Présence de convection

      p1(~r) =− ZZ SS(−^→r0)p0(−→_{r0)G(~r, −}→_r0)d−→_r0 p2(~r) =− ZZ SS(−^→r0)p1(−→_{r0)G(~r, −}→_r0)d−→_r0 (3.25) L'onde diusée vaut alors p = p0+ p₁+ p₂ avec p2 ≪ p1 ≪ p0. Ceci revient à dire que la contribution p1 génère elle-même une onde diusée p2non négligeable. D'un point de vue numérique il faut noter que p2 s'obtient désormais à partir d'une intégrale quadruple, ce qui peut rendre le temps de calcul numérique de l'intégrale non négligeable.

Le domaine de validité de cette expression intégrale de second ordre est évalué en calculant p2sur le même cercle que précédemment (d = 18.67) mais en position arrière, à θ = 180° uniquement (an de rester dans des temps de calcul raisonnables). Les niveaux sonores obtenus par simulation et expressions intégrales de premier et second ordre sont présentés en gure 3.11. Comme attendu, lorsque la uctuation en température dépasse quelques degrés, l'expression intégrale d'ordre 1 dière de la solution obtenue par simulation. L'expression intégrale de second ordre suit la solution ITM pour des uctuations allant jusqu'environ 80K. Ainsi l'écart entre l'expression intégrale de premier ordre et la simulation s'explique bien par la troncature trop rapide dans le développement en série de la solution.

3.4.2 Présence de convection

L'inuence de la convection sur l'approximation de Born est maintenant évaluée. Pour cela, des simulations ITM de la propagation d'ondes planes à travers des vortex

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 T 1 (K) (dB)

Figure 3.11  Niveau sonore L pour d = 18.67, a = 3.4247, θ = 180° et les T1 testés . (ITM), △ (expression intégrale d'ordre 1), (expression intégrale d'ordre 2).

Fluctuation uniforme circulaire en température.

ont été réalisées. Le code ITM a déjà montré qu'il retranscrit de manière très able la perturbation acoustique engendrée par ce type de uctuation (voir le chapitre précédent, paragraphe 2.3.6, Ehrhardt et Cheinet 2010). Un modèle de vortex particulier va être utilisé. Soit Vr et Vθ les composantes radiales et azimutales du vent ~V . Le vortex étudié a une composante radiale nulle et une composante azimutale :

Vθ = Vθmaxr R^exp  1− r2/R2 2  (3.26) où R = 2m est la distance caractéristique du vortex, la vitesse azimutale maximale V_θmax = M c₀ et M est le nombre (adimensionnel) de Mach du vortex. Ce vortex a une circulation totale nulle (pas d'eet de réfraction à longue distance, Howe 1999). Cette caractéristique est la raison du choix de ce type de vortex. En eet si les eets du vortex étaient à longue distance, le domaine d'intégration pour l'expression intégrale s'étendrait à l'inni ce qui rendrait le calcul numérique impossible. L'onde diusée va être évaluée pour deux nombres de Mach diérents : 0.05 et 0.125. L'eet convectif étant relié à cette grandeur, cela va ainsi permettre de tester la sensibilité de l'approximation de Born à cet eet. Enn an de comparer les résultats obtenus à une simulation DNS eectuée par Colonius et al. (1994), la fréquence de la source sera prise à 43Hz (an que λ/R vaille 4 comme dans la simulation de référence). Les conditions de simulation changent et sont données dans le tableau A.9 de l'annexe A.

L'expression intégrale peut s'appliquer directement. Concernant l'expression analy-tique une nouvelle écriture utilisant les approximations de champ lointain et de faibles

Figure 3.12  Niveau sonore L obtenu par ITM pour l'onde diusée par un vortex de distance caractéristique R = 2m et nombre de Mach (a) M = 0.05 et (b) M = 0.125. uctuations (terme source SF) est obtenue dans cette conguration :

p1(~r) = 2M (kR)³e^ikr−3iπ/4 r π 2kr  1− 2 sin^{2 θ} 2  sin(θ) exp  1− K2R2 2  (3.27) Les détails de calcul sont donnés en annexe G. K est l'amplitude du nombre d'onde diusé 2k| sin(θ/2)|. Cette expression analytique présente des similitudes avec l'onde diusée par une uctuation uniforme circulaire, équation (3.15) : comportement de type onde et directivité marquée. Il y a cependant une diérence notable au niveau des angles d'interférences destructives : quelle que soit la fréquence, les angles d'interférences destructives donnés par cette relation sont toujours 0°, ±90° et 180°. Il n'y a pas de sensibilité au nombre d'onde réduit.

Les cartographies des niveaux sonores de l'onde diusée obtenus par simulation ITM pour les deux nombres de Mach considérés sont données en gure 3.12. La directivité générale de l'onde diusée est ainsi similaire à celle dans le cas uniforme en tempéra-ture et humidité (gure 3.2). Des angles d'interférence destructive sont observables. La symétrie axiale a disparu. La convection peut s'observer par la modication des angles d'interférence par rapport à la théorie, qui semblent avoir glissé dans le sens trigonomé-trique (le sens de rotation du vortex). Cette rotation apparente est plus forte lorsque M est plus grand.

En gure 3.13, le niveau sonore L obtenu par simulation, expression intégrale et analytique, est donné pour un cercle de 50m autour du vortex pour les deux nombres de Mach considérés. Dans le cas M = 0.125, le résultat de la simulation DNS de Colonius et al. (1994) est également aché. La bonne coïncidence entre ITM et DNS dans ce cas indique que la simulation retranscrit de manière able la uctuation acoustique engendrée par un vortex à circulation totale nulle. C'est une validation supplémentaire

−180−135 −90 −45 0 45 90 135 180 −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 θ (deg) (dB) (a) −180−135 −90 −45 0 45 90 135 180 −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 θ (deg) (b)

Figure 3.13  Niveau sonore L de l'onde diusée par un vortex de distance caractéristique R = 2m pour r = 50m et θ ∈ [−180°; 180°].

(ITM), (Colonius et al. 1994),

(expression intégrale), (expression analytique). Le nombre de Mach du vortex est (a) M = 0.05 ou (b) M = 0.125.

Méthode Angle 1 Angle 2 Angle 3 Angle 4

Approximation de Born -180° -90° 0° 90°

ITM (M = 0.050) -173° -85° 1°

-ITM (M = 0.125) -162° -79° 3°

-Tableau 3.1  Angle d'interférence destructive pour l'onde diusée par un vortex par rapport à celle déjà eectuée sur un vortex de Oseen. La simulation peut dès lors être prise comme référence pour le niveau sonore exact de l'onde diusée.

Les expressions intégrales et analytiques donnent les mêmes résultats hormis au niveau des franges d'interférence, ce qui s'explique par l'eet de champ proche. Cepen-dant aucune des deux expressions n'est capable de reproduire complètement les niveaux sonores donnés par la simulation. Ces diérences viennent essentiellement de la mau-vaise localisation des angles d'interférence donnés par l'approximation de Born. C'est la convection qui est à l'origine de ces décalages angulaires. Ceci est mis en évidence dans tableau 3.1 qui donne les angles d'interférence prédits par la simulation et l'ap-proximation de Born. Lorsque l'eet convectif est plus important (M augmente), les angles d'interférence augmentent (se décalent dans le sens de rotation du vortex), ce qui conrme l'eet de la convection. Les eets convectifs provoquent donc la dissymétrie de l'onde diusée, ce que l'approximation de Born ne peut pas retranscrire. Remarquons tout de même la bonne correspondance entre l'approximation de Born et la simulation en champ avant (|θ| < 45°), où l'eet convectif est faible.

3.5 Conclusion du chapitre

Les uctuation atmosphériques localisées non turbulentes ont été un sujet d'études important de la théorie de la propagation acoustique. Autant du point de vue de la pro-pagation autour d'un vortex que d'une uctuation en température ou humidité. L'ap-proximation des faibles perturbations acoustiques est la principale réponse théorique à ces problèmes.

Nous avons montré dans ce chapitre comment cette approximation se construisait. Le son est décomposé en une onde excitatrice et une onde diusée. L'onde excitatrice est celle qui se propagerait en absence de uctuation atmosphérique, alors que l'onde diusée est celle "émise" par la uctuation atmosphérique lors du passage de l'onde excitatrice. Les principales caractéristiques de l'onde diusée ont été discutées : faible amplitude par rapport à l'onde excitatrice, et forte directivité, généralement dans la direction de propagation.

Des simulations par le code ITM, réalisées dans de nombreuses congurations, ont permis de voir que les modèles de propagation basés sur la FDTD permettent de re-transcrire de manière able cette onde diusée. Ces simulations ont également permis de mettre en évidence des limitations à l'approximation des faibles perturbations dans deux cas particuliers. Le premier est le cas d'une uctuation atmosphérique de forte intensité. Dans le cas étudié, des diérences signicatives ont été mis en évidence pour des uctua-tions de plus de 4K. Ces diérences peuvent être atténuées lorsque davantage d'ordres de grandeurs sont pris en compte dans l'approximation des faibles perturbations. En présence de convection, cette approximation dière également des simulations.

Maintenant que le modèle a montré ses capacités à traiter la propagation à travers des uctuations atmosphériques non turbulentes, le cas plus général de la propagation à travers des uctuations turbulentes est abordé dans les deux prochains chapitres.

Simulation de la propagation

acoustique en atmosphère turbulente :

uctuations acoustiques faibles

4.1 Introduction

En propagation extérieure, les eets de la turbulence atmosphérique sur le son existent et peuvent être illustrés dans diérentes congurations. En présence de réfrac-tion atmosphérique due à la straticaréfrac-tion en température par exemple, le son a tendance à se propager vers le haut ce qui provoque l'apparition de zones où théoriquement il n'y a pas de son (zones d'ombres). Cependant on observe que le niveau sonore dans ces zones d'ombre théoriques ne descend pas en dessous d'un certain niveau (Daigle et al. 1983). Ceci s'explique par la diusion du son dans de multiples directions par la turbulence. La turbulence atmosphérique diuse également le son dans les franges d'interférences en présence de sol (voir par exemple la gure 2.8). Enn, la turbulence atmosphérique pro-voque également la distorsion et la diminution de cohérence des ondes qui se propagent (McLeod et al. 2004).

La caractérisation expérimentale des eets de la turbulence présente des dicultés majeures. Les caractéristiques de l'onde ainsi que les uctuations atmosphériques ne peuvent être mesurées directement et simultanément au long de la propagation. De plus des eets additionnels sont à prendre en compte, comme la réexion sur le sol ou la réfraction due à la stratication atmosphérique. L'expérimentation doit donc être complétée par des considérations théoriques, qui donnent une estimation idéalisée mais maîtrisée et reproductible de la physique en jeu.

Tatarski (1961) (ci-après, T61) donne une description analytique de la propagation à travers la turbulence. Le point de départ de cette description est l'équation d'Helmholtz pour une onde harmonique (comme l'équation (3.3) du chapitre précédent). Tatarski décompose ensuite le problème en deux scénarios distincts, avec diérentes supposi-tions physiques et mathématiques. Dans le premier cas, la propagation est analysée à de grands angles de diusion et loin d'un volume turbulent (voir gure 3.1 en considé-rant le domaine grisé turbulent). Dans le second cas, la propagation considérée est la propagation en visée directe (line-of-sight), à petits angles (gure 4.1).

atmosphère turbulente atmosphère

non turbulente

Figure 4.1  Scénario de propagation en visée directe. L'onde plane incidente se propage vers le volume gris, qui représente les uctuations atmosphériques turbulentes. été menées dans le cas de la diusion à grand angle en présence de conditions atmosphé-riques réalistes (Tatarski 1971, Wilson et al. 1996, Goedecke et al. 2001). Les investiga-tions en visée directe ont été étendues (Tatarski 1971, Dashen 1979) avec des modèles d'équation paraboliques (Martin et Flatté 1988, Gilbert et al. 1990) ou en présence de réexion sur le sol (Ostashev et Wilson 2001). Malgré ces avancées, la séparation entre faibles et grands angles, c'est-à-dire, entre diusion et propagation en visée directe, persiste largement dans la littérature (par exemple, dans Cotté et Blanc-Benon 2007). Cela gêne la comparaison de données expérimentales avec les prédictions théoriques ou numériques. De plus, les approximations nécessaires à l'obtention de résultats analy-tiques dans chaque conguration sont nombreuses et restrictives. En conséquence, les comparaisons présentent encore aujourd'hui des problèmes (Salomons 2000).

Les modèles numériques de propagation acoustique par une résolution FDTD des LEE sont des modèles numériques permettant la modélisation dèle de la propagation à travers des atmosphères complexes (Ostashev et al. 2005). Ils devraient alors reproduire la physique en jeu dans les deux congurations citées, et ainsi permettre une approche uniée du problème de la propagation acoustique à travers la turbulence atmosphérique. En particulier, il reste à démontrer que de tels modèles FDTD reproduisent les résultats théoriques de T61.

Nous avons eectué cette démonstration, ce qui a récemment fait l'objet d'une publi-cation (Cheinet et al. 2012). Cette étude est présentée dans ce chapitre. Pour commencer, les principales caractéristiques de la turbulence atmosphérique sont présentées en sec-tion 4.2. Un modèle numérique utilisé pour générer des champs turbulents est également présenté dans cette section. Dans les deux sections suivantes, les aspects théoriques de la diusion (en section 4.3) et de la propagation en visée directe (en section 4.4) sont présentés, ainsi qu'une comparaison avec les simulations FDTD menées. Enn, dié-rents aspects liés à la distinction théorique entre diusion à petits et grands angles sont discutés en section 4.5. Le modèle FDTD utilisé est le code ITM.

Les résultats théoriques de T61 sont bornés aux congurations où les uctuations acoustiques liées à la turbulence sont faibles. Cette notion sera discutée dans le chapitre suivant qui traitera les plus fortes uctuations.

4.2 La turbulence atmosphérique

La turbulence atmosphérique est décrite dans cette section. La génération de champs turbulents est ensuite présentée.