2.4 Potentiel induit
En suivant le même raisonnement que le paragraphe §1.5.1 (BIétant négligeable ses variations temporelles le sont aussi), on calcule l’expression de la différence de potentiel aux parois,
V (t) = 2B0a¯u(t) = 2B0
πa q(t) (2.6)
qui constitue une approximation valable pour les champs usuels en IRM.
2.4.1 Cas sinusoïdal
Le potentiel induit présentera les mêmes allures que les débits de la figure 2.1. Pour donner quelques ordres de grandeur, à B0= 1.5T on trouve des oscillations autour de Vmoyen= 7.9mV alors qu’à B0 = 8T on a un Vmoyen= 37.3mV .
2.4.2 Cas pulsé réaliste
En considérant q(t) donné par l’équation (8) de §2.3, on calcule un potentiel ayant la même allure que les courbes de débit présentées dans la figure 4 de ce paragraphe. Sa valeur moyenne sera égale au potentiel obtenu dans le cas de la solution stationnaire approximative du chapitre II.1. En effet, se restreindre à la composante continue dans le cas présent nous ramène aux mêmes vitesses et débits que le cas stationnaire (cf. section 5.1 du paragraphe §2.3), et donc au même potentiel. Par conséquent, la comparaison des potentiels induits calculés ici à la solution exacte mènerait aux mêmes conclusions que le paragraphe §1.5.1 : l’expression (2.6) donnerait des po-tentiels acceptables pour des faibles intensités de champ.
Notons que les valeurs dimensionnelles de potentiel qu’on obtiendrait ici seraient très élevées, et irréalistes vu les vitesses très rapides mises en jeu (cf. discussion dans §2.3). Bien que l’ordre de grandeur de débit soit le même, à champ égal, on trouve ici un potentiel plus élevé que dans le cas sinusoïdal présenté ci-dessus, puisque le rayon considéré est plus petit.
Si on normalise q(t) par rapport à qpois= πa82g0 et on pose V0= 2B0
πa qpoison peut écrire l’expres-sion adimenl’expres-sionnelle
˜
V (t) = ˜q(t) (2.7)
La figure 2.4 représente la différence de potentiel adimensionnelle obtenue pour Ha = 1. 1
On remarque que, contrairement à ce dont on peut s’attendre, le maximum de potentiel ne corres-pond pas à la systole. En effet puisqu’on est placé en aval de l’aorte, durant la systole, il y a principalement stockage dans les grosses artères, et ça ne commence à être restitué dans le vais-seau rigide étudié qu’à la fin de la systole. D’après cette figure, les vaisvais-seaux rigides devraient a
1
L’ECG représenté ici est simulé numériquement. La correspondance avec les ondes de pression n’est que très approximative.
124 Chapitre II.2 : Écoulement pulsé dans un vaisseau rigide
Fig.2.4 – Potentiel induit pendant un cycle cardiaque pour Ha= 1
Le maximum de potentiel induit ne coïncide pas avec l’onde T. Le segment ST correspond à la période d’éjection dans l’aorte. Le sang n’est restitué dans le vaisseau rigide étudié qu’un peu plus loin
priori introduire un artéfact MHD plus loin que l’onde T. Cependant, en réalité, à ce niveau là on est déjà loin du coeur (donc des électrodes) et les débits mis en jeux sont beaucoup plus faibles. L’effet majeur sur l’ECG est celui induit par la crosse aortique déformable faisant partie de la chambre compliante du modèle de windkessel.
2.5 Potentiel surfacique
Comme dans le paragraphe §1.5.2, le potentiel de surface, peut être estimé par rayonnement dipolaire. Cependant, dans le cas pulsé, puisque la distribution de charge dépend du temps, il faut tenir compte d’un phénomène de propagation des potentiels à la vitesse c (en supposant qu’on est dans le vide). Les potentiels sont ainsi définis avec les mêmes expressions qu’en statique, mais en introduisant un retard correspondant à la distance entre le point origine du dipôle et le point d’observation M,
V (M, t) = ~
pt − | ~O′cM |· ~O′M
2.6. Conclusion 125
où le moment dipolaire est calculé de la même façon que dans le cas statique, et est donné par
p = ǫB0Lq(t) · ~ey (2.9)
Le calcul du potentiel surfacique n’est pas très intéressant dans le cas de l’écoulement à gradient réaliste puisque le vaisseau étudié n’intervient pas dans les artéfacts sur l’ECG. Le cas sinusoïdal par contre peut donner une idée sur les ordres de grandeurs, en supposant un écoulement sinu-soidal dans la crosse aortique à la sortie du coeur.
Pour un point situé verticalement au dessus de la crosse à la distance d, on a V (M, t) = B0L 4πd2q t −d c (2.10) Vu que les distances au thorax sont faibles, les retards introduits sont très négligeables, et on retrouvera, par suite, la même allure que le débit. Pour des intensités de 1.5 et 8 T on obtient des potentiels surfaciques moyens de 0.09 et 0.42 mV respectivement.
2.6 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons étudié le cas d’un écoulement magnétohydrodynamique pulsé, dans un vaisseau rigide, à parois non conductrices. En négligeant les champs induits, deux cas de gradient de pression périodique ont été considérés.
Nous avons commencé par une forme sinusoïdale généralisée, et avons présenté une solution obtenue par une succession des transformées de Laplace et de Hankel. Ensuite, l’équation de Navier Stokes a été résolue avec un gradient de pression réaliste que nous avons obtenu à l’aide d’un modèle électrique de windkessel. Ce gradient est imposé au vaisseau rigide par une chambre élastique placée en amont, assurant la transition entre le débit sortant du coeur et rentrant dans le vaisseau étudié. L’adaptabilité de notre approche de résolution basée sur la transformée de Fourier nous a permis de comparer notre solution à d’autres cas déjà établis afin de l’évaluer. Nous avons vérifié la conformité de ces solutions avec celles calculées dans la littérature, qu’elles soient stationnaires ou périodiques, et avons tiré les mêmes conclusions que celles du chapitre II.1, en ce qui concerne l’influence des inductions. Bien que nous ne l’avons pas explicité ici, les conséquences de l’introduction de parois conductrices seraient aussi identiques à celles du cas stationnaire.
En dernière partie, les potentiels induits sur la paroi et sur la surface du thorax ont été estimés pour retrouver les même ordres de grandeur que le cas stationnaire avec champs induits négligés. Une solution numérique de l’écoulement qui tient compte des inductions est à envisager. Dans
126 Chapitre II.2 : Écoulement pulsé dans un vaisseau rigide
ce cas, une forme d’onde numérique du gradient de pression à appliquer pourrait être obtenue à partir d’un modèle électrique plus complet (à 4 éléments par exemple).
Bien que le cas étudié avec un gradient de pression de forme physiologique constitue un modèle d’écoulement assez réaliste, il estime des potentiels induits en aval de l’aorte. La modélisation du potentiel MHD contaminant l’ECG, se ferait plus correctement en considérant l’écoulement pulsé dans le module élastique de windkessel. Les débits calculés dans un vaisseau déformable placé directement à la sortie du coeur pourront être comparés aux débits d’entrée dans le vaisseau rigide considéré ici.
Chapitre 3
Écoulement MHD pulsé dans un
vaisseau déformable
3.1 Introduction
La crosse aortique, siège principal des artéfacts MHD sur l’ECG, est compliante. L’étude de l’écoulement dans un vaisseau déformable offre un modèle, certes plus complexe, mais plus réaliste pour la modélisation de ces artéfacts. D’où l’intérêt de considérer ce cas d’écoulement afin de définir ce que la prise en compte de l’élasticité apporte aux modèles de vaisseaux rigides précédemment étudiés.
Sud et al. [33] ont étudié l’écoulement magnétohydrodynamique dans un tube déformable, infini, de section droite, en faisant l’hypothèse de champs induits négligeables. Après avoir défini, sur la paroi, la relation entre la pression et les déformations, ils ont résolu l’équation de Navier Stokes, dans le cas sinusoidal, pour obtenir les composantes radiale et axiale de la vitesse.
Dans la recherche d’une solution plus complète pouvant tenir compte des inductions, tout en étant applicable pour un débit pulsé réaliste, nous nous sommes tournés vers une approche lar-gement utilisée pour modéliser les écoulements artériels, celle des modèles unidimensionnels. Bien qu’elle n’a jamais été appliquée dans le cas d’un écoulement magnétohydrodynamique, l’adapta-tion de cette méthode à notre cas s’est avérée intéressante.
Les modèles 1D sont des modèles simplifiés qui permettent de décrire l’écoulement par un sys-tème de deux équations différentielles, dépendantes du temps et d’une seule variable spatiale. Ces équations définissent un couplage entre le débit et la variation de section due à la pression. Elles sont obtenues par moyennage sur une section, en supposant que la composante dominante de la vitesse est selon l’axe du vaisseau (vitesse radiale négligeable), que l’écoulement est axisy-métrique, et que la pression est constante sur la section. Leur résolution nécessite un profil de vitesse imposé a priori, elle fournit des valeurs moyennes de vitesse et de pression (ou section)
128 Chapitre II.3 : Écoulement pulsé dans un vaisseau déformable
dans une coupe perpendiculaire à la direction principale de l’écoulement. Ces modèles sont em-ployés pour étudier, par exemple, les effets de sténose, d’anévrisme, ou durcissement de l’artère, sur les vitesses et les pressions [34].
Contrairement aux modèles 0D basés sur l’analogie avec des circuits électriques, tels que wind-kessel, les modèles 1D permettent de prendre en compte la propagation d’onde de pression due à l’élasticité du vaisseau. Un couplage avec ces modèles est néanmoins possible et permet de définir les conditions aux limites du système 1D [12].
Dans ce chapitre, nous adoptons une approche similaire aux modèles 1D de la littérature, afin d’établir un système d’équations incorporant les effets du champ magnétique dans le vaisseau déformable. Nous étudions le problème complet en incluant le champ magnétique induit BI, et présentons une formulation simplifiée qui néglige BI. Des profils de vitesse qui tiennent compte déjà de l’aplatissement dû au champ magnétique sont considérés, et des conditions aux limites sont établies en préparation pour une résolution ultérieure.