Prédiction continue des modules élastiques des nanocomposites

Les modules d’élasticité surfacique κs et µ précédemment calibrés ne permettent que s

de prédire ou d’estimer les modules effectifs des tailles (15nm, 25nm, 60nm, 150nm et 500nm) de particules pour lesquelles ils sont déterminés. La vérification de la calibration nous a montré que ces κs et µ reproduisent bien les données expérimentales. Ainsi, dans cette partie, nous s

(a) (b) (c) (d) (e) (f) 117

proposons d’estimer les modules effectifs des nanocomposites quelle que soit la taille des particules. Cette estimation nécessite la connaissance des modules d’élasticité surfacique pour toute taille de particules. Pour ce faire, nous allons utiliser les modules d’élasticité surfacique

s

κ et µ de nos cinq tailles de particules (tableau 4.1) et les approcher par des fonctions à l’aide s

d’une régression linéaire afin d’obtenir des modules d’élasticité surfacique fonction de la taille des particules. Ces fonctions que nous noterons s

 

a

κ

et s

 

a

µ

seront introduites dans les inégalités (4.14) et (4.15) à la place des κs et µ pour des estimations des modules effectifs s

pour toute taille de particule. Cette estimation est appelée prédiction continue des modules élastiques des nanocomposites et est faite pour toutes les fractions volumiques.

Sur les figures 4.3.a et 4.3.b sont présentés les courbes de régression linéaire de κs et

s

µ pour la fraction volumique de 2%. Les fonctions s

 

a

κ

et s

 

a

µ

obtenues se présentent sous la forme c

y b x= ⋅

_où y représente le module d’élasticité surfacique,

x

est la variable (rayon des particules), b et

c

sont des paramètres à déterminer. Les fonctions s

 

a

κ

et s

 

a

µ

sont obtenues avec un coefficient de détermination R2 supérieur à 0,9999.

( )

27426,514605 ^0,9940373248

2%^s a a

κ = − et µ_2%s

( )

_a = −137957,8621594_a^1,0313316592

avec a le rayon des particules en mm et les modules d’élasticité surfacique en N/mm.

Figure 4.3 : Approximation des propriétés élastiques de l’interface (a) et (b) en fonction du rayon des particules pour la fraction volumiques de 2% pour une distribution

monodisperse des tailles de particules.

s

κ µs

(a) ^(b)

Les modules d’élasticité surfacique de l’interface en fonction de la taille des particules ont également été déterminés pour les fractions volumiques de 4% et 6%. Les fonctions obtenues sont présentées ci-dessous :

( )

28731,2703796 ^0,9967068141 4%^s a a κ = − et µ_4%s

( )

_a = −136457,7679701_a^1,0300505533

( )

29481,9581779 ^0,996847546 6%^s a a κ = − et µ_6%s

( )

_a = −118896,0429733_a^1,0137136428 Les fonctions s

 

a

κ

_et s

 

a

µ

_{obtenues pour les différentes fractions volumiques sont} introduites dans les expressions (4.14) et (4.15) à la place de κs et µ pour prédire les modules s

élastiques des nanocomposites. Les résultats de la prédiction avec ces fonctions continues sont comparés aux données expérimentales et sont présentés sur les figures 4.4. Les modules normalisés de compressibilité ( m

K κ

) en fonction de la taille des particules sont présentés sur les figures 4.4.(a-c) et les modules normalisés de cisaillement ( m

G µ

) sont présentés sur les figures 4.4.(d-f). Sur ces figures, ʽʽpred1ʼʼ fait référence aux estimations du modèle avec les fonctions continues s

 

a

κ

et s

 

a

µ

.

Les graphes de la figure 4.4 montrent que l’utilisation des fonctions continues s

 

a

κ

et s

 

a

µ

dans les inégalités (4.14) et (4.15) donne des estimations de modules de compressibilité et de cisaillement assez proches des données expérimentales. L’écart maximal observé entre les estimations du modèle et les données expérimentales est de 5% à l’exception du module de compressibilité du nanocomposite 6%/15nm pour lequel l’écart est de 8%. Cet écart est lié à la précision de la régression linéaire des modules d’élasticité surfaciques de l’interface. Bien que le coefficient de détermination R2 soit supérieur à 0,9999. Pour les fractions volumiques de 2% et 4%, on remarque que les estimations du modèle arrivent à reproduire l’effet de taille avec un écart inférieur à 5% entres les estimations et les données expérimentales. Pour la fraction volumique de 6%, on remarque que les estimations du module de compressibilité s’écartent des données expérimentales pour les tailles de particules inférieures à 150nm. Cet écart est dû à la précision de la régression de modules d’élasticité surfacique aux petites tailles. Par exemple, à 6%/15nm, nous avons observé un écart de 18,5% entre κs du tableau 4.1 et celui de la fonction de régression. Les modules effectifs étant très sensibles aux valeurs des modules d’élasticité surfacique de l’interface, une variation de ces valeurs induit un décalage entre module effectifs expérimentaux et estimations.

Figure 4.4 : Comparaison des estimations du modèle aux données expérimentales avec des s

( )

et déterminés pour chaque fraction volumique.

a κ s

( )

a µ (a) (b) (c) (d) (e) (f) 120

Avec l’hypothèse que les propriétés de l’interface ne dépendent pas de la fraction volumique, nous avons approximé κs et µ obtenus pour les différentes tailles et fractions s

volumiques de particules par une fonction. Le but de cette démarche est d’avoir des fonctions

 

s

a

κ

et s

 

a

µ

globales pour prédire les modules élastiques du nanocomposite quelles que soient la taille et la fraction volumique. Les fonctions s

 

a

κ

et s

 

a

µ

ainsi obtenues sont présentées ci-dessous :

( )

28,5295077716 ^0,9958219979 v s _{a a} f κ = −

( )

127,9361566281 ^1,0230323761 v s _{a a} f µ = − Les fonctions s_v

( )

f a

κ

et s_v

( )

f a

µ

sont utilisées pour prédire K et G quelles que soient la taille et la fraction volumique des particules (courbes ‘’pred2’’). Elles sont ensuite comparées aux données expérimentales et aux prédictions obtenues précédemment pour chaque fraction volumique. Les résultats sont présentés sur la figure 4.5. Hormis la fraction volumique de 4% où les résultats de la prédiction sont proches des données expérimentales, les prédictions des autres fractions volumiques 2% et 6% sont moins bonnes que les prédictions des figures 4.4. En plus de l’effet dû à la précision de la régression, ces nouvelles estimations subissent aussi l’hypothèse de la non-dépendance de κs et µ à la fraction volumique. s

Figure 4.5 : Confrontation des prédictions continues du modèle aux données expérimentales et aux prédictions discrètes et continues par fraction volumique dans le

cas d’une distribution monodisperse de la taille de particules. (a) (e) (c) (b) (f) (d) 122

4.8 Calibration des propriétés de l’interface et prédiction des modules

élastiques des nanocomposites : Cas polydisperse

On se propose à présent de prendre en compte la polydispersité de la distribution de taille, pour évaluer dans quelle mesure elle influe sur les prédictions du modèle. A cette fin, on s’appuie sur l’inégalité (4.20) de Brisard et al [20] pour le module de compressibilité et sur l’inégalité (4.26) que nous avions établie pour le module de cisaillement.

Dans le document Effet de taille dans les polymères nano-renforcés : caractérisation multi-échelles et modélisation (Page 135-141)