Positionnement DORIS

Com relação ao tema desta pesquisa, lugares geométricos, mais especificamente, a mediatriz e a circunferência, buscou-se suporte no banco de dissertações e teses do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP) e da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE). As dificuldades de aprendizagem em Geometria também foram objetos de exame, já que a Teoria das Situações Didáticas aqui utilizada é uma forma possível para superação das mesmas.

Uma das pesquisas que trata da dificuldade na aprendizagem de geometria é a de Sangiacomo (1996), que investiga a passagem do desenho para figura geométrica, no âmbito histórico e pedagógico. Para autora, a forma como o ensino Geometria é apresentado aos alunos leva-os a se fixarem no traçado material, e não há um momento para os mesmos perceberem que existe uma classe de figuras que representa um objeto geométrico.

Em seus referenciais teóricos, a autora utiliza as definições de Laborde sobre desenho, figura geométrica e objetos geométricos: “o desenho é uma entidade material sobre um suporte, ou seja, um “significante” de um referencial teórico. A figura geométrica consiste na relação entre objeto geométrico (ente teórico) e suas possíveis representações (desenhos)” (LABORDE apud SANGIACOMO, 1996, p. 49).

Segundo Sangiacomo (1996), Parzysz (1988) define “que o desenho é uma representação, um traçado material de objetos e figura é o objeto geométrico que é descrito pelo texto que a define, uma idéia, uma criação” (PARZYSZ apud SANGIACOMO, 1996, p.49). A autora propõe o seguinte esquema para figuras geométricas:

Figura 4 – Formas geométricas Fonte: Sangiacomo, 1996, p. 50

Sangiacomo (1996) constata que a apreensão perceptiva7 é um fator de dificuldades para os alunos e afirma em seu trabalho que os alunos se prendem ao traçado material e não fazem a passagem do desenho para a figura geométrica. Segundo a autora,

a apreensão perceptiva é um fator de dificuldades para o aluno e observa que há um obstáculo epistemológico ao perceber que o aluno tem dificuldade para se livrar de formas e propriedades visualmente reconhecidas no desenho, a primeira vista (Sangiacomo, 1996, p. 70).

Sangiacomo (1996) aplicou suas atividades a um grupo de vinte e cinco (25) alunos da 1ª série do ensino médio de uma escola particular, os quais organizou em duplas e utilizou o programa Cabri para mediar as ações dos sujeitos. A pesquisadora justifica o uso do programa de Geometria Dinâmica, Cabri, como uma ferramenta mediadora com base em Vigotsky, ao afirmar que:

Nossa pesquisa objetivou utilizar o programa Cabri como agente facilitador para a aquisição do significado de classes de figuras, devido a sua possibilidade de deformação da figura na tela conservando os invariantes da classe. O uso do programa Cabri-géomètre nos conduziu de maneira externa a relação do aluno com o objeto de estudo, funcionando assim como instrumento mediador (SANGIACOMO, 1996, p. 141).

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7 _{Forma de interpretar das formas da figura em uma situação geométrica (ALMOULOUD, apud}

Quanto a organização das atividades – a autora trabalha com duplas no computador – a pesquisadora se fundamenta em Vigotsky, no conceito de Zona de Desenvolvimento Proximal8 (ZDP), e assevera que:

Optamos por duplas no computador, com a intenção de trabalhar dentro de suas Zonas de Desenvolvimento Proximal (..). Os alunos discutiam espontaneamente as questões propostas, um sempre tentando convencer o outro de que sua conjectura era a verdadeira (SANGIACOMO, 1996, p. 141).

Do apresentado, Sangiacomo (1996) alerta para o fato dos alunos se prenderem ao desenho, procurando extrair do mesmo a propriedade geométrica, ou seja, não fazem a passagem do desenho para figura geométrica. Observa que, de certa forma, o uso de um programa de Geometria Dinâmica pode chamar atenção dos alunos para a diferença entre desenho e figura geométrica.

Em outra pesquisa, o trabalho de Almeida (2007, p.5) identifica

as possíveis rupturas entre significados e significantes de um conceito, investigando a relação desta ruptura com o fato de não se empregar os princípios relativos a lugar geométrico quando se está resolvendo problemas de construções geométricas.

Para tal afirmação, Almeida (2007) se baseia no fato de que os alunos, ao resolverem problemas de construções geométricas, não utilizam de forma adequada e nem abrangerem os princípios de obtenção de lugares geométricos. Para esta autora, a resolução de um problema de construção geométrica não ocorre em função dos dados ou da mídia e sim, na distinção de propriedades da figura, seguindo uma relação lógica, e para isso se considera os lugares geométricos.

A esse respeito Almeida (2007, p. 83) afirma:

... pode-se constatar que na resolução de uma proposição geométrica, independentemente dos dados, conceitos envolvidos ou mídia utilizada, o _____________

8 _{Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) é “a distância entre o nível de desenvolvimento real, que}

se costuma determinar através da solução independente de problemas, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da solução de problemas sob a orientação de um adulto ou em colaboração com companheiros mais capazes” (VIGOTSKY, 1998, p.112).

procedimento consiste em privilegiar certas propriedades da figura numa relação lógica. Para contemplar essas propriedades são construídos conjuntos de elementos que gozam de uma mesma propriedade que são chamados de ‘lugares geométricos’.

Conforme Almeida (2007), os lugares geométricos são de naturezas distintas, dependem da propriedade que expressam e do espaço em que são considerados. De acordo com esta autora, “estes ‘lugares geométricos’ são de diferentes naturezas, dependentes da propriedade que exprimem e do espaço em que estão sendo considerados” (ALMEIDA, 2007, p 83).

Almeida (2007) conclui que, ao se trabalhar com lugares geométricos, define- se uma relação dos elementos geométricos com determinada propriedade. Afirma que “construir um ‘lugar geométrico’ consiste, portanto, em definir posições de elementos geométricos a partir de certa propriedade” (ALMEIDA, 2007, p.84). Para caracterizar os lugares geométricos, a autora se fundamenta em duas proposições apresentadas por Petersen e Loriggio:

Esses ‘lugares geométricos’ possuem duas características fundamentais: a primeira é que dentre os elementos pertencentes ao conjunto, existem aqueles que têm ou adquirem certas singularidades em função dos elementos envolvidos; e a segunda característica é de que são passiveis de transformações em função da posição entre os dados (ALMEIDA, 2007, p.84).

Outro ponto destacado refere-se aos livros que tratam de construções geométricas e sobre os lugares geométricos. A autora afirma que são escassos, e que os mesmos se limitam a re-edições ou re-impressões de edições antigas. Deste ponto de vista,

A literatura que trata dessas construções geométricas não é vasta, ficando- se muitas vezes restrito a re-edições ou reimpressões de edições antigas ou inserções em capítulos de livros voltados para o desenho técnico. Tomando-se para referência publicações consagradas no meio ou exemplares que apresentam propostas metodológicas inovadoras, constata- se que na abordagem dos conteúdos, a sistemática adotada, geralmente, segue uma orientação que tem para princípio um estudo baseado em definições, onde são enunciados elementos e propriedades do modelo, seguido com a apresentação de problemas (ALMEIDA, 2007, p.88).

Já com relação as publicações que tratam especificamente de lugares geométricos, estas apenas definem a propriedade e valorizam a procedimentos de construção. Relativo a isto Almeida (2007, p.88) afirma que

No tocante a noção sobre ‘lugar geométrico’, na maioria das publicações, verifica-se que o termo e o seu significado não são devidamente explorados, o que se encontra são definições que expressam as propriedades destes lugares geométricos, constatando-se uma tendência a favorecer o seu aspecto construtivo e não o relacionamento da propriedade com o modelo geométrico.

Para fundamentar sua afirmação, a autora argumenta que os diferentes autores apresentam formas distintas de construção para o mesmo problema, e que os mesmos não indicam as relações existentes nos diferentes métodos utilizados. Relativo a isto, a autora assegura que “tal afirmativa se respalda no fato dos autores apresentarem diferentes construções para um mesmo problema, sem contudo apontarem as relações existentes nos diferentes métodos adotados” (ALMEIDA, 2007, p.89).

Quanto às conclusões de seu trabalho, Almeida (2007) indica, entre elas, as dificuldades encontradas pelos sujeitos na resolução de problemas de construção com lugares geométricos. A autora, com base nos protocolos obtidos, observou que:

... os erros encontrados têm a natureza essencialmente voltada para uma concepção baseada em modelos rígidos ou prototípicos. Caracterizados por estratégias que valorizavam certas especificidades, como: propriedades singulares que eram assumidas como preponderante, reprodução de situações já vivenciadas, privilegiar elementos em detrimentos de outros, influências advindas do modelo a ser construído ou da disposição dos dados (ALMEIDA, 2007, p 304).

Observou, também que os sujeitos não incorporavam em suas soluções as propriedades dos lugares geométricos. A isto a pesquisadora salienta:

Demonstrando que as estratégias montadas na resolução dos problemas não acionavam esquemas direcionados para as propriedades geométricas envolvidas. Consequentemente, os lugares geométricos que formam o conjunto do objeto a ser construído não consistiam o cerne da questão, resultando numa ruptura entre significados e significantes dos conceitos, por

eles serem tratados de forma dissociada e desarticulada (ALMEIDA, 2007, 304-305).

Com base nos dados de suas atividades, Almeida (2007) identificou que os indivíduos não diferenciam desenho de figura geométrica. O mesmo foi observado por Sangiacomo (1996), que, além disso, observou que os mesmos procuram associar a um modelo que lhes respondam o que é pedido na questão proposta. A esse respeito, Almeida (2007, p. 305) diz

Não existe clareza, por parte de alguns sujeitos, sobre a distinção entre desenho e figura, pois algumas respostas foram feitas com base, exclusivamente, na reprodução de um modelo que atendesse ao solicitado, isto é, apresentavam uma solução sem aplicar as propriedades pertinentes, que eram validadas pela configuração final que consistia em um desenho que tinha sua validade pelo fato de ter sido feito com os instrumentos de desenho. .

Almeida (2007, p. 306) identificou, também, que a visualização teve uma forte influência sob as escolhas dos traçados ao asseverar que “a visualização que se fazia sobre o modelo a ser construído induzia nas escolhas, de tal modo que os traçados eram direcionados para obter a solução que se havia previsto”. Com relação as resoluções apresentadas das atividades, a pesquisadora observou a falta de uma avaliação crítica do resultado obtido por parte dos participantes. Com relação a isto Almeida (2007, p. 307) assegura que

Não se identificou competência envolvendo uma análise crítica sobre os dados e as ações executadas; as respostas apresentadas nas resoluções das atividades eram obtidas como consequência de passos executados nos traçados e não como resultado de um planejamento em que foram levantadas as variáveis.

Outra dificuldade dos sujeitos participantes da pesquisa foi a de se expressarem em sua língua materna, bem como em linguagem matemática, e de construírem argumentações convincentes. Com relação a isso, Almeida (2007, p. 311) deixa claro sobre

... a dificuldade em verbalizar e/ou organizar os argumentos que justificavam as ações feitas nas estratégias de resolução dos problemas. Pelas justificativas apresentadas, constata-se que, praticamente todos os sujeitos envolvidos na pesquisa, independentemente do período em que se encontravam no curso, não conseguiram elaborar um argumento que justifique as estratégias adotadas na resolução de um problema; limitavam- se a descrever a ordem dos traçados feitos.

A respeito de construções geométricas, a pesquisa de Araújo (2007) descreve as operações feitas com os instrumentos régua e compasso para obter pontos, retas e círculos, conforme Araújo (2007, p. 19):

Qualquer construção geométrica com régua e compasso obedece a uma sequência de etapas bem característica e pode envolver ao menos uma das etapas seguintes: (a) unir dois pontos por uma reta; (b) achar o ponto de intersecção de duas retas; (c) desenhar um círculo com um raio dado em torno de um ponto; (d) encontrar os pontos de intersecção entre dois círculos ou entre um círculo e uma reta. Uma construção geométrica consiste, portanto, em encontrar elementos que podem ser pontos, retas ou círculos.

Outro ponto observado na pesquisa Araújo (2007) diz respeito a utilização de um ambiente de Geometria Dinâmica. Nas atividades propostas pelo autor, o mesmo utiliza o programa Cabri e observa que, neste tipo de ambiente, uma atividade que envolva construções geométricas está integrada à função de arrastar, como uma forma de justificar a solução da construção. A esse respeito Araújo (2007, p. 62) assevera:

É que no ambiente do Cabri uma atividade envolvendo uma construção está intimamente associada, integrada com a função arrastar e, neste caso, a necessidade de justificar a solução advém da necessidade de validação da própria construção, a ponto de explicar porque funciona ou prever que vai funcionar.

Para fundamentar sua afirmativa Araújo (2007), cita Mariotti: “A presença do modo arrastar introduz um critério específico de validação para a solução de problemas de construção: uma solução é válida se, e somente se, a figura é estável sob o teste do arrastar” (MARIOTTI, apud ARAÚJO, 2007, p. 62).

As atividades desta pesquisa foram realizadas em grupos, pois se pretendia que os alunos trocassem informações e agissem em colaboração na construção de seu conhecimento, explicando, debatendo ou validando suas idéias com membros da sua equipe ou outros grupos. Assim, buscou-se mais subsídios sobre como as atividades em equipes podem representar uma alternativa para que os alunos construam seu conhecimento. Neste sentido, encontrou-se, nos fundamentos teóricos da pesquisa de Santos (2007), elementos sobre o trabalho colaborativo. Santos (2007, p. 32) fundamenta sua pesquisa nas idéias de mediação e ZDP, e é com base no conceito de ZDP que afirma:

É fundamental o caráter da relação entre os processos em maturação e aqueles já adquiridos, bem como a relação entre o que o indivíduo pode fazer independentemente e em colaboração com os outros, admitindo que ele pode adquirir mais em colaboração, com ajuda ou apoio, do que individualmente.

Como alternativa à forma tradicional de uma aula, na qual os alunos ficam quase que impedidos de falar, ou seja, pouco interagem, Santos (2007, p. 35) ressalta a importância da aprendizagem colaborativa, ao afirmar que

A aprendizagem colaborativa é um processo importante para o compartilhamento de um objetivo comum, e sua metodologia envolve a interação, que deve romper a lógica de ensino tradicional para uma prática mais inovadora, promovendo uma relação afetiva com o conhecimento, de forma reflexiva e mais autônoma.

Com base nos conceitos propostos por Cord, Harasim, Dillembourg e Larocque, sobre aprendizagem colaborativa, Santos (2007, p.37) propõe dois postulados que caracterizam tal aprendizagem. Conforme este autor:

..nesses diversos conceitos, que os termos "cooperação" e "colaboração" designam atividades em grupo que visam a um objetivo em comum. A diferença mais fundamental está na regularidade da troca, no trabalho em conjunto, na constância da coordenação.

Ambos os conceitos derivam de dois postulados principais: de um lado, a rejeição ao autoritarismo, à condução pedagógica com motivação hierárquica, unilateral; de outro, trata-se de concretizar uma socialização não só pela aprendizagem, mas, principalmente, na aprendizagem.

Jesus (2008), em sua pesquisa, desenvolve uma sequência de atividades com um grupo de professores, no qual os participantes constroem a definição de mediatriz de um segmento. Observa que os problemas de geometria, geralmente, valorizam a figura e que os dados inerentes a mesma são identificados em língua natural. O autor propõe questões em língua natural para posterior conversão em linguagem figural. A esse respeito, Jesus (2008, p.32) afirma:

No ensino de Geometria, geralmente, se privilegiam questões no registro figural, que exigem apenas um reconhecimento dos dados em língua natural, seguido de algum tratamento, em detrimento de se propor questões no registro da língua natural, para posterior conversão para o registro figural e, por último, o tratamento.

Jesus (2008, p.35) destaca que de pode interpretar a mediatriz sob diferentes pontos de vista9. Segundo o autor, pode-se entender de diferentes formas:

• A mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio desse segmento e é perpendicular a ele;

• A mediatriz de um segmento é o conjunto de todos os pontos que equidistam das extremidades desse segmento.

Nesta pesquisa, apresentou-se aos alunos atividades relativas a cada um dos pontos de vistas da mediatriz para que eles pudessem visualizar as propriedades inerentes à mesma, como o ponto médio e o perpendicularismo. Outra proposta de atividade levada adiante nesta pesquisa foi constituída uma atividade na qual o aluno teria a possibilidade de perceber a mediatriz como um lugar geométrico, ou seja, o lugar dos pontos que equidistam das extremidades de um segmento. Quanto aos resultados obtidos em sua pesquisa, Jesus (2008) destaca que o processo de construção da definição de mediatriz sob pontos de vistas distintos foi determinante para que os participantes alcançassem um melhor entendimento deste tema. Relativo a isto, Jesus (2008, p. 198) sustenta que:

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9 _{Ponto de vista: Rogalski (1995 apud ALMOULOUD, 2007) usa esse termo para designar uma}

maneira de entrar em um problema matemático, de olhar (interpretar), de fazê-lo funcionar ou, eventualmente, definir um objeto matemático. Para a resolução de um determinado problema, um “ponto de vista” pode apresentar vantagens em relação a outro.

Outro ponto de destaque se deu ao trabalharmos com a construção da definição de mediatriz de um segmento sob “pontos de vista” diferentes, o que contribuiu significativamente para ampliação e/ou construção do conceito desse objeto matemático.

As pesquisas aqui levantadas forneceram subsídios para desenvolver os conceitos matemáticos que foram propostos aos alunos, sujeitos desta pesquisa – no caso, os lugares geométricos, especificamente, a circunferência e a mediatriz. Além disso, com base nas informações aqui observadas, analisaram-se as possíveis dificuldades enfrentadas pelos participantes no desenvolvimento das atividades.