Présentation des modèles de calcul de l’évolution de la puissance du cœur

Atteinte du titre critique d’assèchement des gaines

L’équation 2.48 permet donc de calculer le titre réel x en prenant en compte un déséquilibre thermique dans le sodium. Au-delà d’un certain titre, les parois de gaines s’assèchent.

L’assèchement peut être défini comme le moment où le film liquide au contact de la paroi chauffante disparaît. A cet instant, l’évacuation significative de la puissance produite dans les aiguilles par transfert thermique avec le sodium s’annule. En conséquence, la température des gaines asséchées augmente de façon quasi-adiabatique [31]. Ce phénomène se produit, à une cote donnée, lorsque le titre du sodium atteint le titre critique d’assèchement des gaines, qui est imposé à une valeur constante fixée par l’utilisateur (dans la gamme 0.2 à 0.95 d’après les références [32, 50–53]), et qui sera probabilisé lors de l’étude statistique présentée dans le chapitre 4.

2.2.4 Synthèse de la modélisation de la thermique des aiguilles et de la ther-mohydraulique du sodium

• Le déclenchement des pompes primaires (initiateur de l’ULOF) est modélisé par une dé-croissance parabolique de la perte de charge liée aux pompes primaires (équation 2.1).

• Pour chaque assemblage, l’évolution temporelle du débit est obtenue en résolvant en 0D l’équation de conservation de la quantité de mouvement entre les deux extrémités de l’assemblage (équation 2.9) avec les conditions aux limites en pression fixées par la boucle du circuit primaire externe au cœur. L’évolution temporelle du débit global dans le cœur est obtenue en sommant l’évolution des débits dans chaque assemblage du cœur (équation 2.2).

• L’évolution de la température moyenne des différents matériaux de l’assemblage est calculée en resolvant l’équation de conservation de l’énergie dans chaque matériau (du combustible au sodium de l’espace inter-assemblage) et à chaque cote z (équations 2.23, 2.25, 2.27 et 2.33).

• Lorsque le sodium est diphasique, un modèle de mélange avec déséquilibre dynamique (implicitement contenu dans la corrélation de Lockhart-Martinelli, équation 2.42) et déséquilibre thermique (prise en compte d’une enthalpie de surchauffe de la phase liquide pour le calcul du titre de la vapeur dans l’équation 2.48) est considéré.

Les modèles présentés dans ce paragraphe 2.2 sont dédiés aux calculs de la thermique des aiguilles et de la thermohydraulique du sodium dans chaque assemblage représentatif en cas de perte de débit. Lorsque ce transitoire se produit dans un réacteur nucléaire, les évolutions en température (et en taux de vide pour le sodium) ont une influence importante sur la réactivité globale du cœur (cf. paragraphes 2.1.1 et 2.1.2). Les modèles présentés dans le paragraphe 2.3 traitent de ce couplage entre neutronique et thermohydraulique, et plus globalement du calcul de l’évolution temporelle de la puissance globale du cœur lors d’un ULOF.

2.3 Présentation des modèles de calcul de l’évolution de la

puis-sance du cœur

Avec l’échauffement des matériaux, la réduction du débit et la vaporisation du sodium dans certains assemblages, la puissance du cœur évolue au cours du transitoire. Ce paragraphe est dédié

au calcul de l’évolution temporelle de cette puissance globale à l’aide d’un modèle de cinétique 0D et des apports en réactivité obtenus en multi-1D.

NB : la notation courante de la réactivité étant la même que celle de la densité (i.e. la lettre ρ), nous notons dans ce manuscrit ρ la densité et rho la réactivité.

2.3.1 Démarche d’évaluation de la puissance globale du cœur

Pour un cœur de réacteur à l’équilibre, la puissance thermique totale se décompose en deux termes d’origines physiques différentes :

– la puissance nucléaire W_{th nucl}, produite par les réactions de fissions dans le combustible ; – la puissance résiduelle W_{th res}, produite par la désintégration radioactive des produits de

fission instables.

En supposant à chaque instant le réacteur à l’équilibre, la puissance thermique totale s’écrit donc :

W_{th tot}(t) = W_{th nucl}(t) + W_{th res}(t) (2.49)

• Calcul de la puissance nucléaire W_{th nucl}

Pour calculer l’évolution de la puissance nucléaire dans le cœur, la démarche suivie est présentée sur la figure 2.9. Un calcul ERANOS préalablement effectué renseigne les coefficients de contre-réactions neutroniques dans toutes les mailles du cœur. Ces cartes de contre-réactions permettent de calculer à chaque instant l’insertion de réactivité globale liée aux évolutions en température des matériaux, à la vaporisation du sodium, etc. dans les différentes mailles du cœur. La résolution implicite des équations de la cinétique point permet ensuite de déduire de cette insertion de réactivité l’évolution de la puissance nucléaire totale du cœur.

Figure 2.9 – Schéma de calcul de l’évolution de la puissance nucléaire dans le cœur dans MACARENa

• Calcul de la puissance résiduelle W_{th res}

En régime nominal, la puissance résiduelle dans un cœur de RNR-Na est de l’ordre de 7% de la puissance thermique totale. Le domaine d’étude de MACARENa ne s’étendant pas au-delà

2.3 Présentation des modèles de calcul de l’évolution de la puissance du cœur

des accidents non protégés (i.e. sans arrêt du réacteur) et sur de courtes échelles temporelles, ce ratio de 7 % est conservé pendant le transitoire.

2.3.2 Equations de la cinétique ponctuelle

Ce paragraphe rappelle brièvement le contexte d’obtention des équations de la cinétique ponctuelle, qui sont utilisées pour connaître l’évolution de la puissance à partir de celle de la réactivité. Pour plus de détails, le lecteur pourra se référer à l’ouvrage de P. Reuss [54].

L’équation fondamentale de la neutronique est l’équation du transport des neutrons (aussi appelée équation de Boltzmann). Elle gouverne l’évolution spatiale et temporelle de la population neutronique, mais sa résolution est complexe. On réalise donc généralement l’approximation dite de la diffusion, qui permet de simplifier (sous certaines hypothèses non détaillées ici) l’équation de Boltzmann, et qui conduit à une équation simple satisfaite par le flux de neutrons Φ_n(~r, t) (qui

s’exprime en cm⁻²s⁻¹).

Le principe de base de la cinétique ponctuelle (i.e. calculée en 0D) repose sur l’hypothèse de séparation de ce flux en deux fonctions indépendantes, dont l’une dépend du temps et l’autre de l’espace. Cela revient à supposer que le flux neutronique ne peut varier qu’en amplitude, sa distribution spatiale ne changeant pas au cours du temps. Cette hypothèse faite dans MACARENa reste valable tant que la géométrie du cœur n’est pas modifiée (i.e. tant que le cœur n’est pas dégradé).

Φ_n(~r, t) = N (t)S_f(~r) (2.50)

Avec :

– N (t) la fonction d’amplitude, représentant l’évolution de la population neutronique totale dans le réacteur et dépendant uniquement du temps.

– S_f(~r) la fonction de forme, qui ne dépend que de l’espace (i.e. qui ne dépend que de la

géométrie du réacteur).

L’évolution de la population neutronique N (t) est donnée (en l’absence de source externe) par le système d’équations 2.51, appelées équations de la cinétique ponctuelle (ou de Nordheim).

   dN (t) dt =^rho(t)−β_Λ ^N (t) +P iλiCi(t) dCi(t) dt =^βi Λ  N (t) − λiCi(t) ^(2.51) Avec :

– N : la population neutronique (en cm⁻³) , – rho : la réactivité totale du cœur (pcm),

– i : le numéro de groupe de précurseurs de neutrons retardés, – β : la fraction totale de neutrons retardés (pcm),

– β_i : la fraction de neutrons retardés du groupe i (pcm), – Λ : le temps de génération des neutrons prompts (s),

– λ_i : la constante de désintégration des précurseurs du groupe i (s⁻¹), – C_i : la concentration de précurseurs du groupe i (en cm⁻³).

La puissance nucléaire du cœur W_{th nucl}(t) (exprimée en W ) est directement proportionnelle à la population neutronique N (t). Résoudre le système d’équations 2.51 donne donc accès à l’évolution temporelle de la puissance nucléaire.

Pour résoudre ce système, le modèle considéré comprend 8 groupes d’énergie (i_max = 8). Les paramètres de ces groupes sont inscrits dans le tableau 2.3 pour le cœur CFV-V3⁸ [6]. Par ailleurs, pour ce même cœur :

– la fraction totale de neutrons retardés vaut β = 364.4 pcm ;

– le temps de génération des neutrons prompts vaut Λ = 5.290.10⁻⁷s.

Toutes ces valeurs sont celles qui sont aussi utilisées dans le code système CATHARE2 [26].

Groupe i βi en pcm λi en s⁻¹ 1 5.77 0.0125 2 60.07 0.0283 3 21.91 0.0425 4 52.54 0.1330 5 116.17 0.2925 6 47.87 0.6665 7 42.38 1.6348 8 20.77 3.5546

Tableau 2.3 – Paramètres cinétiques du cœur CFV-V3 [6]

2.3.3 Contre-réactions neutroniques

Pour résoudre les équations de la cinétique ponctuelle et avoir accès à l’évolution temporelle de la puissance nucléaire W_{th nucl}(t), il faut connaître l’évolution de la réactivité rho(t). Cette réactivité rho varie lorsque le cœur du réacteur est soumis à des perturbations (i.e. à des variations en température, à des phénomènes de dilatation, de vidange, etc.). Ces réponses neutroniques du cœur peuvent être regroupées en différents effets, appelés contre-réactions neutroniques. Les contre-réactions susceptibles d’avoir une influence non négligeable lors de la phase d’initiation d’un transitoire de type perte de débit non protégé sont les suivantes [55, 56] :

– l’effet Doppler ;

– l’effet de dilatation du sodium ; – l’effet de dilatation des gaines ; – l’effet de dilatation des TH ;

– l’effet de dilatation du combustible ; – l’effet de dilatation du sommier ;

– l’effet de dilatation différentielle entre le cœur, la cuve principale et les barres de contrôle. Dans la suite, l’indice _CR renvoie à chacune de ces contre-réactions, on note donc ∆rho_CR l’insertion de réactivité liée à la contre-réaction CR.

L’insertion de réactivité liée à chacune de ces contre-réactions est supposée sommable à l’échelle du cœur, i.e. dans chaque maille de chaque assemblage (hypothèse réalisée dans tous les outils de référence comme CATHARE2 [57] ou SAS-SFR [58]) :

∆rho_CR =^X i,z

∆rho_CRi(z) (2.52)

2.3 Présentation des modèles de calcul de l’évolution de la puissance du cœur

L’apport total en réactivité est aussi supposé être la somme des apports de chaque contre-réaction (hypothèse réalisée dans tous les outils de référence comme CATHARE2 [57] ou SAS-SFR [58]) :

∆rho_tot =^X

CR

∆rho_CR (2.53)

Cette réactivité nette du cœur donne accès, via la résolution implicite du système d’équations de la cinétique ponctuelle 2.51, à l’évolution de la puissance thermique totale du cœur. En somme, connaître l’insertion de réactivité liée à chaque contre-réaction et dans chaque maille donne accès à l’évolution temporelle de la puissance totale. Ces différents apports en réactivité sont calculés comme présenté dans la suite pour chaque contre-réaction neutronique.

Effet Doppler

L’effet Doppler est un effet neutronique induit par les variations de la température du combus-tible. Plus précisément, une augmentation de la température du combustible augmente l’agitation thermique et participe à l’élargissement des résonances des sections efficaces de capture neutro-nique et de fission. Selon l’importance relative des nouvelles sections efficaces de capture et de fission, l’augmentation en température peut ainsi provoquer soit une augmentation (si la section efficace de fission est plus grande que la section efficace de capture), soit une diminution (si la section efficace de capture est plus grande que la section efficace de fission) de la réactivité du cœur, et donc de la puissance neutronique. Généralement (et pour le cœur CFV notamment), la contre-réaction Doppler est négative. C’est-à-dire qu’une augmentation de la température du combustible entraîne une diminution de la puissance nucléaire du cœur.

Le calcul de l’insertion de réactivité liée à l’effet Doppler est basé sur la constante Doppler

K_D (qui s’exprime en pcm) :

drho_Dop= K_DdT_c Tc

(2.54) Lorsque le combustible d’une maille z de l’assemblage i s’échauffe et passe d’une température

Tci(z) à une température T_ci(z) + ∆T_ci(z), l’insertion de réactivité liée à l’effet Doppler dans cette maille peut donc être évaluée comme suit :

∆rho_Dopi(z) = K_{D i}(z) ln

T_ci(z) + ∆T_ci(z)

Tci(z)



(2.55) Dans chaque maille, la valeur de K_{D i}(z) utilisée est tabulée et issue d’un précalcul ERANOS⁹[56].

Effet de dilatation des gaines

La dilatation axiale des gaines entraîne une diminution de la concentration de l’acier dans le cœur. Le taux d’absorption des neutrons par cet acier diminue et mène à une insertion positive de réactivité.

La dilatation radiale des gaines, elle, augmente le volume de l’aiguille, et “chasse” d’autant un certain volume de sodium. Cet effet est proportionnel à l’effet de dilatation du sodium.

Dans les deux cas (dilatation axiale comme radiale), l’insertion de réactivité drho liée à un écart de température dT peut être calculée via la relation 2.56. Cette relation pourra d’ailleurs

9. Tabulation effectuée via l’interface ERANOS-CATHARE [56]. Calcul ERANOS effectué pour un cœur en fin de cycle et en régime de fonctionnement nominal.

s’appliquer à tous les effets liés à la dilatation de matériaux solides k, en posant α_k le coefficient de contre-réaction lié à la dilatation de ce matériau k (en pcm/K).

drhok= α_kdTk (2.56)

L’apport en réactivité engendrée par un échauffement des gaines ∆T_{g i}(z) s’exprime donc, dans chaque maille z de chaque assemblage i :

∆rho_{g i}(z) = α_{g i}(z)∆T_{g i}(z) (2.57)

La carte 2D des coefficients α_{g i}(z) sont tabulés et issus du même précalcul ERANOS que pour l’effet Doppler.

Effet de dilatation des Tubes Hexagonaux

L’origine physique de cet effet est identique à celui de dilatation des gaines. L’apport en réactivité engendré par la dilatation des TH s’exprime donc, dans chaque maille z de chaque assemblage i :

∆rho_{T H i}(z) = α_{T H i}(z)∆T_{T H i}(z) (2.58) Les coefficients α_{T H i}(z) sont issus du même calcul ERANOS que pour l’effet Doppler.

Effet de dilatation du combustible

La dilatation axiale du combustible a plusieurs effets, dont la combinaison est généralement négative en terme d’apport en réactivité :

– diminution de la concentration en noyaux fissiles : effet négatif en réactivité ; – augmentation de la hauteur fissile totale : effet positif en réactivité ;

– augmentation de la masse totale de sodium dans le cœur, liée à l’augmentation de la hauteur du cœur : effet généralement négatif en réactivité.

L’apport en réactivité de cette dilatation axiale du combustible peut être évalué comme pour les autres contre-réactions de dilatations des solides :

∆rho_ci(z) = α_ci(z)∆T_ci(z) (2.59)

Les coefficients α_ci(z) sont issus du même calcul ERANOS que pour l’effet Doppler.

La dilatation radiale du combustible est, elle, sans effet sur la réactivité puisqu’elle ne modifie pas le volume de sodium dans le cœur.

Effet de dilatation et de vidange du sodium

L’échauffement du sodium entraîne une diminution de sa densité. Cela a trois conséquences sur la réactivité du cœur :

– le premier effet est spectral. Il y a moins d’interactions avec le caloporteur sodium, donc un durcissement du spectre qui, pour un RNR-Na, accroît la réactivité ;

– le deuxième effet est lié aux fuites. Les neutrons ont moins d’interactions avec le sodium, ils sont donc moins ralentis. Le libre parcours moyen des neutrons augmente, de même que les fuites hors du cœur : la réactivité diminue ;

2.3 Présentation des modèles de calcul de l’évolution de la puissance du cœur

– le dernier effet concerne les captures neutroniques. Puisqu’il y a moins d’interaction avec le sodium, il y a moins de captures neutroniques dans ce sodium, donc plus de neutrons dispo-nibles pour entretenir la réaction en chaîne. Cet effet positif en réactivité reste néanmoins faible.

La variation de réactivité du cœur liée à la dilatation du sodium résulte de la compétition entre ces différents phénomènes. Le calcul de l’insertion de réactivité engendrée par cet effet de vide ∆rho_{N ai}(z) revêt un caractère particulier pour deux raisons :

– lors du changement de phase monophasique/diphasique, la densité moyenne du sodium diminue drastiquement mais à température constante (égale à la température de saturation). Un coefficient de contre-réaction classique, exprimé en pcm/K, ne peut donc pas permettre le calcul de la variation de réactivité liée à l’effet de vide après apparition de l’ébullition ; – contrairement aux autres contre-réactions, l’effet de vide est non-linéaire en fonction de la

densité du sodium dans certaines régions de l’assemblage. Concrètement, cela signifie que la variation de réactivité liée à un même écart de température ∆T_{N a} ne sera pas la même pour une densité du sodium élevée ou faible [59]. Cette non-linéarité, mise en évidence sur la figure 2.10, est particulièrement importante dans le plénum, a fortiori lorsque le sodium y devient diphasique (car les variations de la densité moyenne sont alors importantes). Cette figure souligne aussi que l’effet de vide est négatif dans les plénums alors qu’il est positif dans les zones combustibles.

Figure 2.10 – Mise en évidence de la non-linéarité de l’insertion de réactivité dans le plénum en fonction de la densité moyenne du sodium. Calculs successifs réalisés avec le code de calcul neutronique ERANOS sur le cœur CFV-V3 [60]

• Calcul de l’insertion de réactivité par effet de vide

Pour quantifier l’effet de vide, le coefficient de contre-réaction α_{N a} est exprimé en pcm/%¹⁰ (en régime monophasique comme en régime diphasique). La réactivité liée à l’effet de vide est alors calculée à chaque instant et dans chaque maille comme suit :

rhoN ai(z, t) = α_{N ai}(z)∆ρ_{%N ai}(z, t) (2.60)

Où α_{N ai} est le coefficient de contre-réaction lié à l’effet de vide (en pcm/%) et où ∆ρ_{%N a} représente la diminution de la densité du sodium (et non la nouvelle densité du sodium), notée

ρ_{N a nom} et exprimée en pourcentage de sa densité au même endroit lorsque le réacteur est en régime nominal :

∆ρ_{%N ai}(z, t) = ρ_{N a nomi}(z) − ρ_{N ai}(z, t)

ρ_{N a nomi}(z) ^(2.61)

Puis il vient :

∆rho_{N ai}(z, t) = rho_{N ai}(z, t) − rho_{N ai}(z, t − ∆t) (2.62)

• Cas particulier du plénum

Dans les zones hors plénum, l’insertion de réactivité liée à l’effet de vide est linéaire. Cela signifie que le coefficient de contre-réaction α_{N ai}(z) ne dépend pas de la densité moyenne du sodium dans la maille z (il est donc indépendant du temps, cf. équation 2.62). Dans le plénum par contre, le coefficient α_{N ai}(z, t) dépend du temps, car il est lié à la densité moyenne du sodium par la relation suivante, déduite des résultats de calculs ERANOS présentés sur la figure 2.10 [60] :

αN ai(z, t) =^0.6044∆ρ_{%N a}²_i(z, t) + 1.2381∆ρ_{%N ai}(z, t) + 1.00^αN ai nom(z) (2.63)

Dans le plénum comme en dehors, la carte 2D des coefficients α_{N ai nom}(z) est issue du calcul ERANOS mentionné plus tôt.

Effet de dilatation du sommier

Le sommier est la structure qui supporte les assemblages en bas du cœur. Lorsque la tem-pérature d’entrée du sodium dans ce sommier s’élève, les structures se dilatent. Il s’ensuit une augmentation du rayon du cœur (l’écart entre les assemblages augmente), et donc une augmen-tation du volume de sodium dans le cœur, à masse de combustible constante. Les fuites hors du cœur augmentent aussi. L’effet global en réactivité est négatif et peut être évalué ainsi :

∆rho_sommier = α_sommier∆T_{N asommier} (2.64) en posant α_sommier le coefficient de contre-réaction (en pcm/K) lié à la dilatation des structures du sommier, et ∆T_{N asommier} les variations de la température du sodium dans ce sommier (i.e. les variations de la température d’entrée du sodium dans le cœur).

Le coefficient α_sommier est lui aussi renseigné par le calcul ERANOS cité précédemment.

2.3 Présentation des modèles de calcul de l’évolution de la puissance du cœur

Effet de dilatation différentielle entre le cœur, la cuve et les barres de contrôle

Dans la suite du document, cet effet est appelé “effet Coeur-Cuve-Barres” (effet CCB). Il correspond à la somme de trois effets liés à l’échauffement des différents composants du réacteur, schématisés sur la figure 2.11 :

– l’échauffement du combustible entraîne sa dilatation axiale. Cela correspond en relatif à une insertion de barres de contrôle dans le cœur ;

– l’échauffement du sodium dans le collecteur chaud entraîne la dilatation des mécanismes d’insertion des barres de contrôle. Cela conduit à l’insertion de ces dernières dans le cœur du réacteur ;

– l’échauffement du sodium dans le collecteur froid participe à la dilatation axiale de la cuve vers le bas, qui dans l’ensemble se déplace vers le bas puisqu’elle est suspendue à la dalle réacteur par son extrémité supérieure. Cela correspond en relatif à un retrait des barres de contrôle du cœur.

Le calcul particulier de l’insertion de réactivité liée à cet effet CCB fait l’objet du paragraphe 2.3.4.

Figure 2.11 – Représentation schématisée de l’effet CCB [56]

2.3.4 Calcul de l’effet de dilatation différentielle Cœur-Cuve-Barres

L’effet CCB est lié à l’insertion des absorbants neutroniques¹¹ dans le cœur par dilatation différentielle entre les barres d’absorbant, le cœur et la cuve (cf. figure 2.11). Dans un premier temps, l’évolution temporelle de cette insertion est calculée à partir de l’évolution de la géométrie des composants, résultant de leur dilatation. Dans un second temps, l’apport en réactivité lié à cette insertion d’absorbants dans le cœur est déduite de la courbe dite “en S” du cœur (issue de [6]).

Calcul de l’insertion des barres d’absorbant dans le cœur

L’insertion moyenne des barres d’absorbants neutroniques dans le cœur est notée Ins(t) (exprimée en m). A l’état initial, Ins(t = 0) = Ins₀. Cette insertion dépend ensuite des dilatations thermiques relatives du cœur, des barres d’absorbant et de la cuve, respectivement notées ∆Z_coeur, ∆Z_barres et ∆Z_cuve :

Ins(t) = Ins0+ ∆Z_coeur(t) + ∆Z_barres(t) − ∆Z_cuve(t) (2.65) NB : La dilatation du cœur et des barres participe à l’insertion des barres d’absorbant dans le cœur. A l’inverse, la dilatation de la cuve participe à leur retrait, cf. figure 2.11.

• Calcul de la dilatation du cœur ∆Z_coeur

Ce qui est courament appelé dilatation du cœur dans le cadre du calcul de l’effet CCB correspond en réalité à la dilatation axiale du combustible. Comme considéré dans CATHARE2

Dans le document Modélisation d’un transitoire de perte de débit primaire non protégé dans un RNR-Na (Page 72-87)