Cette section a pour objectif de résumer les résultats obtenus à partir des méthodes étudiées sous deux formats : i) les tableaux résumés qui présentent les estimés des coefficients de ré- gression (la colonne "Coefficient β"), leurs erreurs type (la colonne "Erreur type sd") ainsi que les P-values associées aux modèles retenus, ii) les figures illustrant les courbes dose-réponse de l’estimation de l’effet du montant investi dans le média A sur le nombre espéré de soumissions (voir la page 39). Notons que le code R ayant mené aux résultats présentés est fourni en annexe
B.
4.3.1 Analyse agrégée
Cette analyse repose sur un jeu de données agrégé. On travaille avec le cluster qui comporte les 136 RTA les plus homogènes. Les valeurs des dépenses dans le média A qui nous intéressent s’étendent de 3.23 à 12.67 et on va diviser cet intervalle en une grille de longueur 93 afin d’évaluer la courbe dose-réponse telle que présentée dans la figure 4.1.
Dans un premier temps, on construit un modèle pour le score de propension avec les va- riables socio-démographiques et toutes les variables d’investissement autres que A pour es- timer la distribution conditionnelle de MEDIA_COST*_A sachant les covariables qui sont liées à la fois aux nombres de soumissions SOUM* et aux efforts publicitaires fournis en A MEDIA_COST*_A. Suite àSriti(2019), on conserve les 5 variables confondantes identifiées suite à une sélection de variables suivant la méthode descendante avec un seuil d’exclusion fixé à 5% : MEDIA_COST*_B, MEDIA_COST*_C, P_POP_4564, p_const2011_2016, CRP3_SCORE_STD. À partir des 136 RTA, nous avons ajusté un modèle glm gamma avec lien inverse g(µi) = µ1i comme à l’exemple 2 de la sous-section 2.2.1. Dans ce modèle, on a la
les variables d’investissement et les variables socio-démographiques (voir l’annexe A.5). Les coefficients de régression de ce modèle pour le score de propension sont obtenus en maximisant la vraisemblance puis ils sont présentés dans le tableau 4.1. On constate selon ce tableau que seule la variable MEDIA_COST*_B qui est fortement significative. Ensuite pour ajuster la variable de réponse SOUM*, on va prendre en compte le GPS, qui est la densité du modèle pour le score de propension tel que présenté dans la sous-section 2.2.1. En effet, on opte pour un mo- dèle de régression linéaire avec termes quadratiques pour la variable MEDIA_COST*_A et la variable GPS ainsi que l’interaction entre les deux (voir le tableau 4.2). D’après cette modéli- sation, on trouve que l’effet de MEDIA_COST*_A sur la variable SOUM* est très significatif. Or, cet effet est atténué vu que le coefficient du terme quadratique de MEDIA_COST*_A est négatif. Finalement, on obtient la courbe dose-réponse de l’estimation de l’effet du montant investi dans le média A sur le nombre espéré de soumissions (voir la courbe en rose de la figure
4.1telle que présentée à la section 2.2.1). Selon la figure4.1, on voit bien que plus on investit dans le média A, plus on génère de soumissions. À titre d’exemple, si on investit 7.5 unités dans le média A (en moyenne sur l’ensemble des 136 RTA et sur les semaines sélectionnées), alors on va générer en moyenne 1.2 unités de SOUM par RTA.
Table 4.1 – Résumé du modèle pour le score de propension de la méthode Hirano-Imbens Modèle pour le score de propension
Variable Coefficient β Erreur type sd P-value
MEDIA_COST*_B -0.191779 0.031914 1.76e-08
MEDIA_COST*_C 0.000560 0.000782 0.475
P_POP_4564 -0.000616 0.000851 0.471
p_const2011_2016 0.000513 0.000483 0.290
CRP3_SCORE_STD -0.000553 0.000431 0.203
Table 4.2 – Résumé du modèle pour SOUM* de la méthode Hirano-Imbens Modèle pour SOUM*
Variable Coefficient β Erreur type sd P-value
MEDIA_COST*_A 0.43058307 0.126945 0.000803
(MEDIA_COST*_A)2 -0.02285879 0.007758 0.003306
GPS -0.95087124 2.016775 0.595405
GPS2 2.25726317 3.411259 0.462027
MEDIA_COST*_A :GPS -0.09844538 0.153041 0.518772
Dans une optique comparative à Sriti (2019), on prend les mêmes valeurs moyennes de MEDIA_COST*_A dans les deux groupes de RTA HIGH (9.28) et LOW (5.72) qui sont définis par la variable Group (voir l’annexeA.3). On a la différence en moyenne entre les deux groupes en terme de dépenses dans le média A est de 3.56. On voit selon la courbe en rose correspondant à l’analyse agrégée dans la figure 4.1 que la différence au niveau du nombre
de soumissions moyen si on passe du groupe LOW (1.07) au groupe HIGH (1.4) est de 0.33. Il s’agit en effet de l’effet inféré causal qui représente l’effet du média A sur le nombre de soumissions. Sriti (2019) a obtenu la valeur 0.126 qui représente l’effet du montant investi dans le média A sur le nombre de soumissions du passage du groupe LOW au groupe HIGH. On peut déduire que l’effet causal semble plus fort avec notre analyse agrégée qu’avec celle élaborée par Sriti(2019), probablement dû au fait qu’on a considéré le traitement en continu et donc on a tenu compte des RTA ayant reçu un niveau moyen de publicité dans le média A. Afin de valider la propriété de balance qui caractérise le GPS et qui permet de voir s’il est bien spécifié ou non, on a procédé au test de balance employé par Hirano and Imbens(2004) tel que décrit dans la section 2.2.2 sur les données agrégées.
En se basant sur notre cluster de 136 observations, on divise l’ensemble des valeurs de MEDIA_COST*_A sur 3 intervalles. Ces trois intervalles sont définis par les tertiles de MEDIA_COST*_A, à savoir, [3.22, 6.77], [6.78, 8.30], et [8.35, 12.67], avec 45 observations dans le 1er intervalle indiqué par g1, 45 observations dans le 2ème indiqué par g2, et 46 obser- vations dans g3. Pour chacune des 5 covariables : MEDIA_COST*_B, MEDIA_COST*_C, P_POP_4564, p_const2011_2016, CRP3_SCORE_STD, on va évaluer la propriété de ba- lance par le biais des tests t en vue de voir si la moyenne de chacune de ces 5 covariables dans l’un des 3 intervalles est différente de la moyenne dans les deux autres intervalles combinés. Les tableaux 4.3et4.4rapportent les résultats des tests t avant et après l’ajustement pour le GPS pour chacune des 5 covariables et dans chacun des 3 intervalles.
Table 4.3 – Les statistiques t d’égalité des moyennes avant ajustement pour le GPS. Les statistiques t avant ajustement
Covariable g1 g2 g3 MEDIA_COST*_B -5.72 0.54 5.3 MEDIA_COST*_C 0.580 1.42 -1.71 P_POP_4564 -0.86 -0.83 1.62 p_const2011_2016 -0.76 0.46 0.21 CRP3_SCORE_STD -0.47 -0.25 0.71
Table 4.4 – Les statistiques t d’égalité des moyennes après ajustement pour le GPS. Les statistiques t après ajustement
Covariable g1 g2 g3 MEDIA_COST*_B 0.26 0.23 0.290 MEDIA_COST*_C -0.04 0.68 -0.22 P_POP_4564 0.49 -0.71 0.37 p_const2011_2016 -0.28 0.6 -0.09 CRP3_SCORE_STD 0.44 -0.39 -0.64
D’après le tableau4.3, on voit bien que la plupart des statistiques ont des valeurs non significa- tives mais que 2 parmi les 5 statistiques sont très nettement supérieures 1.645 en valeur absolue. Il est clair qu’il y a une forte corrélation entre MEDIA_COST*_B et MEDIA_COST*_A.
Après l’ajustement pour le GPS, on obtient le tableau4.4qui illustre clairement l’amélioration de la balance des covariables suite à l’ajustement pour le GPS de telle sorte qu’il a atténué toutes les valeurs des statistiques t et surtout la forte corrélation entre MEDIA_COST*_B et MEDIA_COST*_A.
4.3.2 Analyse longitudinale - Approche des SCMMs
Partant du même cluster qu’on a utilisé dans l’approche agrégée, on va ventiler les données des 136 RTA par semaine. On appliquera l’approche longitudinale, présentée dans la section 3.2, au jeu de données désagrégé qui comporte 1224 observations (136 RTA × 9 semaines). En premier lieu, on ajuste le modèle pour le score de propension où on prend exactement les mêmes variables explicatives que le modèle pour le score de propension dans la méthode agrégée. De plus, étant donnée la structure longitudinale, on va rajouter les variables SOUM et MEDIA_COST_A retardées (voir l’annexeA.5) et la variable WEEKNUM. Du fait qu’on veut garder toutes nos variables explicatives, on opte pour un modèle linéaire ordinaire dans lequel la variable WEEKNUM est incluse en facteur (voir le tableau4.5) .
Table 4.5 – Résumé du modèle pour le score de propension de la méthode des SCMMs Modèle de score de propension
Variable Coefficient β Erreur type sd P-value
MEDIA_COST_B 1.493361 0.587159 0.0111 MEDIA_COST_C -0.052285 0.045295 0.2486 P_POP_4564 0.057008 0.048435 0.23943 p_const2011_2016 0.002327 0.026484 0.93 CRP3_SCORE_STD 0.031820 0.024095 0.18688 WEEKNUM_fac9 -0.749550 0.771480 0.33146 WEEKNUM_fac10 -3.820252 0.867353 1.15e-05 WEEKNUM_fac11 -1.392854 0.862904 0.10676 WEEKNUM_fac12 1.367895 0.855133 0.10994 WEEKNUM_fac13 -5.622756 0.678358 3.01e-16 WEEKNUM_fac14 -0.275656 0.805204 0.73215 WEEKNUM_fac15 -1.905770 0.979708 0.05198 WEEKNUM_fac16 0.553474 0.794583 0.48621 MEDIA_lag1_A 0.064102 0.031417 0.04153 SOUM_lag1 0.747123 0.275444 0.00677
Selon Keogh et al. (2018), on estime le GPS comme étant l’espérance de MEDIA_COST_A sachant les covariables plutôt que la densité (voir la section 3.2.4). Ce GPS va être utilisé dans l’ajustement du modèle linéaire ordinaire servant à modéliser le nombre de soumissions SOUM (voir le tableau 4.6).
On déduit avec cette méthode que l’effet des dépenses dans le média A sur le nombre de soumissions est positif et très significatif. On rappelle que cette approche des SCMMs suppose
Table 4.6 – Résumé du modèle pour SOUM de la méthode des SCMMs Modèle pour SOUM
Variable Coefficient β Erreur type sd P-value
MEDIA_COST_A 0.0148745 0.0032152 4.12e-06 MEDIA_lag1_A 0.0006383 0.0030957 0.83668 SOUM_lag1 0.2207795 0.0262817 < 2e-16 GPS 0.0228252 0.0082977 0.00603 MEDIA_COST_B 0.0240470 0.0169915 0.15726 MEDIA_COST_C -0.0053193 0.0035826 0.13786 P_POP_4564 0.0099707 0.0053151 0.06091 p_const2011_2016 0.0123418 0.0028999 2.24e-05 CRP3_SCORE_STD -0.0057390 0.0026349 0.02959
que l’effet court terme est constant et selon la figure 4.2cet effet est aux alentours de 0.015. Autrement dit, si on augmente les dépenses du média A d’une unité dans une semaine i, on constate que le nombre de soumissions augmentent de 0.015 dans la même semaine i. C’est en principe une estimation robuste de l’effet causal moyen à court terme de MEDIA_COST_A. Par conséquent, on s’intéresserait à partir de cette approche à comparer la droite horizontale de hauteur 0.015, présentée dans la figure 4.2, avec les dérivées des courbes dose-réponse résultant des autres méthodes.
Par ailleurs, et dans une optique comparative à Sriti (2019), si on multiplie la différence observée au niveau des dépenses dans le média A entre le groupe HIGH et le groupe LOW (=3.56) par le coefficient estimé dans le modèle pour SOUM retenu dans notre analyse des SCMMs (=0.015), on se retrouve avec un effet causal de 0.053. Ceci indique que l’effet des dépenses publicitaires dans le média A sur le nombre de soumissions semble atténué lorsqu’on a considéré les données longitudinales, par rapport à l’effet causal inféré de valeur 0.126 obtenu avec l’approche de Sriti (2019) lorsque la structure des données est agrégée, et encore plus atténué de l’effet de valeur 0.33 obtenu par la méthode Hirano-Imbens sur les données agrégées. On mentionne qu’il est difficile de savoir si c’est l’effet réel qui est atténué dans les données longitudinales ou c’est l’estimateur qui sous-estime cet effet.
4.3.3 Analyse longitudinale - Approche du MGPS
Dans cette partie, on va présenter les résultats de l’approche générale deMoodie and Stephens
(2012) selon deux modèles de traitement, celui avec imputation des valeurs nulles du traitement et celui du traitement avec masse à 0. Pour le premier modèle de traitement, les valeurs nulles de MEDIA_COST_A sont remplacées par 0.1 (voir la section 3.3.3) alors que pour le deuxième, on utilise un modèle de mélange pour la variable traitement (voir la section 3.3.4). Dans un premier temps, on se base sur le même jeu de données de 1224 observations qui considère les données positives au niveau de la variable MEDIA_COST_A de telle sorte
que les valeurs nulles de la variable MEDIA_COST_A, qui représentent 4% de notre jeu de données, ont été remplacées par 0.1. En traitant les données comme étant indépendantes, on ajuste le modèle de score de propension par un glm gamma avec lien inverse g(µi) = µ1i
(voir la sous-section 3.3.3), tel que MEDIA_COST_A est la variable dépendante, et comme variables indépendantes, les mêmes variables explicatives que dans le modèle de score de pro- pension de la sous-section 4.3.2 (voir l’annexe A.5). En utilisant la méthode du maximum de vraisemblance, on estime les coefficients de régression (voir le tableau 4.7). Et par la même paramétrisation de la loi gamma faite pour l’analyse agrégée, on définit notre MGPS qui est la densité correspondant à notre modèle pour le score de propension. Cette variable MGPS va par la suite être prise en compte dans le modèle de régression modélisant la variable réponse SOUM.
Table 4.7 – Résumé du modèle pour le score de propension de la méthode Moodie-Stephens, traitements nuls remplacés par 0.1
Modèle pour le score de propension
Variable Coefficient β Erreur type sd P-value
MEDIA_COST_B -2.464e-02 9.700e-03 0.01120
MEDIA_COST_C 7.878e-04 7.340e-04 0.28338
P_POP_4564 -8.975e-04 8.158e-04 0.27152
p_const2011_2016 1.517e-06 4.552e-04 0.99734
CRP3_SCORE_STD -5.614e-04 4.145e-04 0.17584
WEEKNUM_fac9 1.321e-02 1.310e-02 0.31364
WEEKNUM_fac10 6.554e-02 1.475e-02 9.70e-06
WEEKNUM_fac11 2.717e-02 1.483e-02 0.06720
WEEKNUM_fac12 -1.774e-02 1.386e-02 0.20090
WEEKNUM_fac13 1.579e-01 1.527e-02 < 2e-16
WEEKNUM_fac14 5.201e-03 1.357e-02 0.70152
WEEKNUM_fac15 3.700e-02 1.610e-02 0.02168
WEEKNUM_fac16 -5.038e-03 1.314e-02 0.70157
MEDIA_lag1_A -1.116e-03 5.114e-04 0.02922
SOUM_lag1 -1.247e-02 4.527e-03 0.00598
Ensuite pour ajuster la variable réponse SOUM, on débute avec un modèle de régression li- néaire complet avec des termes quadratiques pour la variable MEDIA_COST_A et la variable MGPS ainsi que l’interaction entre les deux. Après une sélection de variables suivant la mé- thode descendante avec un seuil d’exclusion fixé à 5%, on élimine le terme quadratique du MGPS et les variables sont désormais toutes significatives (voir le tableau 4.8). Pour finir, on trace la courbe dose-réponse de l’estimation de l’effet du montant investi dans le média A sur le nombre espéré de soumissions selon la méthode présentée à la section 3.3.3 (voir la courbe en bleu de la figure4.1).
Dans un deuxième temps, on procède à l’analyse du traitement avec masse de probabilité à 0 qui repose sur un modèle de mélange permettant de garder les valeurs nulles de la variable
Table 4.8 – Résumé du modèle pour SOUM de la méthode Moodie-Stephens, traitements nuls remplacés par 0.1.
Modèle pour SOUM
Variable Coefficient β Erreur type sd P-value
MEDIA_COST_A -0.032071 0.011963 0.007442
(MEDIA_COST_A)2 0.001938 0.000455 2.21e-05
MGPS -2.017612 0.526959 0.000135
MEDIA_COST_A :MGPS 0.257763 0.122929 0.036213
MEDIA_COST_A, sans les imputer. En se basant sur les 1224 observations et en incluant les variables confondantes liées à la fois aux nombres de soumissions et aux efforts publicitaires fournis en A (voir l’annexeA.5), on construit un modèle pour estimer la probabilité que l’effort publicitaire dans le média A est nul. En effet, nous allons procéder à une régression logistique avec une variable dépendante newvar qui prend la valeur 1 si la variable MEDIA_COST_A est nulle et 0, sinon (voir le tableau4.9). Puis en conservant seulement les MEDIA_COST_A positifs, c’est à dire un jeu de données de 1175 observations, on ajuste un modèle glm gamma pour prédire la probabilité de recevoir une dose non nulle d’investissement dans le média A, qui est la densité de ce glm gamma MGPS_0 (voir le tableau 4.10). Par la suite, on calcule le b
r (dénoté par r_hat dans les tableaux), le MGPS associé à cette analyse, et qui va être pris en compte dans le modèle de régression linéaire modélisant le nombre de soumissions (voir le tableau 4.11). On finit par tracer la courbe dose-réponse en vert telle que représentée dans la figure 4.1.
Table 4.9 – Résumé du modèle de régression logistique, traitement avec masse à 0 Modèle de régression logistique
Variable Coefficient β Erreur type sd P-value
MEDIA_COST_B -0.82619 0.69076 0.231677 MEDIA_COST_C 0.32691 0.06863 1.9e-06 P_POP_4564 0.21057 0.05779 0.000269 p_const2011_2016 -0.03743 0.03537 0.290044 CRP3_SCORE_STD -0.03100 0.03076 0.313552 WEEKNUM_fac9 -2.16802 1.02513 0.034441 WEEKNUM_fac10 -0.40052 1.12993 0.722991 WEEKNUM_fac11 -4.04273 1.26331 0.001374 WEEKNUM_fac12 -4.09213 1.25576 0.001119 WEEKNUM_fac13 -1.07681 0.90891 0.236124 WEEKNUM_fac14 -2.96656 1.11761 0.007946 WEEKNUM_fac15 -1.56640 1.30120 0.228660 WEEKNUM_fac16 -3.63125 1.42414 0.010779 MEDIA_lag1_A 0.02588 0.03398 0.446400 SOUM_lag1 0.46134 0.29650 0.119723
À partir de la figure4.1, on constate que les courbes en vert et en bleu sont similaires, donc on obtient à peu près la même chose avec les deux modèles de traitement de l’approche Moodie- Stephens. Il s’agit d’une courbe dose-réponse qui est croissante sauf pour les petites valeurs de MEDIA_COST_A qui ne sont pas interprétables vu l’exposition trop faible. On voit bien que plus on investit dans le média A, plus il y a de retour.
Table 4.10 – Résumé du modèle pour le score de propension de la méthode Moodie-Stephens, traitement avec masse à 0.
Modèle du glm gamma
Variable Coefficient β Erreur type sd P-value
MEDIA_COST_B -2.048e-02 8.714e-03 0.018948
MEDIA_COST_C -6.217e-04 6.600e-04 0.346402
P_POP_4564 -2.089e-03 7.163e-04 0.003603
p_const2011_2016 7.938e-05 4.003e-04 0.842830
CRP3_SCORE_STD -3.894e-04 3.598e-04 0.279398
WEEKNUM_fac9 2.550e-02 1.168e-02 0.029187
WEEKNUM_fac10 6.742e-02 1.297e-02 2.36e-07
WEEKNUM_fac11 4.517e-02 1.321e-02 0.000652
WEEKNUM_fac12 1.498e-03 1.236e-02 0.903580
WEEKNUM_fac13 1.524e-01 1.308e-02 < 2e-16
WEEKNUM_fac14 1.923e-02 1.212e-02 0.112761
WEEKNUM_fac15 4.584e-02 1.435e-02 0.001435
WEEKNUM_fac16 1.070e-02 1.185e-02 0.366913
MEDIA_lag1_A -1.374e-03 4.421e-04 0.001929
SOUM_lag1 -1.550e-02 4.012e-03 0.000118
Table 4.11 – Résumé du modèle de SOUM avec modèle de mélange pour traitement avec masse à 0.
Modèle de SOUM
Variable Coefficient β Erreur type sd P-value
MEDIA_COST_A -0.0278650 0.0110965 0.0122
(MEDIA_COST_A)2 0.0018283 0.0004315 2.44e-05
r_hat -1.4390992 0.3630606 7.81e-05
MEDIA_COST_A :r_hat 0.1273101 0.0861038 0.1395
De la même manière que dans les autres analyses, on va comparer l’effet causal de 0.126 obtenu par Sriti(2019) avec celui obtenu par les deux modèles de traitement de l’approche Moodie- Stephens. En effet, selon la méthode Moodie-Stephens avec imputation, on voit selon la courbe en bleu correspondante dans la figure4.1que la différence au niveau du nombre de soumissions moyen si on passe du group LOW (1.18) au groupe HIGH (1.13) est de 0.05. D’autre part et à partir de la courbe en vert, on se retrouve avec un effet causal de 0.04 qui représente l’effet sur les soumissions si on passe du groupe LOW (1.13) au groupe HIGH (1.17). Ceci indique
que les deux analyses de Moodie-Stephens suggèrent à peu près le même effet des dépenses publicitaires sur le nombre de soumissions, et qui converge vers l’effet causal de valeur 0.053 obtenu à partir de l’analyse des SCMMs. Ainsi, on constate bien, pareil à la méthode des SCMMs, que cet effet causal est atténué lorsqu’on a considéré la structure longitudinale des données.
Afin d’évaluer l’effet causal dans une optique comparative des résultats des 3 méthodes éla- borées pour modéliser le nombre de soumissions reçues, on présente ci-dessous la figure 4.1et la figure 4.2 qui illustrent les courbes dose-réponse et les dérivées correspondantes, respecti- vement. Pour avoir une idée sur l’incertitude dans les estimations des courbes dose-réponse, on a opté pour ajouter à nos graphiques des bandes de confiance obtenues à l’aide de la mé- thode du bootstrap. Il s’agit d’une approche proposée parEfron(1979) qui consiste à faire du rééchantillonnage avec remise. En effet, le principe du bootstrap est de tirer, avec remise, à partir d’un échantillon de taille n d’autres échantillons, appelés échantillons bootstrap, de la même taille pour pouvoir réaliser une estimation d’une statistique. Dans notre application de cette méthode, on a tiré avec remise à partir de nos 136 RTA plusieurs échantillons bootstrap de même taille et on a réalisé 1000 réplications. Pour la construction des bandes de confiance, on a utilisé le 5e et le 95e percentiles des valeurs de la statistique dans ces réplications. La figure 4.1montre que la pente est plus faible avec les deux analyses de Moodie-Stephens à savoir, avec imputation et traitement avec masse à 0, qu’avec l’analyse agrégée. Le fait de passer aux données longitudinales a donc réduit l’effet accordé à l’investissement dans le média A, dans le sens où une partie de la contribution de SOUM a été associée à la saisonnalité (la variable WEEKNUM). Aussi, on voit bien que les deux courbes issues de la méthode Moodie- Stephens suggèrent à peu près le même effet des dépenses publicitaires sur le nombre de soumissions, de telle sorte qu’on a un effet négatif pour les dépenses les plus faibles inférieures à 5, mais qui converge vers la même direction que la méthode Hirano-Imbens sur l’intervalle restreint de 5 à 10 en terme de dépenses dans le média A.
On mentionne que pour les valeurs faibles de MEDIA_COST_A entre 0 et 5, on a des bandes de confiance assez larges, ce qui rend moins plausible les résultats contre-intuitifs d’un ef- fet négatif des dépenses dans le média A. Cependant, ces bandes de confiance deviennent plus étroites à partir des dépenses de 5 et plus. En outre, pour les valeurs moyennes de MEDIA_COST_A (les valeurs les plus observées), on peut dire que les deux approches Hirano-Imbens et Moodie-Stephens ont des estimés assez similaires. Or, plus on arrive sur des valeurs plus élevées de MEDIA_COST_A (des valeurs que l’on observe moins souvent), on trouve que les estimés sont moins précis et les deux approches divergent.
La figure 4.2 illustre bien que la droite associée au SCMM semble faire une approximation constante des deux courbes dérivées associées à Moodie-Stephens, surtout pour les valeurs les plus observées du MEDIA_COST_A à partir de 5 et plus. De façon similaire à la figure 4.1,
on voit que les bandes de confiance sont assez larges pour des valeurs de MEDIA_COST_A inférieures à 5. Toutefois, dès qu’on est à des valeurs de MEDIA_COST_A de 5 et plus, les bandes de confiance deviennent beaucoup plus étroites et les courbes dérivées associées à l’approche Moodie-Stephens donnent exactement le même effet estimé par la méthode des SCMMs, réputée être la plus robuste.
Figure 4.1 – Les courbes dose-réponse des méthodes élaborées, avec bandes de confinace à