Préliminaires

Le problème d’observation des systèmes multi-sorties de la forme (6.10) dont les

matrices A(u)etC(u)sont diagonales par blocs de la forme (6.11) et la non linéarité

ϕ possède une structure particulière qui se réduit dans le cas mono-sortie à (6.4) est

considérée dans [Bornard et al. 1993], sans restriction en ce qui concerne les éléments

de A(u)et C(u), à part leur bornitude.

Du fait de la structure de la non linéarité, la solution employée utilise une

tech-nique « grand gain » mais vu que le système n’est pas forcement uniformément

observable, l’approche nécessite une excitation spécifique afin de garantir que le

système est, vis-à-vis de cette technique, suffisamment observable. Cette excitation

correspond à la notion de régularité locale, qui traduit une certaine qualité de

l’en-trée sur des intervalles de temps arbitrairement petits (à la différence de la notion

de persistance régulière qui traduit la qualité de l’entrée quand le temps tend vers

infini).

Considérons la dynamique de la partie linéaire du système (6.10) :

˙˜

z =A(u)˜z z˜(t₀) = ˜z₀

et notonsΦ_u(t, t₀)la matrice de transfert du système linéaire variable dans le temps

engendré par une entréeu donnée.

6.8 Définition(Entrées localement régulières [Bornard et al. 1993, Besançon 1999a]).

Une fonction d’entrée u est dite localement régulière pour un système (6.10) s’il

existe α >0 etλ₀ >0 tels que

Z t

t−

1

λ

Φ_u(τ, t)^TC(u(τ))^TC(u(τ))Φ_u(τ, t)dτ ≥αλΛ⁻_λ² (6.18)

pour toutλ ≥λ₀ et toutt≥ 1

λ, où Λ_λ est la matrice diagonale

Λ_λ =











λ

λ2

. ..

λn











. (6.19) M

6.9 Remarque. La notion d’entrée localement régulière se définit de manière identique

quand A(u) est remplacé par A(u, y) dans (6.10), en utilisant Φ_u,y(τ, t) à la place

deΦ_u(τ, t)dans (6.18). En particulier, pour la même fonction d’entréeu, le système

engendré z˙˜= A(t)˜z n’est pas toujours le même à cause de la trajectoire de y, qui

dépend de la condition initiale du système (6.10). M

6.10 Remarque. On reconnaît dans la partie à gauche de l’inégalité (6.18) l’expression

du Grammien d’observabilité associé à un système affine en l’état. Comme souligné

dans [Bornard et al. 1993], la minoration qui intervient dans (6.18) est justifiée par

l’expression du Grammien d’observabilité Γ t,¹_λ associé à la partie linéaire de la

forme canonique (6.2)–(6.3) :

Γ t,¹_λ= ¹

λ













1 ¹₂λ⁻1 1

6λ⁻2 · · ·

1

2λ⁻1 1

6λ⁻2 1

8λ⁻3

1

6λ⁻2 1

8λ⁻3 1

20λ⁻4

..

. . ..













.

En généralisant l’argument ci-dessus, supposons que suite à un changement

convenable de coordonnées, nous avons pour un système du type (6.10)–(6.11),

c₁(u) ≥ 1 et a_i(u) ≥ γ > 0, i = 1, . . . , n− 1. Puisque la matrice A(u) est

nil-potente d’indice n, on peut calculer explicitement Φ_u(t, τ) en utilisant la formule

Peano-Baker (donnée dans l’annexe B), qui comporte dans ce cas un nombre fini

6.2 Grand gain et systèmes non uniformément observables 97

de termes. Ainsi, l’élément sur la ligne i, colonne j de la matrice Φ_u(τ, t) a pour

expression

Φ_u(τ, t)_i,j =



















0, sij < i

1, sij =i

Rτ

t a_i(s)ds, sij =i+ 1

Rτ

t

Rs

i

t · · ·Rs

j−2

t a_i(s_i)· · ·a_j−1(s_j−1)ds_j−1. . .ds_i, sij > i+ 1.

En outre, la minoration des a_i(u) implique

Z τ

t

Z s

1

t

· · ·

Z s

k−1

t

a₁(s₁)· · ·a_k(s_k)ds_k. . .ds₁ ≥ ^{(τ −t)}

k

k! ^γ

k

pour k = 1, . . . , n−1, d’où, en combinaison avec l’expression de l’intégrande dans

(6.18) et la minoration de c₁(u), nous obtenons que toute fonction d’entrée d’un

système uniformément infinitésimalement observable de la forme (6.10)–(6.11), dont

ϕ possède une structure (6.4), satisfait la condition de régularité locale. M

La particularisation au cas des systèmes mono-sortie du résultat présenté dans

[Bornard et al. 1993] pour une classe de systèmes multi-sorties (6.10) est comme

suit.

6.11 Théorème. Soit le système (6.10)–(6.11), dans lequel la non linéarité ϕ est

Lip-schitzienne globalement par rapport à z, uniformément par rapport à u, et possède

une structure (6.4). Si l’entrée u est localement régulière pour ce système, il existe

λ >0, β >0, γ >0 tels que le système

˙ˆ

z =A(u)ˆz+ϕ(ˆz, u)−S⁻¹C(u)^T(C(u)ˆz−y)

˙

S =−γS−A(u)^TS−SA(u) +C(u)^TC(u) ^{S(0) =βλ}

2Λ⁻_λ² (6.20)

avec Λ_λ donné par (6.19) soit un observateur exponentiel à vitesse de convergence

arbitrairement grande. ♦

Comme il est indiqué dans [Bornard et al. 1993], le choix particulier de la

condi-tion initiale S(0) est fait dans le but de simplifier le développement, mais

l’observa-teur devrait fonctionner pour toute condition initiale S(0) définie positive.

On note que le résultat du théorème 6.11 peut s’utiliser sans problème dans le

cadre d’une dépendanceA(u, y). C’est précisément dans ce contexte que la synthèse

de l’observateur (6.20) a été réexaminée dans [Besançon 1999a] où, sous les mêmes

hypothèses (non linéarité Lipschitzienne, entrée localement régulière) l’observateur

suivant est proposé :

˙ˆ

z =A(u, y)ˆz+ϕ(ˆz, u)−ΛλS⁻¹C(u)^T(ˆy−y) (6.21a)

˙

avecΛ_λ donné par (6.19), yˆ=C(u)ˆz et λ≥λ₀ >0et γ >0suffisamment grands.

Il est montré dans [Besançon 1999a] que le même type d’observateur peut

s’uti-liser pour les systèmes (6.17) avec s ≡ u, sans considérer la condition « forte »

d’observabilité fi ≥ α > 0, mais la condition de régularité locale (6.18). Il est

éga-lement indiqué dans cette référence que la synthèse de l’observateur peut s’étendre

aux systèmes de la forme (6.17) (toujours avec s≡u) où z_i ∈Rν

i

,ν₁ = 1 et chaque

scalairefi est remplacé par une matrice νi×νi+1.

6.2.2 Observation non uniforme d’une forme affine perturbée particulière

Dans ce qui suit, on exploite l’idée de Besançon (1999a) en vue de la synthétise

d’observateur pour la classe suivante de systèmes mono-sortie :

˙

z =A(u, y)z+ϕ(u, z)

y=C(u)z+η(u) ^(6.22)

où les matrices impliquées possèdent les structures particulières

A(u, y) =















0 A_1,2(u, y) 0 · · · 0

. .. ... .._.

..

. . .. ... ₀

A_q−1,q(u, y)

0 · · · 0















ϕ(u, z) =













ϕ₁(u, z₁)

ϕ₂(u, z₁, z₂)

· · ·

ϕ_q−1(u, z₁, . . . , z_q−1)

ϕ_q(u, z)













C(u) =C₁(u) 0 · · · 0,

(6.23)

avec z = col(z₁, . . . , z_q) ∈ R^N, z_i ∈ R^N

i

pour i = 1, . . . , q, A_i−1,i ∈ R^N

i−1

×N

i

pour

i= 2, . . . , q etC₁(u)∈R1×N

1

.

Cette classe de systèmes non linéaires est particulièrement intéressante pour

la synthèse d’observateur étant donné que, comme on verra au paragraphe

sui-vant, presque tout système affine en la commande possède la propriété d’être

sous-système4 d’un système sous la forme (6.22)–(6.23).

6.12 Remarque. Pour utiliser le concept d’entrée localement régulière relativement aux

systèmes du type (6.22)–(6.23), on tient compte de laremarque 6.9 et on en appelle

6.2 Grand gain et systèmes non uniformément observables 99

toujours à la définition 6.8, avec la matrice Λ_λ dans l’inégalité (6.18) donné cette

fois-ci par

Λ_λ =











λIN

1

λ2I_N

₂

. ..

λqI_N

_q











. (6.24) M

Le résultat relatif à l’observation du système (6.22)–(6.23) peut alors s’énoncer

comme suit :

6.13 Théorème. Étant donnés un système (6.22)–(6.23) et les hypothèses :

(i) l’entrée u est localement régulière, bornée et telle que A(u, y) et C(u) soient

bornés ;

(ii) la non linéarité ϕ est Lipschitzienne—globalement par rapport à z,

uniformé-ment par rapport à u,

alors pour tout σ > 0 il existe λ > 0 et γ > 0 tels que le système (6.21) où

ˆ

y=C(u)ˆx+η(u)etΛ_λ est donné par (6.24), garantisse pour toute condition initiale

z(0) ∈RN,

kz(t)−zˆ(t)k ≤µe^−σt

avec µ >0, pour tout t≥ 1

λ. ♦

Démonstration. Comme il résulte de [Besançon 1999a], l’emploi de deux paramètres

de réglage, λ et γ, suit deux objectifs, à savoir :

(i) nous pouvons montrer, indépendamment du choix de λ ≥ λ₀ > 0, que si

l’entrée est localement régulière, il existe γ > 0 et α₁, α₂ > 0 tels que pour

tout t ≥ 1

λ, on ait α₁I_N ≤S(t)≤α₂I_N;

(ii) nous pouvons vérifier en utilisant des éléments de démonstration typiques

« grand gain » (comme, par exemple, dans [Gauthier et al. 1992]), que pour λ

suffisamment grand, si ε := ˆz−z, la fonction candidate de Lyapunov

V(t) :=ε(t)^TΛ⁻_λ¹S(t)Λ⁻_λ¹ε(t)

satisfait la propriétéV^˙ ≤ −β(λ)V ≤0le long des trajectoires deε(t), oùβ(λ)

est une fonction croissante, strictement positive.

(i) La preuve de ce point s’appuie sur l’expression de S(t). Notons d’abord que

Λ⁻_λ¹A(u, y)Λ_λ =λA(u, y). Par conséquent, siΦ_u,y est la matrice de transfert associée

au système z˙˜ = A(u, y)˜z, alors Λ⁻_λ¹Φ_u,yΛ_λ est la matrice de transfert associée au

système z˙˜=λA(u, y)˜z. On vérifie alors aisément que

S(t) = e^−λγtΛ_λΦ_u,y(0, t)^TΛ⁻_λ¹S(0)Λ⁻_λ¹Φ_u,y(0, t)Λ_λ+

λ

Z t

0

est solution de (6.21b).

Pour établir la borne inférieure de S(t), on utilise le fait que C(u)Λ⁻_λ¹ = ¹_λC(u)

et nous avons, pour t≥ 1

λ,

S(t)≥e^−γ1

λ^Λλ

Z t

t−

1 λ

Φ_u,y(τ, t)^TC(u)^TC(u)Φ_u,y(τ, t)dτ

Λ_λ

d’où, puisque l’entrée est localement régulière, S(t)≥e^−γαIn.

Pour la borne supérieure, sachant que

Λ⁻_λ¹Φu,y(τ, t)Λλ =IN −

Z t

τ

λA(u(s), y(s))Λ⁻_λ¹Φu,y(s, t)Λλds

nous avons dans un premier temps

kΛ⁻_λ¹Φ_u,y(τ, t)Λ_λk ≤1 +

Z t

τ

λakΛ⁻_λ¹Φ_u,y(s, t)Λ_λkds

pour τ ≤ t, où a = sup_t≤0kA(u(t), y(t))k < ∞ puisque A(u, y) est borné. Puis, en

utilisant l’inégalité Gronwall-Bellman,

kΛ⁻_λ¹Φ_u,y(τ, t)Λ_λk ≤e^aλ(t−τ).

Finalement, à partir de l’expression de S(t), on obtient

kS(t)k ≤e^{−λ(γ−2a)t}kS(0)k+λ

Z t

0

e^{−λ(γ−2a)(t−τ)}kC(u)^TC(u)kdτ

ce qui montre, combiné avec le fait que C(u(t)) reste borné, que kS(t)k admet une

borne supérieure pourvu que γ >2a.

(ii) Le calcul de V^˙ donne, en utilisant les relations Λ⁻_λ¹A(u, y)Λ_λ = λA(u, y) et

C(u)Λ⁻_λ¹ = ¹_λC(u),

˙

V =−λγV −λε^TΛ⁻_λ¹C(u)^TC(u)Λ⁻_λ¹ε+ 2ε^TΛ⁻_λ¹SΛ⁻_λ¹(ϕ(u,zˆ)−ϕ(u, z)),

d’où nous avons dans un premier temps

˙

V ≤ −λγV + 2ε^TΛ⁻_λ¹SΛ⁻_λ¹(ϕ(u,zˆ)−ϕ(u, z)).

Soit ξ = Λ⁻_λ¹ε. En utilisant l’inégalité x^TSy ≤ kxkSkykS, on obtient

˙

6.2 Grand gain et systèmes non uniformément observables 101

En vue de la majoration du terme kΛ⁻_λ¹(ϕ(u,zˆ)−ϕ(u, z))k_S, on introduit les

nota-tions suivantes :

¯

N₀ = 0

¯

N_i =

i

X

j=1

N_i z¯_i = col(z₁, . . . , z_i)∈R^N¯

i

ε¯_i = ˆz¯_i−z¯_i

et on désigne par S_i:j,k:l la sous-matrice de S dont les lignes i etj et les colonnesk

et l en constituent les extrémités. Nous avons alors

kΛ⁻_λ¹(ϕ(u,zˆ)−ϕ(u, z))k_S =

q

X

i,j=1

1

λ

i

(ϕi(u,z^ˆ¯i)−ϕi(u,z¯i))^TS_N¯

_i−1

_{+1: ¯N}

_i

_,N¯

_j−1

_{+1: ¯N}

_j

(ϕj(u,z^ˆ¯j)−ϕj(u,z¯j))_λ¹

j

¹₂

.

En utilisant la borne supérieure de S et en prenantρpour la constante de Lipschitz

de ϕ, il vient

kΛ⁻_λ¹(ϕ(u,zˆ)−ϕ(u, z))k_S ≤

q

X

i,j=1

ρ²α₂1

λ

i

ε¯_i

1

λ

j

ε¯_j

¹₂

.

Soient, pouri= 1, . . . , q,

¯

ξ_i = diag(λ⁻¹I_N

₁

, . . . , λ⁻ⁱI_N

_i

)¯ε_i.

Avec 1≤i≤q fixé, si λ >1, nous avonsε

k

λ

i

≤ε

k

λ

k

pour tout 1≤k≤i, d’où on

obtient

1

λ

i

ε¯_i≤ kξ^¯_ik ≤ kξk

et, par conséquent,

kΛ⁻_λ¹(ϕ(u,zˆ)−ϕ(u, z))k_S ≤qρ√

α₂kξk.

Cependant, α₁kξk ≤ kξk_S et kξk2

S =V, donc on obtient finalement

˙

V ≤ −

λγ − ^2qρ

√

α₂

α₁

V.

Étant donné que les bornes de S(t) ne dépendent pas de λ, il existe λ₀ >0 tel

que pour toutλ ≥λ₀ nous ayonsV^˙ ≤0. La conclusion s’ensuit à l’aide d’arguments

Dans le document Techniques d'Immersion pour l'Estimation Non Linéaire - Application aux Systèmes de Puissance (Page 104-111)