Notre but est d’obtenir une g´en´eralisation aux espaces d’Orlicz du th´eor`eme de Tsa´rkov qui donne la valeur exacte du coefficient d’approximation entre les espaces Lp(G) et Lq(G′) suivant les diff´erents cas sur G et G′ pour les diff´erentes valeurs de p et q. Nous obtenons le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 5.15. Soient G, G′ ∈ [0, 1], (0, ∞), N avec les mesures adapt´ees. Soient M et N deux fonctions d’Orlicz telles que M ∈ KG(pM, qM) et N ∈ KG(pN, qN), avec 1 < pM ≤ qM <∞ et 1 < pN ≤ qN <∞. Alors :
α(BM(G), LN(G′)) = 1 si pM ≥ 2 ≥ qN, et en g´en´eral,
α(BM(G), LN(G′))≥ pM∧ 2 qN ∨ 2.
De plus, dans les cas suivants, les estimations peuvent ˆetre major´ees : si G6= N, alors α(BM(G), LN(G′))≤ 2 pN si qM, pN ≥ 2 si G′ 6= N, alors α(BM(G), LN(G′))≤ q2M si qM, pN ≤ 2 si (G = G′= N) ou (G6= N et G′ 6= N), alors α(BM(G), LN(G′))≤ qM pN si qM ≤ 2 ≤ pN.
Remarque 2. On limite l’´enonc´e du th´eor`eme pr´ec´edent aux espaces d’Orlicz r´eflexifs en supposant 1 < pM, pN et qM, qN <∞. La preuve montre que les minorations sont en fait vraies pour pM = 1 et pN = 1. Ce choix apparaˆıt surtout pour les majorations. Nous y revenons dans le chapitre ”Borne sup´erieure d’approximation”.
Quand G, G′ et les indices qM et pN sont dans les cas appropri´es, le th´eor`eme 5.15 donne l’encadrement suivant :
pM∧ 2
qN ∨ 2 ≤ α(BM(G), LN(G′))≤
qM ∧ 2 pN∨ 2.
Remarquons que la minoration est obtenue pour tous les cas sur G, G′, qM et pN. Par contre la majoration s’obtient pour les cas du tableau suivant.
cas A : pN ≤ 2 ≤ qM cas B : qM ≤ 2 ≤ pN
cas C : 2≤ qM, pN cas D : qM, pN ≤ 2
G N [0, 1] (0,∞)
G′
N A,B A,C A,C
[0, 1] A,D A,B,C,D A,B,C,D (0,∞) A,D A,B,C,D A,B,C,D
5.4. POUR DES APPLICATIONS ENTRE ESPACES D’ORLICZ 49 A la fin de la d´emonstration du th´eor`eme 5.15, on a besoin du lemme suivant. Il traduit le fait d’avoir des lignes et des colonnes identiques pour [0, 1] et (0,∞) dans le tableau ci-dessus. Ici on utilise l’hypoth`ese pM > 1 pour avoir la convexit´e uniforme des espaces d’Orlicz LM(G) (pour une norme ´equivalente) et alors le fait que la boule unit´e ferm´ee BM(G) est un r´etract´e uniforme absolu, d’apr`es le th´eor`eme 5.2.
Lemme 5.16. Soient M et N deux fonctions d’Orlicz. Supposons que LM(0,∞) est r´eflexif. Soient X un espace vectoriel norm´e et BX sa boule unit´e ferm´ee. Alors :
α(BX, LN(0,∞)) ≤ α(BX, LN[0, 1]), α(BM(0,∞), X) ≤ α(BM[0, 1], X). Preuve du lemme 5.16. Consid´erons :
ϕ : LN[0, 1] −→ LN(0,∞) P : LN(0,∞) −→ LN[0, 1] x 7−→ x(t) si t∈ [0, 1], 0 sinon, x 7−→ x [0,1]
Alors ϕ et P sont des applications lin´eaires qui v´erifient :kϕ(x)k = kxk et kP (x)k ≤ kxk quand x est dans l’espace d’Orlicz de d´efinition de chaque fonction et quandk . k d´esigne la norme associ´ee. De plus, P ◦ ϕ est l’identit´e sur LN[0, 1].
Soit f : BX → LN[0, 1] uniform´ement continue. Fixons α < α(BX, LN(0,∞)). On veut approcher f par une application α-H¨older. Fixons ε > 0. Comme ϕ◦ f : BX → LN(0,∞) est uniform´ement continue, il existe gε ∈ Hα(BX, LN(0,∞)) telle que pour tout x ∈ BX, kϕ ◦ f(x) − gε(x)k ≤ ε. Donc on a, pour tout x ∈ BX, kP ◦ ϕ ◦ f(x) − P ◦ gε(x)k ≤ ε. Mais P◦ ϕ ◦ f(x) = f(x), et ainsi P ◦ gε approche f et est α-H¨older. Par d´efinition, on a : α ≤ α(BX, LN[0, 1]) et comme ceci est vrai pour tout α < α(BX, LN(0,∞)) la premi`ere in´egalit´e est d´emontr´ee.
Maintenant, consid´erons ϕ avec M `a la place de N . BM[0, 1] et ϕ(BM[0, 1]) sont Lipschitz-´equivalents (avec ϕ et ϕ−1 d´efinie sur ϕ(LM[0, 1])), donc d’apr`es le lemme 5.1 on a l’´egalit´e α(BM[0, 1], X) = α(ϕ(BM[0, 1]), X).
De plus, comme LM(0,∞) est r´eflexif, on a vu que cet espace admet une norme ´equivalente qui le rend uniform´ement convexe. Ainsi, d’apr`es le th´eor`eme 5.2, tout ensemble convexe ferm´e born´ee A ⊂ LM(0,∞) est un r´etract´e uniforme absolu. C’est donc le cas pour ϕ(BM[0, 1]) ⊂ BM(0,∞) qui est bien convexe ferm´e et born´e car ϕ est lin´eaire continue. On utilise le lemme 5.3 pour obtenir l’in´egalit´e α(BM(0,∞), X) ≤ α(ϕ(BM[0, 1]), X) = α(BM[0, 1], X).
D´emonstration du th´eor`eme 5.15. Avec l’application de Mazur g´en´eralis´ee φM N, la preuve utilise les mˆemes techniques que celle de Tsa´rkov dans [Tsa1] et dans [BL] p. 36.
Encore une fois on commence par utiliser la proposition 3.4 pour se ramener `a des fonctions d’Orlicz avec des propri´et´es globales. Consid´erons ˜M et ˜N telles que ˜M ∼GM et ˜N ∼G′ N et telles que ˜M est pM-convexe et qM-concave et ˜N est pN-convexe et qN-concave.
La fonction quasi-Orlicz ˜ϕ = ˜N−1◦ ˜M satisfait les hypoth`eses du th´eor`eme 4.5. De plus, comme les espaces d’Orlicz associ´es sont isomorphes, le lemme 5.1 permet d’obtenir l’´egalit´e α(BM(G), LN(G′)) = α(BM˜(G), LN˜(G′)).
Dans la suite, pour simplifier les notations, on suppose que M et N sont telles que N−1◦M satisfait les hypoth`eses du th´eor`eme 4.5.
Estimations par dessous : la densit´e effective.
On pourrait utiliser ici le th´eor`eme 5.11 de Tsa´rkov, qui donne des approximations dont le module de continuit´e d´epend des modules de lissit´e et de convexit´e des espaces. Mais ici on pr´ef`ere utiliser notre application de Mazur g´en´eralis´ee pour se ramener `a des applications entre espaces de Hilbert et appliquer le th´eor`eme d’extension 5.5 de Kirszbraun, et la proposition 5.7 qui en d´ecoule.
Consid´erons f : BM(G)→ LN(G′) uniform´ement continue et fixons ε > 0. On regarde la compos´ee : Φ = φN 2◦ f ◦ φ2M, o`u φ2M : L2(G) → LM(G) et φN 2 : LN(G′) → L2(G′) sont uniform´ement continues sur les boules. Alors Φ : B2(G)→ L2(G′) est une application uniform´ement continue entre des espaces de Hilbert. Ainsi, d’apr`es le (ii) de la proposition 5.7, il existe une application lipschitzienne g : B2(G)→ L2(G′) telle quekΦ−gk∞≤ ε. Il est clair que l’application (φN 2)−1◦g◦(φ2M)−1 = φ2N◦g◦φM 2est une approximation uniforme de f sur BM(G). De plus, d’apr`es le th´eor`eme 4.5, cette approximation est dans l’ensemble Hα(BM(G), LN(G′)) voulu pour les diff´erentes positions de pM et de qN autour du chiffre 2. Par d´efinition du coefficient α(BM(G), LN(G′)), on a donc obtenu les estimations par dessous du th´eor`eme 5.15.
Estimations par dessus : non densit´e.
Comme α(BM(G), LN(G′))≤ 1, le cas A o`u pN ≤ 2 ≤ qM est termin´e. Ici la majoration voulue vaut 1 d’o`u la pr´esence du cas A dans toutes les cases du tableau. Regardons les autres estimations par dessus. Tout d’abord, on suppose que G = G′ et on regarde les trois cas :
Cas B : quand qM ≤ 2 ≤ pN, Cas C : quand 2≤ qM, pN, Cas D : quand qM, pN ≤ 2. Cas B : quand qM ≤ 2 ≤ pN.
On doit montrer que α(BM(G), LN(G))≤ qM
pN. Fixons δ > 0. La preuve consiste `a trouver une application φ : BM(G)→ LN(G), uniform´ement continue, telle que :
inf{kφ − gk∞, g∈ HqM/pN+δ(BM(G), LN(G))} > 0.
En fait, c’est φM N elle-mˆeme qui va ˆetre cette application φ. En effet, nous montrons le lemme suivant qui donne explicitement une borne inf´erieure `a la distance de φM N aux ensembles Hα(BM(G), LN(G)).
Lemme 5.17. Soient M et N deux fonctions d’Orlicz qui v´erifient les hypoth`eses du corol-laire 4.6 avec les mˆemes notations. Supposons que qM ≤ pN. Fixons α∈ (0, 1]. Alors, pour toute application g∈ Hα(BM(G), LN(G)), il existe une constante C > 0 telle que :
2kφM N − gk∞ ≥ sup
n∈N ,n pair{1 − Cn1/pNM−1(1/n)α}, si G ∈ {(0, ∞), N}, 2kφM N − gk∞ ≥ sup
n∈N ,n pair{1 − Cn1/pN1/M−1(n)α}, si G = [0, 1].
En particulier, si fn(α) = n1/pNM−1(1/n)αtend vers 0 quand n tend vers∞ (resp. fn(α) = n1/pN1/M−1(n)α tend vers 0) alors l’ensemble Hα(BM(G), LN(G)) n’est pas dense dans U C(BM(G), LN(G) quand G∈ {(0, ∞), N} (resp. quand G = [0, 1]).
5.4. POUR DES APPLICATIONS ENTRE ESPACES D’ORLICZ 51 Preuve du lemme 5.17. Premier cas : quand G∈ {(0, ∞), N}.
Consid´erons g ∈ Hα(BM(G), LN(G)). Fixons n ∈ N. On note l2n
M = (R2n,k . kM), o`u kxkM = inf{λ > 0,P2n
i=1M (|xi|/λ) ≤ 1} et l2n
N = (R2n,k . kN). On d´esigne par B(l2nM) et B(lN2n) leur boules unit´es ferm´ees. l2nM (resp. l2nN) peut ˆetre vu comme un sous-espace de LM(G) (resp. LN(G)) qui consiste en des fonctions qui sont constantes sur 2n ensembles fix´es et disjoints chacun de mesure 1.
Il existe une projection de norme 1, P : LN(G)→ l2n
N telle que P (x) = x pour tout x∈ l2n N. Donc, pour tout x∈ B(l2n
M) :
kφM N(x)− P ◦ g(x)kN = kP ◦ φM N(x)− P ◦ g(x)kN
≤ kφM N(x)− g(x)kN
≤ kφM N − gk∞.
Si σ est une permutation de {1, . . . , 2n} et si θ = (θ1, . . . , θ2n) est un choix de signes, on consid`ere l’op´erateur :
Uσ,θ : R2n → R2n
x 7→ (θ1xσ−1(1), . . . , θixσ−1(i), . . . , θ2nxσ−1(2n)). C’est une isom´etrie sur l2n
M et sur l2n
N qui fournit l’op´erateur de norme 1 suivant : Vσ,θ : U C(B(l2nM), l2nN),k . k∞ → U C(B(lM2n), l2nN),k . k∞ f 7→ Uσ,θ◦ f ◦ Uσ,θ−1, et la moyenne : V = 1 (2n)!22n X σ,θ Vσ,θ.
Il est facile de voir que Vσ,θ(φM N) = φM N. Donc on a :
kφM N − V (P ◦ g)k∞=kV (φM N)− V (P ◦ g)k∞
≤ kφM N − P ◦ gk∞ car V est un op´erateur de norme 1, ≤ kφM N − gk∞ comme vu avant.
Pour simplifier les notations, on ´ecrit h = V (P ◦ g) ∈ Hα(B(lM2n), l2nN), avec une constante de H¨older Ch qui est ind´ependante de n.
On a Vσ,θ(h) = h, pour tous σ, θ, ce qui signifie que Uσ,θ◦ h = h ◦ Uσ,θ. Ainsi h conserve le support et, si c > 0 et si χA est la fonction indicatrice d’une partie A de {1, . . . , 2n}, h(cχA) = c′χA, o`u la constante c′ ne d´epend que de c et de la cardinalit´e de A.
Maintenant, pour tous x, y∈ B(l2n
M), on a :
2kφM N − gk∞≥ kφM N(x)− φM N(y)kN − kh(x) − h(y)kN.
Il faut trouver deux ´el´ements judicieux x et y. Prenons xk= M−1(1/2n)χ(k, . . . , k + n−1), pour 1 ≤ k ≤ n + 1. On a xk ∈ B(l2n
donnekφM N(x1)− φM N(xn+1)kN = 1. De plus, les vecteurs (h(xk)− h(xk+1))1≤k≤n+1ont des supports disjoints et
kh(x1)− h(xn+1)kN =k n X k=1 (h(xk)− h(xk+1))kN = k n X k=1 |h(xk)− h(xk+1)|pN 1
pNkN, car les supports sont disjoints,
≤ C( n X k=1 kh(xk)− h(xk+1)kpN N )pN1 , par pN-convexit´e de LN(G), ≤ C1( n X k=1
(kxk− xk+1kαM)pN)pN1 , avec C1 une constante ind´ependante de n, = C2n1/pNM−1(1/2n)α, avec une autre constante C2.
Second cas : Quand G = [0, 1].
En g´en´eral, contrairement au cas des espaces Lp quand M (u) = up, les espaces l2n M ne sont pas des sous-espaces de l’espace d’Orlicz LM[0, 1]. La preuve faite au-dessus doit ˆetre adapt´ee. De nouveau, on fixe n∈ N, σ une permutation de {1, . . . , 2n} et θ = (θ1, . . . , θ2n) un choix de signes.
D´ecoupons l’intervalle [0, 1] en 2n intervalles Ik = [k−12n ,2nk ], avec 1≤ k ≤ 2n. Consid´erons : Tσ,k : Ik −→ Iσ−1(k) t = λk− 1 2n + (1− λ) k 2n 7−→ Tσ,k(t) = λσ−1(k)− 1 2n + (1− λ)σ−1(k) 2n . Comme avant, on consid`ere l’op´erateur (avec ϕ = M ou ϕ = N ) :
Uσ,θ : Lϕ[0, 1] → Lϕ[0, 1] , x7→ Uσ,θ(x), tel que, pour tout t∈ Ik : Uσ,θ(x)(t) = θkx(Tσ,k(t)).
C’est toujours une isom´etrie car Z Ik x(Tσ,k(t))dt = Z Iσ−1(k) x(t)dt,
avec de plus Uσ,θ−1= Uσ−1,θσ o`u θσ= (θσ(1), . . . , θσ(2n)). L’op´erateur de norme 1 associ´e est : Vσ,θ : U C(BM[0, 1], LN[0, 1]) → UC(BM[0, 1], BN[0, 1])
f 7→ Uσ,θ◦ f ◦ Uσ,θ−1, avec la mˆeme moyenne V qu’avant.
Muni de tous ces outils adapt´es au cas G = [0, 1], la preuve est la mˆeme que la pr´ec´edente avec maintenant xk= χ[k−1
2n ,k+n−12n ], pour 1≤ k ≤ n + 1 et ici kxk− xk+1kM = 1/M−1(n)α. Alors dans ce cas on obtient fn(α) = n1/pN1/M−1(n)α. Le lemme est donc d´emontr´e.
5.5. LIEN AVEC LES INDICES DE BOYD 53