La convergence des algorithmes de gradient conjugué peut être fortement amélio-rée par l’utilisation d’un préconditionneur en diminuant le conditionnement du sys-tème à résoudre, [Papadrakakis et Dracopoulos 91]. L’algorithme qui en résulte est similaire mais comporte une phase supplémentaire de résolution d’un système dont le second membre est le résidu courant (voir annexe C).
De nombreuses recherches en analyse numérique portent sur la construction de tels préconditionneurs, par exemple dans [Glowinski et al. 88] et suivants. Ici, nous nous intéresserons essentiellement aux préconditionneurs de type « Neumann ».
1.4.1 Préconditionneur de Neumann pour le problème primal
Dans le cas de figure où tous les sous-domaines possèdent une partie de frontière à déplacement imposé (∂1ΩE 6= /0), les condensées locales de Schur [SE] sont toutes
inversibles. La matrice du complément de Schur [S] étant l’assemblage des [SE], un
préconditionneur envisageable est celui qui correspond aux problèmes de Neumann locaux : [ ¯S]−1 est l’assemblage des [SE]−1[De Roeck et Le Tallec 91], [Le Tallec 94]. L’application de [ ¯S]−1 à un résidu conduit à résoudre des problèmes de Neumann-Dirichlet (puisque∂1ΩE6=/0) sous-domaine par sous-domaine pour déterminer le champ de déplacement bord correspondant [qEΓ]. Le champ résultant [qΓ] n’étant plus continu,
il est nécessaire de procéder à une opération de pondération (ou de prise de moyenne) des déplacements sur l’interface Γ issus de deux sous-domaines voisins (voire plus dans le cas de nœuds « coins » en 2D et 3D, et de nœuds « arêtes » en 3D).
Pour traiter la phase de préconditionnement, il va donc être nécessaire d’avoir la factorisée de [KE], matrice de rigidité du sous-domaine ΩE. Or, dans la méthode pri-male, seule la partie [KEE] est factorisée ; en particulier pour des problèmes de
renumé-rotation, on sera conduit à stocker et factoriser deux matrices distinctes, ce qui peut être très pénalisant sur l’encombrement. De plus, la phase de préconditionnement conduit à pratiquer une montée-descente supplémentaire ; le coût d’une itération comme ce-lui de l’initialisation est donc doublé en première approximation. En contrepartie, un résultat de conditionnement est présenté dans [Le Tallec 94] : dans un cas général de connectivité entre sous-domaines
κ([ ¯S]−1[S]) = o( 1
H2(1 + log2H h))
Le préconditionneur est donc
– presque optimal (faible dépendance en h), – non extensible (dépendance en H).
1.4. Préconditionnements 39
1.4.2 Balancing method
Une amélioration de ce dernier résultat est obtenue dans la méthode proposée par Mandel dans [Mandel 93] pour la méthode primale, où le préconditionnement s’appa-rente à celui de Neumann tout en utilisant un problème global sur toute la structure afin de devenir extensible.
Reprenons l’algorithme du gradient conjugué appliqué au problème de Schur pri-mal (table 1.3, page 28). Changeons l’initialisation en la proposition d’un itéré de dé-part [qΓ0] mais aussi d’un ensemble de mouvements de solide rigide par sous-domaine [α0] déterminé de manière à avoir un résidu [r0] équilibré par sous-domaine :tRBr0= 0
(avec les notations du paragraphe 1.3.2, page 35). On peut montrer qu’ayant un tel ré-sidu rn, le préconditionneur fait intervenir les problèmes de Neumann locaux inverses généralises : [ ¯S]−1est l’assemblage des [SE]−1. La phase supplémentaire consiste à cor-riger le déplacement [qn] ainsi obtenu par des mouvements de solide rigide sur chaque
sous-domaine : qEn− REαE
n de façon, après prise de moyenne, à déterminer un nouveau résidu qui soit équilibré par sous-domaine. On souhaite donc avoir sur le résidu rn+1
tRBrn+1= 0 ce qui s’écrit tRB " rn− S
∑
E∈E BE(qEn− REαE n) # = 0Ce qui, avectRBrn= 0, donne :
tRBSRBαn=tRBS
∑
E∈E
BEqEn
que l’on peut rapprocher de la phase de projection (ou recollement en moyenne par mouvements de solide rigide) [1.9] de la méthodeFETIdécrite au chapitre 1.3.2 (page 36).
Les inconvénients du préconditionneur de Neumann demeurent, une opération glo-bale sur l’ensemble de la structure est introduite, la phase de projection est plus coû-teuse que celle de la méthode FETI, mais le gain réside dans le conditionnement en
o(1) qui conduit à l’optimalité et l’extensibilité. Remarque
On peut noter ici que la taille maximale du problème global est de 6 fois le nombre de sous-domaines ; il fait intervenir l’opérateurtRBSRB dont la forme indique un pro-blème dans l’ensemble de ces mouvements de solide rigide équivalent au sens de Ritz au problème de Schur primal. Nous reviendrons sur cet aspect lors de l’emploi de plusieurs échelles dans l’algorithme de la méthodeLATIN.
1.4.3 Préconditionnement de la méthode
FETIComme pour l’approche primale, il est possible de mettre en place de tels accélé-rateurs de convergence. Au vu de l’interprétation de [Λ] faite au chapitre 1.3.1, page
33, un choix de préconditionneur [ ¯Λ]−1 consiste à faire correspondre au résidu [w] en saut de déplacement bord, un champ d’effort [ ¯Λ]−1[w]. Si l’on souhaite conserver ici le
caractère local par sous-domaine, cela peut se traduire par la résolution d’un problème de Dirichlet à déplacement bord imposé [wE] sur chaque sous-domaine en parallèle.
Préconditionneur de Dirichlet optimal
[Λ] étant l’assemblage des [ΛE], le préconditionneur peut être choisi comme
l’as-semblage des [ΛE]−1= [SE] :
[ ¯Λ]−1=
∑
E∈E
KΓΓE − KΓE(KEE)−1KEΓ
De façon duale au préconditionneur de Neumann, l’inconvénient réside cette fois-ci dans l’assemblage, la factorisation et le stockage de [KEE] en plus de [KE], et dans
les montées-descentes supplémentaires pour évaluer les produits [SE][wE]. Le
condi-tionnement prévisible en résultant, [Farhat et al. 94], est :
κ= o(1 + log2H h)
donc quasi-optimal.
Préconditionneur « lumped »
Un préconditionneur non optimal mais économique a été proposé dans [Farhat et Roux 91]. Comme [Λ] =
∑
E∈E BE(KE)+tBE le choix [Λ] =∑
E∈E BEKE tBE =∑
E∈E KΓΓEpour approcher le problème dual semble intéressant ; en particulier, il ne fait plus in-tervenir que des produits matrice-vecteur locaux sur l’interface. Le conditionnement théorique est cette fois-ci :
o(H h)
1.4. Préconditionnements 41
Remarque
Afin de préserver la symétrie, il est nécessaire cette fois-ci de procéder à deux pro-jections par itération, l’une portant sur le résidu et l’autre sur le résidu préconditionné. Une itération comportera alors deux phases globales de détermination de mouvements de solide rigide.