ils ne représentent qu’une approximation de la réalité ;
xt : vecteur d’état du modèle vrai de dimension n ;
xb : vecteur de l’ébauche de dimension n (information le plus souvent issue du modèle, d’une prévision antérieure, d’une climatologie, etc), où xb = xt + εb (où
εb est l’erreur de l’ébauche) ;
xa : vecteur de l’état analysé de dimension n (que l’on cherche) ;
yo : vecteur d’observation de dimension p pour l’ensemble des observations dis-ponibles. Il est souvent de taille inférieure à celui du vecteur d’état. yopeut s’écrire : yo = H(xt) + ε0 (où H est appelé opérateur d’observation et ε0 représente l’er-reur d’observation). Le passage de l’espace d’état vers l’espace des observations est assuré par l’opérateur d’observation ;
H : opérateur d’observation passant de la dimension n à p. Il permet d’établir une relation entre les observations (variables mesurées) et les paramètres du modèle (variables à estimer) tel que : H(x) = y. Si H est linéaire, alors il existe une matrice H de dimension p*n telle que Hx=H(x). La matrice H comprend au moins (1) un passage de l’espace spectral à l’espace physique, (2) une interpolation des points de grille encadrant l’observation, (3) une interpolation suivant la verticale jusqu’au niveau de l’observation et (4) le calcul de l’équivalent modèle de l’observation.
Erreurs
Le processus d’assimilation de données nécessite la description d’un certain nombre d’erreurs qu’il faut préalablement définir. Trois types d’erreurs sont à citer :
- erreur d’ébauche : écart entre l’ébauche et l’état réel du système εb = xb- xt. Si cette erreur est nulle, alors l’analyse est dite triviale. En d’autres termes, l’ébauche est conservée sans tenir compte des observations.
- erreurs d’observation : écart entre les observations et l’état correspondant dans l’espace des observations à la réalité. Dans ce cas, εo = y - H(xt). Si les erreurs d’observation sont nulles, cela revient à dire que les observations sont fidèles à la réalité.
- erreur d’analyse : écart entre l’analyse et l’état réel du système εa = xa - xt. Une bonne assimilation se traduit par une erreur d’analyse plus petite que l’erreur d’ébauche.
De ce fait, on définit les matrices suivantes :
B : matrice de covariance d’erreur d’ébauche (xb − xt) de dimension n*n ;
R : matrice de covariance d’erreur d’observation (y − H(xt) de dimension p*p ;
A : matrice de covariance d’erreur d’analyse (xa − xt) de dimension n*n.
Hypothèses
On peut poser certaines hypothèses, telles que :
- l’opérateur d’observation est linéarisé : les variations de l’opérateur d’observa-tion au voisinage de l’ébauche est linéaire. Ainsi, pour tout x suffisamment proche de xb, H(x) − H(xb) = H(x − xb) où H est un opérateur linéaire ;
- les prévisions et les observations sont non biaisées : E(εb)= E(εo)=0.
- les erreurs de prévision et d’observations sont décorrélées :
E(εb(εo)T)=E(εo(εb)T)=0.
- Les matrices de covariances des erreurs de prévision B et d’observations R sont connues : B=E(εb(εb)T) et R=E(εo(εo)T).
- L’analyse xa doit être un estimateur non biaisé (E(xa-xt)=0) et minimiser la variance d’erreur d’estimation (A=E((xa - xt)(xa - xt)T))
2.2.1.2 Formalisme
Dans les centres de PNT, deux méthodes d’assimilation de données sont cou-ramment utilisés :
- méthodes statistiques aux moindres carrées ou BLUE (Best Linear Unbiased Estimation) :
Dans ce cas le meilleur estimateur de x qui minimise la variance des erreurs d’estimation est donné par :
xa= xb+ BHT(HBHT+ R)−1(yo− H(xb))
= (B−1+ HTR−1H)−1(B−1xb+ HTR−1yo) (2.10)
Le vecteur yo-H(x b)) est appelé vecteur des résidus observés ou vecteur d’in-novation et xa-xb est appelé incrément d’analyse.
La matrice K = BHT(HBHT+R)−1 est la matrice de gain. Cette matrice est coûteuse en temps de calcul (très grande) ce qui limite l’utilisation de la méthode BLUE.
- méthode variationnelle tri-dimensionnelle (3D-Var) :
Cette deuxième méthode définit une fonction coût J(x) qui mesure la distance de l’état de l’atmosphère par rapport à l’ébauche et par rapport aux observations. Chacune des distances fait intervenir des pondérations liées aux précisions de cha-cune des sources d’information. La force du 3D-Var se résume essentiellement en : (1) l’absence de la matrice de gain, (2) la minimisation est résolue à grande échelle, (3) l’utilisation d’un grand nombre d’observations de différent type et (4) la linéarité de l’opérateur d’observation H n’est plus exigée.
Dans ce cas, on cherche un état xo tel que la distance entre la trajectoire du modèle issue de xo et les observations soit minimale. J (x) s’écrit comme suit :
J(x) = Jb(x) + Jo(x)
= 1/2(x − xb)TB−1(x − xb) + 1/2(yo− H(x))TR−1(yo− H(x)) (2.11)
où x : la variable de contrôle du problème de minimisation. Jb et Jo : la distance de l’estimation à l’ébauche et aux observations.
H : l’opérateur d’observation, il n’est pas nécessairement linéaire par rapport à la variable de contrôle. Lorsque H est linéaire le gradient est égal à :
∇J(x) = B−1(x − xb) + HTR−1(yo− H(x)) (2.12)
La minimisation se fait par une méthode de descente dans la direction du gra-dient.
- Formulation variationnelle quadri-dimensionnelle : 4D-Var
Le 4D-Var a été développé afin de trouver une solution du modèle qui ne soit pas trop éloignée d’une ébauche xb disponible à t0 et qui passe le plus proche pos-sible des observations durant une période d’assimilation [t0,tn] [Klinker et al., 2000, Rabier et al., 2000,Mahfouf and Rabier, 2000]. Cette période d’assimilation (appe-lée aussi fenêtre temporelle d’observation) est de 6h dans le modèle global ARPEGE de Météo-France et 12h dans le modèle gobal IFS (Integrated Forecasting System) du Centre Européen de Prévision Météorologique à Moyen Terme (CEPMMT). La trajectoire du modèle est forcée de façon à être proche des observations en ajustant les conditions initiales (Figure2.12).
Figure 2.12 – Représentation simplifiée d’un schéma d’assimilation 4D-Var. On cherche à obtenir la trajectoire analysée du modèle (courbe pleine noire) qui soit à la fois proche des observations (cercles rouges) et de l’ébauche fournie par une prévision antérieure (courbe en tiretés bleue).(Source : http ://www.encyclopedie-environnement.org)
Le 4D-Var consiste à trouver un état initial xao qui minimise la fonction coût suivante :
J(xo) = 1/2(xo−xb)TB−1(xo−xb)+1/2
m
X
i=0
(yoi−Hi(xi))TR−1i (yoi−Hi(xi)) (2.13)
où m est le nombre d’instants ti pour lesquels les observations sont présentes. Hi est l’opérateur d’observation, éventuellement non linéaire, qui relie la variable du modèle xi aux observations yoi. Ri est la matrice de covariance d’erreur d’ob-servations pour les instants ti. Ainsi, le modèle de prévision est intégré dans xi. xi est la prévision de l’instant initial à ti.
Dans un modèle de grande échelle, le 4D-Var avait tendance à ajuster en premier les composantes les plus énergétiques ce qui entraînait une minimisation coûteuse en temps de calcul. [Courtier et al., 1994] ont donc proposé l’utilisation d’un modèle linéaire-tangent et de son adjoint à une résolution plus faible à travers une paramé-trisation physique simplifiée. Cette méthode est connue sous le nom de "l’approche incrémentale". Elle remplace la condition initiale entière par une solution appro-chée en se basant sur une fonction coût quadratique qui vise la minimisation de la fonction coût par le biais d’un incrément propagé dans le temps avec le modèle linéaire-tangent permettant ainsi de réduire significativement le coût de la minimi-sation. Le 4D-Var est actuellement implémenté d’une manière opérationnelle dans plusieurs centres de PNT (comme le CEPMMT (1997) et Météo-France (2000)) et contribue à l’amélioration de la qualité des prévisions.