Une précarité accentuée par le manque de «bilinguisme» et la

O ´ultimo dos modelos implementados no presente trabalho tamb´em ´e baseado no crit´erio de Tsai-Wu, mas desta vez segue o esquema de falha progressiva proposto por Tsai et al(2002).88,95Tal crit´erio foi um dos mais bem colocados no WWFE (Worldwide Failure Exer- cise), no qual v´arios autores propuseram crit´erios de FPF e falha progressiva e os utilizaram para analisar os mesmos exemplos com resultados experimentais dispon´ıveis para comparac¸˜ao.76–78

´

E importante ressaltar que o presente modelo foi formulado em termos bidimensionais em seu trabalho original. Foi, portanto, realizada sua expans˜ao para trˆes dimens˜oes.

No modelo de Tsai, definem-se dois estados b´asicos para um ponto em uma lˆamina. No primeiro, denominado Estado Intacto, o material possui sua rigidez e resistˆencia origi- nal. J´a no segundo estado, denominado Estado Degradado e representado pelo superescrito d, considera-se obrigatoriamente que ocorreu uma falha de matriz e o material saturado com fissuras ´e substitu´ıdo por um cont´ınuo equivalente com rigidez degradada. Al´em disso, nesse estado, a resistˆencia `a compress˜ao das fibras e os termos de interac¸˜ao biaxiais tamb´em s˜ao afe- tados devido `a falha da matriz. Ap´os uma segunda falha no estado degradado, considera-se que o ponto falhou por completo.

Assim, neste modelo, cada ponto pode falhar duas vezes, sendo a primeira obrigato- riamente uma falha de matriz e a segunda uma falha de fibra. Elimina-se portanto a necessidade de definir o modo de falha utilizando os fatores Hida Eq. (138). A degradac¸˜ao da primeira falha ´e dada por:

E₂d= αmE2 Gd12= αmG12 Gd13= αmG13 Gd23= αmG23 νd₁₂= αmν12 νd13 = αmν13 νd23= αmν23

(143)

ondeαm= 0.08, ajustado utilizando os resultados experimentais do WWFE.76,88 Al´em disso, como mencionado, os coeficientes de interac¸˜ao biaxiais tamb´em s˜ao degradados:

βd₁₂ = αmβ12 βd13 = αmβ13 βd23= αmβ23 (144)

No estado degradado, considera-se tamb´em uma reduc¸˜ao na resistˆencia `a com- press˜ao das fibras, dada por:88,95

X_cd= Xc ✓ E₂d

E2 ◆n

(145)

onde n= 0.1 ´e um fator de degradac¸˜ao exponencial.

Falha, representado pelo superescrito f , no qual novas degradac¸˜oes s˜ao feitas, desta vez utili- zando uma abordagem de eliminac¸˜ao de lˆamina:

E₁f = αfE1 E₂f = αfE2d G f 12 = αfG d 12 G f 13= αfG d 13 G₂₃f = αfGd23 ν f 12= αfνd12 ν f 13= αfνd13 ν f 23= αfνd23 (146)

ondeα_f = 0.01. Nota-se que as duas etapas de degradac¸˜ao s˜ao combinadas, com a aplicac¸˜ao sucessiva deαmeαf. Novamente, os termos de interac¸˜ao biaxiais s˜ao degradados:

β₁₂f = αfβd12 β f

13= αmβd13 β

f

23= αmβd23 (147)

O modelo de Tsai possui, portanto, trˆes diferentes fatores de degradac¸˜ao, cujos valores foram ajustados paraαm= 0.08, αf = 0.01 e n = 0.1.

4.5 Implementac¸˜ao Computacional

As metodologias de falha apresentadas foram implementadas no programa FAST, cuja estrutura geral de classes ´e mostrada na Sec¸˜ao 3.6.1. Originalmente, as integrais na espes- sura da placa tanto para o c´alculo das tens˜oes (Equac¸˜ao 34) quanto para a matriz constitutiva C (Equac¸˜ao 37) eram feitas analiticamente. Assim, para cada ponto de Gauss no plano (x_{− y),} apenas um objeto da classe cConstModel era criado e a matriz C pr´e-integrada era diretamente implementada na classe cAnModel da casca abatida laminada.

Para considerar a falha progressiva, ´e necess´ario fazer uma integrac¸˜ao durante a an´alise, com a utilizac¸˜ao de pontos de integrac¸˜ao tamb´em na espessura da casca. Como menci- onado anteriormente, as integrac¸˜oes na espessura s˜ao realizadas utilizando a Regra de Lobatto com 3 pontos, cujas coordenadas e pesos s˜ao mostrados na Tabela 5. Para isso, foi necess´ario modificar a criac¸˜ao dos modelos constitutivos, antes feitos diretamente pela classe de elemen- tos param´etricos cElmParam, e criar o conceito de sec¸˜ao, representado pelas classes cSection e cSecAnalysis.

A nova classe cSection, cuja estrutura ´e mostrada na Figura 34, ´e basicamente uma classe de armazenamento. Para sec¸˜oes homogˆeneas e isotr´opicas, ela armazena o material e a espessura da mesma, se esta for bidimensional. J´a para sec¸˜oes ortotr´opicas, ela armazena o material, espessura e os cossenos diretores de orientac¸˜ao do material (Equac¸˜ao 6). Por fim, para sec¸˜oes laminadas, a classe armazena o esquema de laminac¸˜ao da mesma, com o n´umero de lˆaminas e a espessura, ˆangulo e material de cada uma delas.

J´a a classe cSecAnalysis, que possui a estrutura mostrada na Figura 35, ´e respons´avel pelas poss´ıveis integrac¸˜oes na sec¸˜ao. Assim, um objeto dela ´e criado para cada ponto de Gauss no plano. Dependendo ent˜ao do tipo da sec¸˜ao, pontos de integrac¸˜ao adicionais na espessura podem ser criados.

Figura 34 – Estrutura da classe cSection.

Fonte: Elaborada pelo autor.

Figura 35 – Estrutura da classe cSecAnalysis.

Fonte: Elaborada pelo autor.

tegrac¸˜ao num´erica adicional ´e feita. J´a para sec¸˜oes laminadas, trˆes pontos de integrac¸˜ao e, portanto, trˆes modelos constitutivos s˜ao criados para cada lˆamina. Assim, cada modelo cons- titutivo criado ´e independente e pode representar um ponto intacto ou degradado do interior de uma lˆamina. Ressalta-se que o modelo constitutivo trabalha agora apenas no sistema local do material. Portanto, a matriz constitutiva pr´e-integrada anteriormente presente no modelo de an´alise de casca laminada abatida foi substitu´ıda pela matriz de uma lˆamina no sistema local (Equac¸˜ao 30).

Al´em da criac¸˜ao das duas classes supracitadas, novos tipos de material foram cria- dos, tendo em vista que ´e necess´ario fazer a leitura tamb´em dos fatores de degradac¸˜ao (Sec¸˜ao 4.4). Associados aos novos materiais, novos modelos constitutivos foram tamb´em implemen- tados. A estrutura atual da classe cConstModel ´e apresentada na Figura 36, que possui forma semelhante `a estrutura da classe cMaterial.

O modelo constitutivo possui trˆes tarefas b´asicas. A primeira delas ´e retornar a matriz constitutiva no sistema local, obtida do modelo de an´alise, para que a classe cSecAnaly- sisa utilize nas integrac¸˜oes. A segunda ´e o c´alculo das tens˜oes no sistema local a partir das deformac¸˜oes locais, sendo ent˜ao retornadas para a classe de an´alise realizar as integrac¸˜oes. A ´ultima tarefa ´e o c´alculo do crit´erio de falha e a degradac¸˜ao das propriedades. Como menci- onado anteriormente, a degradac¸˜ao pode ser fict´ıcia quando o ponto ainda n˜ao se encontra em equil´ıbrio ou real, quando a degradac¸˜ao da ´ultima iterac¸˜ao ´e efetivamente aplicada.30

O procedimento para integrar as tens˜oes e obter os esforc¸os internos na sec¸˜ao ´e mostrado na Figura 37. O ponto onde as poss´ıveis degradac¸˜oes s˜ao consideradas ´e o da obtenc¸˜ao

Figura 36 – Estrutura da classe cConstModel.

Fonte: Elaborada pelo autor.

das tens˜oes locais vindas do modelo constitutivo. Assim, se o ponto falhar, suas propriedades el´asticas ser˜ao degradadas e a tens˜ao calculada ter´a um valor bem mais baixo, o que ocasiona uma redistribuic¸˜ao da carga para outros pontos da lˆamina. Por fim, o algoritmo para obtenc¸˜ao da Matriz Constitutiva Tangente Ct ´e mostrado na Figura 38. Neste caso, o efeito da degradac¸˜ao vem da obtenc¸˜ao da matriz Q do modelo constitutivo.

4.6 Exemplos Num´ericos

Nesta sec¸˜ao, as metodologias de falha progressiva implementadas ser˜ao validadas e verificadas atrav´es da an´alise de estruturas laminadas procurando determinar tanto a carga de falha da primeira lˆamina (FPF) quanto a capacidade de carga final (UF). Al´em disso, um breve estudo sobre a metodologia da falha da primeira fibra (FFF) tamb´em ser´a realizado.

Trˆes exemplos ser˜ao apresentados. Inicia-se com uma chapa sujeita a um estado de tens˜oes uniaxial constante e condic¸˜oes de contorno simples. O objetivo ´e, portanto, avaliar o funcionamento das metodologias no cen´ario mais simples poss´ıvel. No segundo exemplo, cargas de flex˜ao ser˜ao analisadas, ocasionando um estado de tens˜oes mais complexo que varia tanto no plano quanto na espessura da placa. Avalia-se assim tanto os m´etodos de degradac¸˜ao quanto a metodologia de integrac¸˜ao das tens˜oes e relac¸˜oes constitutivas. Por fim, o exemplo de casca abatida tratado na Sec¸˜ao 3.7.2 ser´a analisado levando em considerac¸˜ao tamb´em a n˜ao- linearidade geom´etrica.