1.1.3 Les courants marins . . . 29
1.2 Équations de Navier-Stokes . . . . 29 1.3 Équations de Saint-Venant (shallow water) . . . . 32 1.4 Équations d’ondes . . . . 34 1.5 Les forces exercées sur le système . . . . 36 1.6 Conditions aux limites . . . . 37 1.7 Formulation variationnelle . . . . 39 1.8 Discrétisation . . . . 40
1.8.1 Résolution du maillage . . . 41 1.8.2 Approximation sur le maillage . . . 43 1.8.3 Discrétisation temporelle . . . 49
1.1
La physique des océans
Comme nous l’avons vu précédemment, dans le cas de la marée terrestre, seuls la Lune et le Soleil ont des impacts significatifs, qui s’additionnent ou se contrarient selon les positions respectives de la Terre, de la Lune et du Soleil. Quoique de masse beaucoup plus petite que le Soleil, la Lune est également beaucoup plus proche de la Terre, de sorte que leurs attractions sont d’ordres de grandeurs comparables : celle du Soleil est environ la moitié de celle de la Lune. Les autres corps célestes sont trop éloignés pour que leur influence soit sensible.
La force génératrice de la marée est la résultante de deux forces :
– la force d’attraction gravitationnelle exercée par l’astre, proportionnellement à sa masse et en raison inverse du carré de sa distance ;
– la force centrifuge identique en tout point de la Terre, due au mouvement de la Terre sur son orbite autour du centre de gravité du système Terre-astre.
Au centre de la terre, ces deux forces se compensent exactement (voir figure 1.1).
Figure 1.1 – Forces génératrices de la marée
source : http: // www. shom. fr/ fr_ page/ fr_ act_ oceano/ maree/ origine_ f. htm
Lorsque l’astre est au-dessus de l’horizon, la force d’attraction qu’il exerce est la plus importante, tandis que lorsqu’il est en dessous de l’horizon, c’est la force centrifuge qui l’emporte.
Si l’océan était en équilibre avec la force génératrice de la marée, sa surface prendrait la forme d’un ellipsoïde de révolution dont le grand axe serait dirigé vers l’astre. Il s’agit de la marée statique de Newton (voir figure 1.2).
Du fait de la rotation de la terre autour de son axe, un observateur situé à sa surface observerait généralement deux pleines mers et deux basses mers par jour, l’une dans la direction de l’astre, l’autre dans la direction opposée, deux basses mers étant observées lorsque l’astre est à l’horizon.
Il peut arriver, pour les latitudes élevées, lorsque la déclinaison est importante, que l’astre n’atteigne pas l’horizon. La pleine mer secondaire a alors disparu et la marée devient de type diurne : on observe une seule pleine mer et une seule basse mer par jour. Deux cycles fondamentaux sont donc observés dans la marée statique : le cycle diurne et le cycle semi-diurne.
Figure 1.2 – Marée statique
source : http: // www. shom. fr/ fr_ page/ fr_ act_ oceano/ maree/ origine_ f. htm
D’autre part, le fait que le plan de rotation de la Lune autour de la Terre n’est pas confondu avec le plan de rotation de la Terre autour du Soleil implique des variations dans l’amplitude des marées.
Toutefois, cette attraction combinée de la Lune et du Soleil (plus petite) est pertur- bée ou même parfois contrariée par d’autres phénomènes physiques comme l’inertie des masses d’eau, la forme des côtes, les courants marins ou encore la profondeur des mers.
1.1.1
Le potentiel générateur de la marée
Les marées sont donc dues aux attractions combinées de la Lune et du Soleil. On note (x, y, z) ∈ R3 les coordonnées d’un point. Soient, en un point P de la surface du globe terrestre :
– t le temps (unité SI : s). Nous placerons toujours l’origine des temps au début des simulations, donc t ∈ R+;
– Πa(x, y, t) le potentiel générateur des marées (unité SI : m2s−4), Πa ∈ R+;
– Πo(x, y, t) le potentiel généré par l’astre perturbateur, c’est-à-dire soit la Lune, soit
le Soleil (unité SI : N m kg−1), Π
o ∈ R+;
– G = (6,674 28 ± 0,000 67) · 10−11N m2kg−2 la constante de gravitation ;
– Mo la masse de l’astre perturbateur (unité SI : kg). Une masse ne peut pas être
négative, donc Mo ∈ R+;
– do(x, y, t) la distance entre le point P et l’astre perturbateur (unité SI : m). Une
distance ne peut pas être négative et, le point étant à la surface de la Terre, il n’est pas accolé à l’astre, donc do ∈ R+? ;
– Ro(x, y, t) la distance entre le centre de la terre et l’astre perturbateur (unité SI :
m). Une distance ne peut pas être négative et, le point étant à la surface de la Terre, il n’est pas accolé à l’astre, donc Ro∈ R+? ;
– a = 6 371 · 103m le rayon d’une sphère ayant le même volume que la Terre ;
– ψo(x, y, t) l’angle zénithal de l’astre perturbateur au point P (unité SI : rad). Il
La théorie de la gravité en mécanique classique donne (voir par exemple [Kane et Sternheim, 2004]) : Πo= GMo 1 do − acos ψo R2 o ! . (1.1.1)
On peut ainsi définir le potentiel généré par la Lune (ΠL) et celui généré par le Soleil
(ΠS). On a :
Πa=
ΠL+ ΠS
g .
Figure 1.3 – Le système Terre-Lune
source : [Letellier, 2004]
Le théorème d’al-Kashi1 (voir par exemple [Tauvel, 2005]) permet d’exprimer d
o en fonction de a, Ro et ψo : d2o = a2+ R2o−2aRocos ψo, (1.1.2) a >0 et Ro >0, donc : 1 do = 1 Ro q 1 − 2 a Ro cos ψo+ a2 R2 o . (1.1.3)
Soient les polynômes de Legendre2 suivant :
P0(cos ψo) = 1, P1(cos ψo) = cos ψo, Pn+1(cos ψo) = 2n + 1 n+ 1 Pn(cos ψo) cos ψo− n n+ 1Pn−1(cos ψo), n ∈ N ?. (1.1.4)
Dans le cas de la Lune,a/R
L≈1/60et, dans le cas du Soleil,a/RS ≈1/2,5·104, donca/Ro 1.
L’équation 1.1.3 peut donc s’exprimer sous la forme d’une somme de polynômes de Legendre : 1 do = 1 Ro +∞ X n=0 Pn(cos ψo) a Ro n . (1.1.5)
1. Ghiyath ad-Din Jamshid Mas‘ud al-Kashi (vers 1380 - 1429) 2. Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833)
D’après [Le Provost, 1974], en se limitant à l’ordre deux, on couvre déjà 98 % du signal de marée. On peut donc écrire le potentiel 1.1.1 ainsi :
Πo ≈ 3 4GMo a2 R3 o cos2 ψo− 2 3 . (1.1.6)
Soient (Ro, λo, ϕo) les coordonnées de l’astre dans le référentiel géocentrique et
(Rp, λp, ϕp) les coordonnées du point P . Alors :
cos ψo = sin ϕosin ϕp+ cos ϕocos ϕpcos (λp − λo) , (1.1.7)
donc : Πo≈ 3 4GMo a2 R3 o " 1 3 1 − 3 sin2ϕ o 1 − 3 sin2ϕ p
+ sin (2ϕo) sin (2ϕp) cos (λp− λo)
+ cos (2ϕo) cos (2ϕp) cos [2 (λp− λo)] #
. (1.1.8) Les trois termes de l’équation 1.1.8 permettent d’obtenir les principaux termes de génération de la marée. En effet, au cours d’une rotation de l’angle (λp− λo) de 2π, c’est-
à-dire une rotation de la Terre sur elle-même, le terme cos (2ϕo) cos (2ϕp) cos [2 (λp − λo)]
effectue deux périodes, il décrit donc une fonction semi-diurne. Pendant la même durée, le terme sin (2ϕo) sin (2ϕp) cos (λp− λo) n’effectue qu’une seule période, décrivant donc
une fonction diurne. Enfin, le terme (1 − 3 sin2ϕ
o) (1 − 3 sin2ϕp) ne dépend que de la
latitude, qui varie en fonction du mouvement de déclinaison de l’astre. La période de ce mouvement est très supérieure à une journée, il s’agit donc d’une fonction longue période.