Précautions et recommandation pour l'usage de métamodèles

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Ce chapitre a pour objectif de montrer la faisabilité et l'efficacité de la méthode proposée en première partie de ce mémoire pour l'optimisation des empilements d'une structure complexe. Deux stratégies d'application sont mises en œuvre. On se place dans un contexte d'optimisation idéalisé, sans remise en cause des modèles employés et sans prise en compte des incertitudes. L'usage de métamodèles, dans le souci de réduire les temps de calcul, rend toutefois nécessaire l'estimation des erreurs d'approximation, entre le modèle EF, supposé parfait, et son approximation.

Forts des résultats obtenus au chapitre précédent, nous reprenons l'exemple du panneau raidi, pour lequel la simulation donne des résultats satisfaisants par rapport à l'expérience. Nous nous proposons ici de jouer sur les empilements de la peau et des raidisseurs afin d'améliorer les performances globales de la structure par rapport à la configuration proposée par [Falzon 00], qui fait appel à des empilements standards. Cet exemple d'application permet donc, en outre, de montrer les gains potentiels offerts par l'optimisation des empilements.

V.1 DESCRIPTION DU PROBLEME D'OPTIMISATION D'UN PANNEAU RAIDI

V.1.1 C

ONFIGURATION NOMINALE

La configuration nominale retenue correspond au panneau décrit dans [Falzon 00]. Les conditions aux limites sont inchangées. Dans cette configuration, les empilements de la peau et de l'âme des raidisseurs (l'empilement des semelles correspond simplement à la moitié de celui de l'âme) sont récapitulés sur la Figure V-1. L'empilement de la peau (skin) est symétrique et équilibré à vingt-deux plis, celui de l'âme du raidisseur (web), symétrique et équilibré à trente plis :

Figure V-1 : Dimensions du demi-panneau et empilements de la peau et des raidisseurs. La longueur totale est de 728 mm. D'après [Falzon 00].

V.1.2 S

TRATEGIE DE CALCUL DU FLAMBEMENT ET DU COMPORTEMENT POST

-

FLAMBE DU

PANNEAU RAIDI

Le modèle Samcef utilisé pour l'évaluation des solutions est globalement identique à celui employé pour le calcul du panneau nominal dans le chapitre précédent (Cf. IV.3.3). Toutefois, jouer de façon systématique sur les empilements exacerbe les difficultés de convergence pour le calcul non-linéaire. Afin d'obtenir des résultats exploitables pour toutes les configurations, sans ajustement au cas par cas des paramètres de calcul, il s'avère nécessaire de raffiner à la fois le maillage (voir Figure V-2) et l'incrémentation par rapport au calcul nominal (certaines configurations présentent des comportements post-flambés très différents de la configuration nominale).

La force critique de flambement est directement récupérée dans le fichier résultat créé par Stabi (en pratique, le facteur critique de flambement pour une sollicitation unitaire de compression longitudinale). Les calculs Mecano sont post-traités carte par carte afin de générer des fichiers ASCII contenant effort de réaction globale du panneau et valeur maximale du critère de rupture de Hashin

- 127 - en mode fibre, dans chaque élément. Dans un deuxième temps, ces fichiers sont chargés dans Matlab pour suivre l'évolution des grandeurs concernées et en extraire les valeurs des contraintes et objectifs de l'optimisation. Avec cette stratégie de calcul, le temps nécessaire à l'évaluation d'un panneau (calcul Samcef et post-traitements Samcef et Matlab) est de l'ordre de l'heure (ce temps de calcul pourrait être réduit si le post-traitement était entièrement réalisé dans Samcef). Les performances de la configuration nominale, calculées de la sorte sont les suivantes1 :

Le panneau nominal est dimensionné de telle sorte que son effondrement intervienne avant la rupture matériau. Néanmoins, la marge est faible et, en modifiant les empilements du panneau, il est probable de rencontrer des configurations pour lesquelles c'est la rupture du matériau (dans des modes catastrophiques, ici, c'est la rupture en mode fibre que l'on considère) qui entraîne la ruine du panneau. En pratique, on s'intéresse à la force de ruine du panneau, définie comme le minimum des forces d'effondrement et de rupture matériau :

(

)

=

(V-1)

Figure V-2 : Maillage et conditions aux limites pour le modèle Samcef du panneau raidi.

V.1.3 F

ORMULATION DU PROBLEME D

'

OPTIMISATION

Dans l'optique d'améliorer les performances du panneau nominal, nous définissons le problème d'optimisation multiobjectif suivant :

• variables : les orientations de plis dans les empilements de la peau et du raidisseur,

• objectifs : maximiser

=

et

=

,

• contraintes de dimensionnement :

>

et

>

,

• règles de conception des empilements : symétrie, équilibre, groupage, désorientation, et tolérance aux dommages.

1

La marge à rupture à l'instant de l'effondrement, exprimée en %, est définie, par rapport au critère de rupture, de

- 128 -

L'épaisseur du pli étant de , la limite de groupage est fixée à quatre plis contigus de même

orientation. La règle de battage étant contraire à l'optimisation en flambement, elle n'est pas prise en compte à ce stade (elle est reprise par la suite, dans une version affaiblie, pour le post-traitement des résultats de l'optimisation multiobjectif). Dans un premier temps, le pas de discrétisation des

orientations de plis est fixé à , en conformité avec l'usage courant. La géométrie du panneau et le

nombre de plis sont fixés.

V.2 OPTIMISATION SEQUENTIELLE

Une spécificité du problème consiste à optimiser deux empilements différents, un pour la peau et un pour le raidisseur. Ces deux jeux de variables sont indépendants, mais influent conjointement sur les objectifs du problème. L'approche séquentielle (voir Figure V-3) consiste à décomposer le problème pour travailler successivement sur l'un de ces jeux (ici, l'empilement de la peau), puis sur l'autre (l'empilement du raidisseur). Dans la première étape, l'empilement du raidisseur est fixé à sa configuration nominale. Dans la seconde étape, l'empilement de la peau est choisi parmi les solutions optimales issues de la première étape. Ce choix nécessite l'intervention du décideur : il s'agit là d'une stratégie d'optimisation interactive. Ici, le choix est effectué selon un critère de post traitement, correspondant à une version affaiblie et adaptée à l'optimisation en flambement de la règle de battage, consistant à minimiser les termes de couplage entre flexion et torsion de la peau.

Remarquons que ce processus d'optimisation aboutit au final à un empilement pour la peau et une

famille de solutions pour le raidisseur.

Figure V-3 : Schéma de principe de l'approche séquentielle.

V.2.1 O

PTIMISATION DE L

'

EMPILEMENT DE LA PEAU

Par rapport aux cas-tests analytiques étudiés dans la première partie de ce mémoire, la principale difficulté provient des coûts de calcul. Dans les cas-tests analytiques, le temps de calcul total pour un

processus d'optimisation comprenant évaluations des fonctions objectifs est d'environ cinq

minutes sur un ordinateur portable. Ici, le temps de calcul total avoisinerait les jours, quasi- exclusivement consacrés à l'évaluation des solutions, sur un PC dédié au calcul. Tabler sur l'efficience de l'algorithme d'optimisation pour réduire le nombre d'évaluations nécessaires est insuffisant pour revenir à des temps de calcul raisonnables. La clé du problème réside dans l'usage de métamodèles.

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V.2.1.a Identification des métamodèles

Un métamodèle scalaire est identifié pour chaque objectif. La peau étant constituée d'un empilement

symétrique de plis

θ θ

θ

, ce sont a priori variables d'empilements dont il faut tenir

compte pour le métamodèle. En pratique, leur influence sur le comportement global du panneau se

condense au travers de cinq modules de rigidité faiblement corrélés : les modules et , pour le

comportement de membrane, et les modules , et , pour le comportement de flexion. En

effet, dans le cas de stratifiés symétriques équilibrés avec un pas de discrétisation angulaire de 45°,

les modules de couplage et sont égaux.

Remarquons que seule une faible portion de cet espace à cinq dimensions est réalisable. Les

points extrêmes en sont connus, correspondant aux UD à et et au stratifié alterné .

Même si ces empilements présentent peu d'intérêt d'un point de vue de dimensionnement, car ils ne respectent pas les règles de conception, ils s'avèrent particulièrement intéressants pour identifier un métamodèle, ou en estimer la qualité, car ils permettent de contrôler l'approximation aux bornes du domaine réalisable. Outre ces trois points et la configuration nominale, qui respectent les seules règles d'équilibre et de symétrie, trente points de calcul supplémentaires sont utilisés pour l'identification des métamodèles, respectant l'ensemble voulu de règles de conception. Ceux-ci correspondant à la population initiale de l'AE, choisie selon l'approche Maximin proposée en II.2.2.b. Ce sont donc au total points d'identification (calculs EF) dans un espace à cinq dimensions dont on dispose.

Approximation de la charge critique de flambement

En première approximation, un métamodèle est identifié directement sur la charge critique de flambement, sans distinction de modes (on revient sur ce point au Chapitre VI). On retient ici un kriging interpolant. La qualité du métamodèle est systématiquement vérifiée à l'aide de trois indicateurs différents.

Afin d'estimer l'erreur de généralisation du métamodèle, c'est-à-dire l'erreur commise hors des points d'identification, et ce, sans en rajouter de nouveaux, une méthode de validation croisée est

employée. Ici, on procède par leave- -out, avec (soit environ des points d'identification).

Cette méthode consiste à répéter l'identification du métamodèle sur des échantillons de points d'identification, obtenus par tirage sans remise, pour estimer ensuite l'erreur commise sur les points

écartés de l'échantillon. Cette procédure est réitérée fois (ici ) sur autant d'échantillons de

points, choisis aléatoirement parmi les échantillons possibles. Les résultats de la validation

croisée sont présentés sur la Figure V-4. Dans ce cas, le métamodèle s'avère précis, sauf pour les points extrêmes. On a déjà souligné l'importance de ces points pour une bonne identification. Ils sont nécessaires et ne doivent pas être retirés de l'ensemble d'identification.

L'optimisation requière l'approximation globale des modèles. Une deuxième validation consiste à s'assurer que le métamodèle ne retourne de résultat absurde en aucun point réalisable de l'espace de décision. Pour ce faire, on s'appuie sur un ensemble de points choisis par l'approche Maximin,

respectant les règles de symétrie, d'équilibre et pas de discrétisation de . En pratique, cent points

suffisent. L'ensemble obtenu est imbriqué avec celui des points d'identification et recouvre au mieux le domaine réalisable (et même un domaine plus large compte tenu des autres règles de conception imposées en V.1.3). Le métamodèle est évalué en chaque point et l'on vérifie qu'il ne retourne aucune valeur négative ou absurdement élevée. Dans le cas précis traité ici, cette vérification de bon sens nous a conduit à écarter des métamodèles polynomiaux, pourtant stables au vu des résultats de la

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validation croisée. Sur les cent points de vérification, la force critique de flambement varie entre

et .

Enfin, la dernière vérification consiste, à l'issue du processus d'optimisation, à évaluer par le modèle EF un ou plusieurs compromis optimaux, pour s'assurer de la qualité des prédictions du métamodèle dans la zone d'intérêt (voir Figure V-6).

Figure V-4 : Résultat de la validation croisée (leave-3-out) pour le kriging.

Approximation de la force de ruine du panneau

La force de ruine du panneau cache trop de phénomènes complexes pour pouvoir être approximée

directement par un métamodèle simple. Il faut revenir à sa définition et séparer les différents phénomènes en compétition, en particulier l'effondrement global du panneau et la rupture matériau.

Dans le cas où la rupture intervient avant l'effondrement, le calcul non-linéaire retourne des valeurs directement exploitables des efforts correspondants. En effet, le comportement matériau est linéaire élastique et les effets des dommages ne sont pas pris en compte. La rupture préalable du matériau n'a donc aucune influence sur l'effondrement final du panneau.

Par contre, dans le cas inverse où l'effondrement intervient avant la rupture matériau, la valeur de l'effort à rupture n'est pas directement exploitable. En effet, la rupture est alors une conséquence de l'effondrement et des grands déplacement associés (voir Figure V-5). Après effondrement, la force de réaction globale diminue et, alors que c'est l'effondrement qui intervient en premier, la force de rupture est inférieure. Non seulement les phénomènes d'effondrement et de rupture restent imbriqués dans ce cas, ce qui nous ramène à la difficulté initiale, mais en plus il y a là une incohérence avec la définition de la force de ruine (expression V-1). Afin de remédier à ce problème, nous proposons d'extrapoler une valeur de rupture matériau à partir du dernier mode de flambement établi précédant l'effondrement. Cette valeur n'a pas de réel sens physique. Elle correspond à la valeur de la force à rupture, pour une rupture due au matériau, s'il n'y avait pas effondrement. Toutefois, elle permet d'identifier plus aisément le métamodèle et reste compatible avec la définition de la force de ruine, de telle sorte que cette dernière reste signifiante.

- 131 - Le kriging donne de bons résultats à la fois pour la prévision de la force de rupture et celle de la force d'effondrement. Au final, sur les cent points de vérification, la force de ruine varie entre

et avec une régularité très différente de celle de l'effort critique de flambement.

Figure V-5 : L'effondrement du panneau précède la rupture. Exemple de correction de la force de rupture.

V.2.1.b Compromis optimaux à l'issue de la première étape

L'optimisation est réalisée par l'AE évolutionnaire développé dans la première partie de ce mémoire. Le paramétrage de l'algorithme correspond à celui employé pour les cas-tests du Chapitre II :

Taille de la population : Taille de l'archive :

Nombre maximum de générations :

Probabilité de croisement :

Probabilité de mutation :

Amplitude de mutation :

Probabilité de permutation :

La population initiale correspond aux trente solutions réalisables (du point de vue des règles de conception) de l'ensemble employé pour l'identification des métamodèles (c'est-à-dire l'ensemble d'identification privé des trois points extrêmes et de la configuration nominale).

Les résultats obtenus sont présentés sur la Figure V-62. Le front de Pareto est matérialisé par une ligne rouge, les solutions non-dominées sont représentées par des triangles rouges et les solutions réalisables par des croix bleues. Les frontières d'activation des contraintes sont représentées en orange. Les trois solutions dont les performances sont détaillées correspondent aux solutions optimales selon chacun des objectifs considérés séparément, et à la solution de module minimal (dans une version affaiblie de la règle de battage). C'est cette dernière qui est retenue pour l'étape suivante.

2

Dans cette section, sur les Figures V-6, V-7, V-8 et V-9, compte tenu de la définition des fonctions-objectif, le point de coordonnées (1,1) correspond à la configuration nominale.

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Figure V-6 : Résultats obtenus à l'issue de l'optimisation de la peau, l'empilement du raidisseur étant figé à sa valeur nominale. La solution retenue est encadrée. Ses performances estimées par les métamodèles sont vérifiées par calcul EF.

V.2.2 O

PTIMISATION DE L

'

EMPILEMENT DU RAIDISSEUR

L'empilement de la peau étant figé à l'issue de la première étape, il s'agit maintenant d'identifier les métamodèles nécessaires à l'optimisation de l'empilement des raidisseurs. La démarche employée est identique à celle développée au paragraphe précédent. Ici, les cinq variables d'optimisation correspondent aux modules de rigidité du raidisseur. Le kriging donne une approximation satisfaisante des fonctions-objectif et des contraintes. Les intervalles de variation obtenus, sur les cent points de

vérification, par les métamodèles, sont de à pour l'effort critique de flambement et de

à pour l'effort de ruine du panneau.

Les résultats obtenus sont présentés sur la Figure V-7, dont la lecture est identique à celle de la Figure V-6. Le front de Pareto obtenu à l'issue de la première étape est reporté sur la figure. Les trois points dont les performances sont détaillées sont choisis selon les mêmes critères que précédemment. Cette fois-ci, on vérifie la qualité des estimations des métamodèles au niveau de ces trois solutions optimales. La correspondance est globalement de très bonne qualité.

Par rapport à la configuration nominale, l'optimisation successive de la peau et du raidisseur

permet jusqu'à de gain sur la force de ruine du panneau et plus de sur la force critique de

flambement. L'algorithme d'optimisation retourne quinze solutions non-dominées qui représentent autant de compromis intermédiaires entre ces gains extrêmes. Pour ce faire, soixante-six calculs EF ont été réalisés, en plus du calcul de la configuration nominale.

- 133 -

Figure V-7 : Résultats obtenus après optimisation de l'empilement du raidisseur. L'empilement de la peau est figé à la valeur choisie en post-traitement de la première étape (voir Figure V-7). Les estimations des métamodèles sont vérifiées par calcul EF en trois points.

V.2.3 A

PPROCHE DUALE

:

OPTIMISATIONS SUCCESSIVES DU RAIDISSEUR ET DE LA PEAU

Il est intéressant de vérifier si l'approche duale, qui consiste à inverser l'ordre des sous-problèmes issus de la décomposition du problème initial, retourne des résultats équivalents. Ces deux approches, directe et duale, sont schématisée Figure V-8 suivante :

Figure V-8 : Schéma de principe de l'approche séquentielle et de son approche duale.

La démarche de résolution du problème est identique à la démarche employée pour l'approche séquentielle directe (par opposition à duale). Les résultats obtenus à la première et à la seconde étape sont respectivement synthétisés sur la Figure V-9 et la Figure V-10.

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Figure V-9 : Résultats de l'optimisation de l'empilement du raidisseur, l'empilement de la peau étant figé à se valeur nominale. La solution retenue est encadrée et ses performances sont vérifiées par le calcul EF.

Figure V-10 : Résultats de la seconde étape d'optimisation. L'empilement du raidisseur correspond à la solution retenue à l'issue de l'étape précédent (voir Figure V-9).

Les métamodèles employés pour l'optimisation de l'empilement de la peau sont vérifiés en trois points du front (voir Figure V-10). L'approximation de la force de ruine du panneau se révèle

satisfaisante, avec une erreur inférieure à par rapport au calcul EF. Toutefois, les erreurs sur la

force critique de flambement atteignent les . Celles-ci semblent diminuer avec la valeur de la force critique, de telle sorte que pour les faibles valeurs de force de flambement, l'erreur reste inférieure à . Ceci s'explique aisément à partir du constat qu'aucun des points d'identification

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réalisables et ne présente de force critique de flambement excédant les . On est

donc en extrapolation pure sur la majeure partie du front de Pareto, d'où l'importance des erreurs. Néanmoins, les tendances restent vérifiées, ce qui permet à l'algorithme d'optimisation de localiser les compromis optimaux dans le paysage de performance, même si le relief en est exagéré.

La satisfaction des contraintes constitue une autre difficulté. Avec des erreurs de l'ordre de à sur les valeurs des contraintes, il faut s'assurer par le calcul EF que les performances des solutions proches des frontières d'activation des contraintes n'ont pas été trop surestimées. Ici, parmi les résultats de l'optimisation de l'empilement de la peau (seconde étape), le calcul EF révèle que la

solution viole la contrainte exprimée sur la force de flambement.

L'ensemble des compromis optimaux obtenu par l'approche duale compte quarante et une solutions et couvre une large gamme de performances, bien plus large que le front obtenu par

l'approche directe. Les performances calculés sont de surcroît supérieures : jusqu'à de gain sur

la force de ruine du panneau et de gain sur la force critique de flambement, comparativement à

la configuration nominale (résultats de Calculs EF). Ces résultats sont discutés plus en détails dans la synthèse proposée en fin de chapitre (Cf. V.4.1).

V.3 OPTIMISATION SIMULTANEE

L'alternative à l'approche séquentielle consiste à s'attaquer au problème complet sans décomposition préalable. Il s'agit ici de mettre en œuvre cette approche pour en évaluer la difficulté, le coût de calcul et la qualité des résultats, comparativement à l'approche séquentielle. Dans cette section, on réalise deux optimisations du panneau. La première optimisation est conduite pour un pas de discrétisation angulaire de , elle est basée sur les calculs EF réalisés dans la partie précédente pour l'optimisation séquentielle du panneau. Cet ensemble de points de calcul pâtit néanmoins d'une répartition très particulière dans l'espace de recherche complet (peau et raidisseur). Une seconde optimisation est donc proposée, à partir d'un nouvel ensemble de points d'identification (des calculs EF), mieux distribués (voir Figure V-11). Pour cette seconde optimisation, le pas est fixé à , afin de montrer les difficultés et d'estimer les gains potentiels de performances associés au choix d'une discrétisation angulaire plus fine.

Dans le document Stratégie de calcul pour l'optimisation multiobjectif des structures composites (Page 140-164)