Nous utilisons les grandes lignes du code utilis´e pr´ec´edemment et nous ne changerons que l’´equation a utiliser. La grande difficult´e rencontr´ee dans l’obtention de ce graphique fut d’obtenir une courbe similaire `a celle de l’article. En effet, il fallait se placer `a des rayons tr`es grands pour observer les mˆemes caract´eristiques.
Nous avons pris la libert´e d’´etudier trois potentiels de particules pour plusieurs cadres : – newtonien
– relativiste
– cosmologique (celui de l’article)
Cadre newtonien Dans le cadre de la dynamique de Newton, nous avons l’utilis´e l’´equation du potentiel5 d’une particule suivante :
Vef f = 1
2−2GM r + L2
2r2 (7.24)
avec le coefficientqui permet d’indiquer s’il s’agit d’une particule avec masse (i.e.= 1) ou sans masse (i.e.= 0).
Nous obtenons donc la figure 7.2.
Nous constatons un potentiel n´egatif pour une particule massive due `a la masse qui va cr´eer une barri`ere de potentiel pour la particule, l’empˆechant de ”sortir”, conform´ement `a ce que l’on peut attendre d’un point de vue purement physique. Cependant, dans le cas d’une particule sans masse (e.g. un photon), le potentiel devient positif et est l’inverse du cas avec masse. Il y a ici tr`es certainement une lacune de mod´elisation que nous devrons am´eliorer avec les mod`eles qui suivent.
Nous avons en plus programm´e le trac´e graphique du mˆeme potentiel pour plusieurs va-leurs du param`etre L d’abord dans le cas d’une particule massive comme nous le montre la figure 7.3 puis dans le cas d’une particule sans masse que nous pr´esenterons en figure 7.4.
Pour la figure 7.3 la barri`ere de potentiel se r´eduit et devient de moins en moins importante, plusLaugmente. D’une certaine mani`ere, nous pouvons expliquer ceci par une ”compensation”
de l’effet gravitationnel subit par la particule grˆace `a l’augmentation de son moment angulaire L. Nous avons une convergence vers la valeur 0.5 dans tous les cas ; il s’agit bien l`a d’une stabilisation du syst`eme comme l’on peut s’y attendre6.
5. Les formules suivantes sont donn´eesad hocet font l’objet d’une d´emonstration dans le cours [8]
6. Ceci reste ´egalement valable dans le cadre des autres mod`eles comme nous le verrons ci-apr`es.
Figure 7.2 – Potentiel effectif en m´etrique newtonienne pour une particule massive
Figure7.3 – Potentiel effectif en m´etrique newtonienne pour une particule massive suivant diff´erentes valeurs du param`etre L
Dans le cas de la figure 7.4 mˆeme commentaire que pr´ec´edemment `a la diff´erence que l’augmentation de L ne compense aucune autre force puisque la particule sans masse ne ressent pas l’effet gravitationnel dans le cadre newtonien. C’est une lacune que comblera la relativit´e g´en´erale comme nous le verrons.
Figure 7.4 – Potentiel effectif en m´etrique newtonienne pour une particule non massive suivant diff´erentes valeurs du param`etre L
Cadre relativiste Dans le cadre de la dynamique de la relativit´e restreinte, nous avons utilis´e l’´equation du potentiel d’une particule suivante :
Vef f = 1
2−2GM r + L2
2r2 −GM L2
r3 (7.25)
avec le coefficientqui permet d’indiquer si il s’agit d’une particule avec masse (i.e.= 1) ou sans masse (i.e.= 0).
La figure 7.5 nous montre une barri`ere de potentiel assez classique dans le cas d’une par-ticule massive (et toujours une stabilisation vers 0.5). En revanche, pour la parpar-ticule sans masse, nous serons heureux de remarquer une am´elioration de la concordance physique avec l’apparition d’un potentiel n´egatif, que ressent la particule `a pr´esent. Elle pr´esente ´egalement une l´eg`ere courbure avant sa stabilisation `a la valeur 0.
De la mˆeme mani`ere que dans le cas newtonien, nous tra¸cons ´egalement les graphiques pour diff´erentes valeurs deL dans le cas d’une particule massive en figure 7.6 et non massive en figure 7.7.
En ce qui concerne la figure 7.6, nous constatons toujours l’influence primordiale du pa-ram`etre L qui compense toujours les effets gravitationnels avant la stabilisation de la valeur du potentiel vers 0.5.
Mais pour la figure 7.7, seul l’effet deL2 se fait ressentir majoritairement et conduit `a des courbures tr`es importantes du potentiel avant stabilisation vers 0.
Figure 7.5 – Potentiel effectif en m´etrique relativiste pour une particule massive et une particule non massive
Figure 7.6 – Potentiel effectif en m´etrique relativiste pour une particule massive suivant diff´erentes valeurs du param`etre L
Figure7.7 – Potentiel effectif en m´etrique relativiste pour une particule non massive suivant diff´erentes valeurs du param`etre L
Cadre cosmologique Nous ´etudions donc le cas pr´esent´e dans le rapport dont nous rap-pelons l’´equation du potentiel effectif :
V(r) = 1 2
1−rS
r − 1
3Λr2 L2 r2 +
(7.26) avec le coefficientqui permet d’indiquer si il s’agit d’une particule avec masse (i.e.= 1) ou sans masse (i.e.= 0).
Nous obtenons alors le mˆeme graphique que celui pr´esent´e dans l’article :
La barri`ere de potentiel est toujours pr´esente aux petits rayons r∼15 pour la figure 7.8 puis on observe une diff´erentiation de l’allure des courbes en fonction du param`etre Λ pour les plus grands rayons. L’influence du param`etre cosmologique Λ apparaˆıt donc pour de grandes distances.
Notons ´egalement que l’on observe toujours une stabilisation `a 0.5 dans le cas o`u la constante cosmologique Λ est nulle permettant de raccorder nos observations aux graphes pr´ec´edents.
Puis nous remarquons ´egalement une zone de stabilit´e pour la particule qui se situe au niveau du creux de la courbe c’est `a dire pour des distances comprises entre des rayons com-pris entrer= 10 etr = 38.
Enfin, notons que pour un espace temps de Schwarzschild-(anti)-de Sitter (i.e. Λ<0), on constate une divergence du potentiel effectif vers +∞ pour de tr`es grandes distances.
De la mˆeme mani`ere que dans les cas pr´ec´edents, nous tra¸cons ´egalement les graphiques pour diff´erentes valeurs deL dans le cas d’une particule massive en figure 7.9 et non massive en figure 7.10.
Figure7.8 – Potentiel effectif en m´etrique de Schwarzschild pour une particule massive et une particule non massive
Toujours les mˆemes constations que pr´ecedemment pour la figure 7.9 avec une inflexion qui croˆıt avecL et qui compense la courbure spatio-temporelle.
Enfin, pour la figure 7.10, mˆemes observations que pour les graphes pr´ec´edents avec tou-jours notre stabilisation vers 0.
Figure 7.9 – Potentiel effectif en m´etrique de Schwarzschild pour une particule massive suivant diff´erentes valeurs du param`etre L
Figure7.10 – Potentiel effectif en m´etrique de Schwarzschild pour une particule non massive suivant diff´erentes valeurs du param`etre L