Les dimensions de cette seconde structure (Figure 2-35) sont comparables aux précédentes. Il s agit en effet d un tirant de m de long traversé par une armature de section
m (diamètre de 10 mm). Cette fois encore, le chargement est uniquement appliqué au renfort d acier sous la forme d un déplacement imposé Seule différence, la section droite de béton de ce second tirant est constituée d un carré de cm de côté cette forme facilite la création du maillage tout en conservant l aire de la section Dans cette seconde étude l usage d éléments massifs nécessite l ajout de nouvelles conditions aux limites permettant d empêcher un mouvement de solide rigide : un déplacement nul dans la direction au niveau des points , , et de la Figure 2-35 et dans la direction pour les points et . Enfin, les deux extrémités de l acier (qui dépassent du bloc de béton) sont bloquées dans les directions normales au renfort ( et ).
4-1-a. Description de l’acier
L acier est toujours représenté par des éléments unidirectionnels éléments barre La discrétisation du maillage est également conservée. On compte ainsi 100 éléments dans la longueur du tirant. Comme précédemment, le comportement de ce matériau est décrit par une loi élasto-plastique parfaite de module d Young et de limite élastique (pour rappel,
Pa et MPa).
4-1-b. Description du béton
La discrétisation du maillage dans la direction du renfort d acier est choisie identique à celle de l acier (100 éléments dans la direction ). La section droite du béton est composée de éléments de manière à ce que le renfort d acier soit situé au centre d un élément de béton (Figure 2-36) et que le modèle soit testé dans la situation où les deux maillages sont non-coïncidents. Chaque élément mesure ainsi 2cm de côté.
Figure 2-36 : Maillages non coïncidents de l’acier et du béton (extrémité du tirant)
Pour cette première étude le comportement du béton est représenté à l aide de la forme locale du modèle d endommagement isotrope développé par Mazars Dans ce modèle, la diminution de la rigidité du matériau sous l effet de la microfissuration est calculée à partir d un unique scalaire d endommagement variant entre 0 (structure saine) et 1 (structure totalement endommagée). La contrainte dans le béton est alors régie par la loi (2-39),
(2-39)
où représente le tenseur des contraintes, la matrice de Hooke (tenseur d ordre 4) et le tenseur des déformations élastiques. Pour ce modèle, la fissuration du béton est définie comme la conséquence de la sollicitation d extension. L évolution de l endommagement est donc pilotée par une déformation équivalente caractérisant l extension du matériau au cours du chargement et prenant la forme (2-40) :
(2-40)
où représente la ième valeur propre positive du tenseur des déformations.
Le scalaire d endommagement est défini comme la valeur maximale atteinte par une fonction au cours de l histoire du chargement soit . Cette fonction s écrit comme la combinaison d un endommagement de traction et d un endommagement de
compression .
si sinon
Figure 2-37 : Réponse en traction pure de la loi de comportement du béton
Les paramètres matériaux du modèle (Tableau 2-3) sont fixés de manière à reproduire un comportement en traction pure, proche de celui décrit dans le paragraphe précédent.
Tableau 2-3 : Paramètres matériaux de la loi de Mazars (1984)
et correspondent respectivement au module d Young et au coefficient de Poisson du béton, représente la déformation seuil à partir de laquelle l endommagement du béton s amorce Les coefficients et permettent de décrire le comportement en traction (ils interviennent dans l expression de ). Enfin, et caractérisent le comportement en compression alors que agit sur le cisaillement Un essai de traction pure a été simulé à l aide de ces paramètres. La courbe obtenue est présentée sur la Figure 2-37.
Les propriétés hétérogènes du béton sont ici représentées à l aide d une répartition aléatoire de la déformation seuil (la résistance du béton est directement corrélée à cette déformation seuil). Cette répartition, représentée sur la Figure 2-38, est caractérisée par un écart type correspondant à 3% de la valeur moyenne : ( ).
4-2. Comportement du tirant modélisé à l’aide de l’hypothèse de liaison
parfaite
Pour cette première application on suppose une liaison parfaite entre l acier et le béton en imposant un déplacement identique à l acier et aux éléments de béton environnants (relations cinématiques). Le tirant possède un comportement identique à celui décrit dans le problème unidirectionnel (phase élastique, fissuration progressive du béton et phase gouvernée par le comportement de l acier en fin de chargement comme l illustre la Figure 2-39). Cependant de nouveaux phénomènes induits par la représentation volumique du béton apparaissent. Ces phénomènes sont présentés phase par phase.
4-2-a. Phase élastique
La Figure 2-40 représente la répartition des contraintes axiales (dans la direction du renfort d acier le long du tirant au cours de la phase élastique (coupe dans le plan du renfort). Comme pour le problème unidirectionnel, cette contrainte se répartit de manière homogène sur une très grande partie du tirant. On observe cependant un fort gradient de contraintes aux extrémités qui est la conséquence directe du chargement ponctuel appliqué uniquement à l acier (Figure 2-40b).
lesquels la contrainte axiale est maximale (Figure 2-40). Dans ces zones, la contrainte est principalement reprise par le renfort d acier La zone de concentration de contraintes dans le béton se déplace ainsi avec le front de la zone endommagée L endommagement se développe alors le long du renfort aboutissant à l état final à la formation d une bande d éléments endommagés (Figure 2-42a En revanche aucune zone d endommagement n apparait à l extérieur du tirant Figure 2-42b). La fissuration du tirant dans la direction perpendiculaire au renfort n est donc pas représentée dans cette simulation et explique l absence de pic de décharge sur la courbe de comportement global (Figure 2-39).
a) b)
Figure 2-40 : Répartition de la contrainte axiale ( ) durant la phase élastique a) coupe le long de l’axe du renfort, b) extrémité du tirant (section droite)
a) b)
Figure 2-42 : Répartition de l'endommagement (scalaire D) le long du tirant en fin de chargement a) coupe dans le plan du renfort d’acier, b) intégralité du tirant
Le phénomène de concentration de contraintes gouvernant ici la dégradation du tirant est certainement amplifié par la représentation de l acier à l aide d éléments barre Il pourrait donc être atténué par une représentation volumique du renfort. Ce choix de modélisation ne rentre cependant pas dans le cadre d étude imposé par le calcul de structures de grandes dimensions.
4-3. Prise en compte du comportement de la liaison acier-béton
Le modèle de liaison acier-béton est ensuite introduit. Pour cette application, le comportement de la liaison est représenté à l aide de la loi d adhérence linéaire k avec k Pa m. Le comportement global du tirant est représenté sur la Figure 2-43. Il est détaillé phase par phase.
a) b)
Figure 2-44 : Répartition de la contrainte axiale ( ) durant la phase élastique a)coupe le long de l’axe du renfort, b) extrémité du tirant (section droite) 4-3-a. Phase élastique
La Figure 2-44 représente un exemple de répartition des contraintes axiales le long du tirant au cours de la phase élastique Contrairement à la structure modélisée à l aide de l hypothèse de liaison parfaite, l hétérogénéité des contraintes ne se concentre plus uniquement sur les extrémités du tirant. Dans cette simulation, la contrainte axiale est maximale sur la partie centrale du tirant. Comme dans le cas du problème unidirectionnel (Figure 2-24), les contraintes se transmettent progressivement entre l acier et le béton La représentation volumique permet également de représenter l hétérogénéité des contraintes dans la direction perpendiculaire au renfort. Dans une section droite donnée du tirant, les contraintes dans le béton sont donc plus importantes à proximité du renfort. Ce gradient de contrainte reste cependant plus faible (Figure 2-44b) que dans la structure précédente. Lintroduction de la liaison acier béton introduit en effet une certaine souplesse à la structure et permet aux contraintes de mieux se répartir le long de cette dernière.
4-3-b. Développement de l’endommagement
L endommagement s initie cette fois dans la partie centrale du tirant zone dans laquelle la contrainte axiale est maximale) sur les éléments possédant la limite élastique la plus faible. Ainsi, deux zones endommagées, assimilables à des fissures, apparaissent simultanément dans la direction normale au renfort (Figure 2-45). La contrainte axiale se redistribue de part et d autre de ces bandes d endommagement (Figure 2-46) selon un schéma identique à celui décrit pour le problème unidirectionnel. A l état final (Figure 2-47), le tirant comporte un nombre fini de zones fissurées perpendiculaires au renfort d acier Cette fois encore, seul le tirant modélisé à l aide du
dans les normes de calculs (Eurocode 2, 2007)(Figure 2-19, Figure 2-25 et Figure 2-27). Le comportement qualitatif du modèle de liaison est ainsi également validé dans le cas d une représentation volumique du béton.
Figure 2-45 : Initiation de l'endommagement (scalaire D) perpendiculairement au renfort d'acier dans la partie centrale du tirant (coupe dans le plan du renfort d’acier)
Figure 2-46 : Répartition de la contrainte axiale ( ) le long du tirant après apparition des premières zones endommagées (coupe le long de l’axe du renfort)
Figure 2-47 : Répartition de l'endommagement (scalaire D) le long du tirant en fin de chargement (coupe dans le plan du renfort d’acier)
a été proposé liaison entre un maillage d acier représenté à l aide d éléments barre et des éléments massifs de béton, les maillages pouvant être non coïncidents). Ce modèle repose sur le principe d efforts additionnels appliqués aux nœuds des deux matériaux Les différentes étapes de calcul ont ainsi été présentées. Limplémentation du modèle dans un code aux éléments finis (ici : Cast3M, 2012) a été détaillée.
Ce nouveau modèle a ensuite été appliqué à deux tirants. Dans le premier cas, la structure a été maillée entièrement à l aide d éléments unidirectionnels (éléments barre). Cette étude a permis dans un premier temps de valider l implémentation numérique du modèle proposé Une comparaison entre un tirant modélisé en liaison parfaite (relation de liaison actuellement utilisée pour les structures de grandes dimensions) et un tirant incluant le modèle de liaison acier-béton a permis de comprendre les mécanismes de dégradation directement liés à la prise en compte de la liaison (transfert progressif des forces entre l acier et le béton répartition régulière d un nombre fini de fissures en fin de chargement). Le processus de fissuration est alors à la fois gouverné par les caractéristiques matériaux du béton et le comportement de la liaison acier-béton. Une étude paramétrique faisant varier ces deux paramètres a ainsi permis de souligner que les caractéristiques matériaux du béton influençaient l ordre d apparition des fissures tandis que l état final du tirant nombre et espacement des fissures était plutôt la conséquence du comportement de la liaison (valeur de la raideur).
La seconde application a été menée dans le cadre plus général d une représentation volumique du béton (cadre pour lequel le modèle a principalement été formulé). Cette fois encore, l introduction du modèle de liaison permet de représenter correctement les différentes phases de dégradation du tirant, validant ainsi le comportement qualitatif du modèle dans ce cadre d étude Si l évolution de la fissuration est comparable à celle décrite dans le cas d une structure entièrement maillée à l aide d éléments unidirectionnels la représentation volumique du béton permet de représenter également la distribution hétérogène des contraintes dans la section droite du béton (inclusion d acier au cœur du tirant).
En conclusion, ces différentes applications permettent de mettre en évidence l importance de la prise en compte de la liaison acier-béton pour caractériser l évolution de la fissuration Le comportement du tirant décrit dans ce chapitre reste cependant qualitatif et fortement influencé par la loi d adhérence utilisée en entrée du modèle. Une attention particulière doit donc être portée sur le choix de cette loi de manière à caractériser la fissuration de manière quantitative et fera l objet du chapitre suivant