Nous présentons dans la section 2.2.1 le prédicteur de Smith adaptatif proposé et nous le comparons dans la section 2.2.2 au régulateur PI et au prédicteur de Smith sur un
modèle du premier ordre retardé. Nous nous plaçons délibérément dans le cadre d’une structure connue pour la variabilité du retard donc, par conséquent, nous ne cherchons pas à comparer avec des méthodes d’identification en ligne du retard.
2.2.1
Présentation du prédicteur de Smith adaptatif
Le prédicteur de Smith adaptatif est, comme son nom l’indique, issu du prédicteur de Smith : il se représente comme sur la figure 2.5. L’amélioration proposée consiste à mettre à jour le retard dans le modèle de commande du procédé. Cette mise à jour permet d’avoir un modèle plus proche du procédé, et donc un contrôleur plus performant. L’amélioration repose sur la connaissance du retard qui, dans la majeure partie des cas, est lié au transport d’un produit dans un volume fixe à un certain débit (retard de transport) et au temps nécessaire pour prélever un échantillon, réaliser la mesure et renvoyer le résultat de la mesure (retard de mesure). La variabilité du retard de transport est due aux changements de débit. Le retard de mesure peut être variable et en particulier peut dépendre de la valeur courante de la grandeur mesurée. Dans tous les cas cependant, au moment où une nouvelle mesure est disponible, le retard de mesure est connu.
Pour que le prédicteur de Smith ait un comportement optimal, il faut que les para- mètres du modèle (en particulier le retard) soient bien connus. Dans le cas contraire, en particulier lorsque le retard du procédé varie, le procédé commandé peut devenir instable. Pour pallier ce problème, une estimation en ligne du retard est réalisée. Le retard estimé correspond à la somme du retard de mesure et du retard de transport. Le retard de mesure est connu à chaque itération, mais le retard dû au transport dépend (implicitement) du volume traversé V et du débit volumique Q(t). Dans le cas piston pur, il est défini par l’équation
V =
Z t
t−δ(t)
Q(s) ds (2.8)
La connaissance du débit en fonction du temps permet de résoudre à chaque instant cette équation implicite (qui ne possède qu’une unique solution lorsque le débit est strictement positif) pour mettre à jour le retard et synchroniser correctement le pré- dicteur adaptatif. Nous rappelons l’origine de l’expression (2.8) dans l’annexe C. Lorsqu’il existe de la diffusion, le retard calculé à partir de l’intégrale (2.8) est surestimé et il est nécessaire de corriger cette estimation. Nous présentons, à la section 2.4 une méthode pour prendre en compte la diffusion dans le calcul du retard.
2.2.2
Etude comparative sur un système du premier ordre re-
tardé
Nous comparons dans ce qui suit le comportement du système (2.1) lorsqu’il est bouclé avec un régulateur PI (réglé avec la méthode proposée par [TF03]), un prédicteur de
Smith et le prédicteur de Smith adaptatif. Pour cela, nous choisissons deux jeux de paramètres différents : le premier (K, τ, δ) = (1, 1, 1) permet d’avoir un ratio δ/τ égal à 1 et le second (K, τ, δ) = (1, 0.2, 1) où le ratio δ/τ vaut 5.
Les simulations présentées sur les figures 2.6 et 2.7 sont des suivis de trajectoires avec un retard qui varie de +40%. Dans le modèle de commande du contrôleur PI et du prédicteur de Smith, le retard n’est pas mis à jour : la commande ne tient pas compte de la variation de débit. En revanche, dans le prédicteur de Smith adaptatif, le retard est mis à jour à partir de sa vraie valeur. La simulation avec le premier modèle, figure
0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y(t) Temps (min) Consigne PI TF Prédicteur de Smith
Prédicteur de Smith adaptatif
Fig. 2.6 – Réponse à un échelon de consigne sur le modèle (K, τ, δ) = (1, 1, 1). Le retard identifié vaut +40% du retard réel
2.6, montre que la réponse du prédicteur de Smith adaptatif est stable et rapide. Le régulateur PI et le prédicteur de Smith offrent des réponses très proches l’une de l’autre, même si le prédicteur de Smith présente un comportement légèrement perturbé par la variation du retard. Le rapport δ/τ est égal à 1, cela permet au contrôleur PI d’être performant et au prédicteur de Smith de se montrer assez robuste face à l’erreur sur le retard. La simulation du second modèle, figure 2.7, met en évidence la sensibilité du prédicteur de Smith aux erreurs sur le retard lorsque le rapport δ/τ est très supérieur à 1. En effet, alors que l’erreur sur retard (en %) est identique à celle du cas précédent, la réponse obtenue avec le prédicteur de Smith est instable. Le contrôleur PI offre une réponse stable mais lente (les temps de montée et de réponse sont très longs). Le prédicteur de Smith adaptatif permet de conserver les performances du prédicteur de Smith lorsque le retard est bien identifié : la réponse atteint rapidement la consigne sans perte de stabilité.
Régulateur PI adaptatif. Dans le même esprit que pour le prédicteur de Smith, il
0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 y(t) Temps (min) Consigne PI TF Prédicteur de Smith
Prédicteur de Smith adaptatif
Fig. 2.7 – Réponse à un échelon de consigne sur le modèle (K, τ, δ) = (1, 0.2, 1). Le retard identifié vaut +40% du retard réel
de récupérer les performances d’un régulateur PI réglé avec la valeur réelle du retard. Mais cette approche implique d’avoir la connaissance du retard ou du moins le moyen de le calculer précisément : dans ce cadre et pour obtenir de meilleurs performances, l’utilisation d’un prédicteur de Smith adaptatif est plus naturel.
Néanmoins, nous avons testé cette approche (où les réglages sont ceux de [TF03]) sur le modèle (2.1) et sur le modèle d’hydrodésulfuration présenté à la section 2.3. Les résultats obtenus sont logiquement un peu moins bons que ceux du prédicteur de Smith adaptatif, mais meilleurs que ceux du régulateur PI à paramètres fixés et que ceux du prédicteur de Smith à retard fixé.
2.2.3
Conclusion
La connaissance ou l’estimation des paramètres d’un système permet, si elle est ex- ploitée dans le régulateur, d’améliorer considérablement les performances du système en boucle fermée. Dans le cas des systèmes à retards, les performances du prédicteur de Smith adaptatif (lorsque les retards sont connus ou bien estimés) font de celui-ci un contrôleur naturel à utiliser.