1.4.1 Présentation de la thèse
Dans ce premier chapitre, nous avons introduit le contexte de l’échantillonnage des signaux parcimonieux se basant sur deux façons différentes de représenter la parcimo-nie. Dans le chapitre 2 nous nous intéresserons plus particulièrement aux signaux im-pulsionnels (ou à modèle paramétrique). Nous dérivons les performances dans différents contextes dans le but d’en tirer le choix d’un noyau optimal. Dans le chapitre 3 nous nous focalisons sur l’étude théorique de l’influence de l’erreur de modèle dans le contexte de l’estimation par dictionnaire et de l’acquisition comprimée, pour établir la robustesse de l’estimation à ces erreurs à haut rapport signal sur bruit. Dans le chapitre 4, nous étudions le cas particulier de l’erreur structurée et proposons des algorithmes permettant de cor-riger l’écart de performance induit par les erreurs de modèles. Enfin le chapitre 5 résume nos conclusions et apporte des perspectives pour la suite de notre travail.
1.4.2 Contributions sur le sujet des signaux paramétriques
Nous présentons ici les différentes contributions que nous apportons dans cette thèse, pour en donner une vision synthétique.
• Section 2.2.1 : nous donnons l’expression analytique de la borne de Cramer Rao déterministe, pour un signal à somme de Dirac et des noyaux quelconques. Cette borne prend en compte le cas à plusieurs impulsions. Nous donnons une approxi-mation très simple de cette borne, valable pour les noyaux les plus courants, per-mettant de comparer facilement les résultats des noyaux en terme de performance. • Section2.2.2 : nous nous plaçons dans le contexte Bayésien et donnons la borne Bayésienne de Van Trees pour un signal à somme de Dirac et des noyaux quel-conques et nous utilisons cette borne pour établir le noyau SoS optimal sur le para-mètre de retard.
• Section2.3.1: nous dérivons la borne Bayésienne de Van Trees pour un signal quel-conque et l’utilisation des noyaux SoS.
• Section2.3.2: nous trouvons le noyau optimal optimisant la borne Bayésienne à la fois pour les retards et les amplitudes, pour différentes contraintes de normalisa-tion.
• Section2.4: nous proposons un modèle permettant d’utiliser l’acquisition compri-mée pour estimer les signaux paramétriques composés d’une somme d’impulsions de Dirac et pouvant être généralisé à tout type de signaux paramétriques.
1.4.3 Contributions sur le sujet des erreurs de modèles dans
l’acquisi-tion comprimée
• Section3.1: nous présentons deux modèles d’erreur différents, apparaissant l’un ou l’autre à des étapes différentes du processus d’échantillonnage comprimé. • Section3.2: nous donnons la borne Bayésienne de Van Trees pour ces deux types
d’erreur sur l’estimation des amplitudes.
• Section3.3: nous donnons la Borne de Cramer Rao Moyennée pour le problème spécifique de l’erreur de grille, dans le cas où l’erreur est faible et comparons cette borne à la borne de Van Trees.
• Section3.4: nous donnons dans le cas à haut rapport signal sur bruit où le support du vecteur parcimonieux est correctement estimé l’erreur quadratique moyenne dans le contexte Bayésien sur l’estimation des retards de l’estimation par diction-naire et nous montrons par simulation que cette borne est atteinte par des algo-rithmes d’estimation.
• Section3.4.4et1.3.3: nous montrons les conséquences de l’erreur de grille dans le cas particulier de l’estimation de fréquence. Dans ce contexte applicatif nous don-nons aussi la cohérence du dictionnaire et la contrainte que celle-ci représente sur l’estimation.
• Section4.1.1: nous nous intéressons également au problème de l’erreur de grille structurée et donnons les bornes de Van Trees sur l’estimation des retards et des amplitudes dans ce contexte.
• Section4.1: nous proposons l’algorithme OGEC (Off-Grid Error Correction) comme étape post-traitement pour estimer l’erreur de support et réestimer les amplitudes en présence d’erreur de grille. Nous étudions les performances théoriques de cet algorithme sur l’estimation des retards, et montrons ses résultats par simulation dans le contexte de l’estimation par dictionnaire des signaux paramétriques. • Section4.2: nous proposons également l’algorithme BiCE (Bias Correction
Estima-tor) pour corriger l’erreur sur l’estimation de l’amplitude en présence d’une erreur de bruit additif sur le dictionnaire. Cette correction se base uniquement sur l’esti-mation du support et peut donc être utilisée en post-traitement de n’importe quel algorithme d’estimation parcimonieuse sans que cela n’influe les performances. Nous dérivons les performances théoriques de l’algorithme, étudions son efficacité et montrons les résultats pratiques dans le cadre de l’acquisition comprimée des signaux paramétriques.
1.4.4 Publications
Articles dans des revues à comité de lecture
• S. BERNHARDT, R. BOYER, S. MARCOS et P. LARZABAL. « Compressed Sensing with Basis Mismatch : Performance Bounds and Sparse-Based Estimator ». Dans : IEEE
Actes de colloques internationaux
• S. BERNHARDT, R. BOYER, S. MARCOSet P. LARZABAL. « Sparse-based estimators im-provement in case of Basis mismatch ». Dans : Computational Advances in
Multi-Sensor Adaptive Processing (CAMSAP), 2015 IEEE 6th International Workshop on.
Déc. 2015, p. 417–420
• S. BERNHARDT, R. BOYER, S. MARCOSet P. LARZABAL. « Compressed Sensing with un-certainty - the Bayesian estimation perspective ». Dans : Computational Advances in
Multi-Sensor Adaptive Processing (CAMSAP), 2015 IEEE 6th International Workshop on. Déc. 2015, p. 421–424
• S. BERNHARDT, R. BOYER, S. MARCOS, Y. C. ELDAR et P. LARZABAL. « Sampling FRI signals with the SOS kernel : Bounds and optimal kernel ». Dans : Signal Processing
Conference (EUSIPCO), 2015 23rd European. Août 2015, p. 2172–2176
• S. BERNHARDT, R. BOYER, S. MARCOS, Y. C. ELDAR et P. LARZABAL. « Cramer-Rao Bound for finite streams of pulses ». Dans : 2014 22nd European Signal Processing
Conference (EUSIPCO). Sept. 2014, p. 984–988
• S. BERNHARDT, R. BOYER, B. ZHANG, S. MARCOSet P. LARZABAL. « Performance ana-lysis for sparse based biased estimator : Application to line spectra anaana-lysis ». Dans :
2014 IEEE 8th Sensor Array and Multichannel Signal Processing Workshop (SAM).
Invited paper. Juin 2014, p. 365–368
Actes de colloques nationaux
• S. BERNHARDT, R. BOYER, S. MARCOS, Y. ELDARet P. LARZABAL. « Nouveaux noyaux pour l’échantillonnage de signaux impulsionnels à bande non-limitée ». Dans : 25ème
édition du colloque GRETSI. 2015
Communications scientifiques dans des colloques et journées d’étude
• S. BERNHARDTet R. BOYER. « Caractérisation théorique du biais d’estimation du à l’erreur de grille dans le cadre de l’acquisition comprimée ». Dans : Journée GDR"
Représentations parcimonieuses, échantillonnage compressé et imagerie médicale".
2014
• Estimation parcimonieuse en présence d’erreur de modèle, Journée des doctorants du laboratoire des signaux et Systèmes (LSS)
Optimisation du noyau
d’échantillonnage pour des signaux
impulsionnels
« habababapapapaa »
Leif Gourdin
Sommaire
2.1 Comment étudier les performances de la reconstruction des signaux
impulsionnels ? . . . 32