Position du problème

Hs+1/2

Néanmoins, on peut monter que :

∂

_t

kw

_R

(x, t)k

2 ˙ Hs uloc

≤Ckw

_R

k

2 Hs uloc

+kw

_R

k

4 ˙ Hs uloc

+C

Ce qui implique un contrôle local de la solution. Plus précisément, on démontre

le théorème d’existence locale suivant :

Théorème 5. Supposons que 0≤s <1/4, et θ

0

∈Λ

^s

( ˙H

_uloc^s

)∩L

^∞

, alors l’équation

(SQG) possède au moins une solution faible locale θ vérifiant pour tout

T < ^C(kθ

₀

k

∞

1 +kw

0,R

k

2 ˙ H^s_uloc

on a :

θ∈(L

^∞

([0, T], L

²

))

uloc

∩(L

²_t

([0, T],H^˙

^1/2

))

uloc

et

w∈(L

^∞

([0, T],H^˙

^s

))

_uloc

∩(L

²_t

([0, T],H^˙

^s+1/2

))

_uloc

.

De plus, pour tout t≤T, la solution w vérifie l’inégalité d’énergie :

kw

_R

(x, T)k

2 ˙ Hs uloc

≤ kw

₀

k

2 ˙ Hs uloc

+C

Z

T 0

kwk

2 Hs uloc

+kwk

4 ˙ Hs uloc

+C ds

où C > 0 est une constante qui ne dépend que de kθ

₀

k

_L∞(_R2)

et kw

₀

k

_H˙s uloc(_R2)

.

3.2 Démonstration du théorème principal

3.2.1 Position du problème

Avant de commencer la démonstration du théorème principal, rappelons que

l’espace H

_uloc^s

(_R

²

) est défini par la norme

sup

φ∈Bφ

Z

φ|Λ

s

θ(x, t)|

2

2 ^+φ

|θ(x, t)|

2

2 ^dx ≡ sup

φ∈Bφ

Aφ(θ)

Nous utiliserons aussi (une seule fois) la norme équivalente suivante

kθk

2 ˙ Hs uloc

= sup

k∈_Z2

Z

|Λ

^s

(φ

₀

(x−k)θ(x, t))|

2

dx

CHAPITRE 3 Démonstration du théorème principal

Nous reprenons le modèle tronqué avec données initiales tronquées et régularisées

suivant

(SQG)

R,ε

:











∂twR, = Λ

^−s

∇

· Λ

^s

wR, R

^⊥

Λ

^s

wR,−ΛwR,

∇. R

^⊥

Λ

^s

w

_R,

= 0

θ

_0,R,ε

= Λ

^s

(w

₀

χ

_R

)∗ρ

_ε

Où χR est une fonction positive de classeC

^∞

(_R

²

) telle que, pour R >0,

(

χ

_R

(x) = 1 si|x| ≤R

χ

_R

(x) = 0 si|x| ≥2R

Et la solution tronquée θ

_R

est définie par

θ

_R

= Λ

^s

w

_R

= Λ

^s

(wχ

_R

)

La condition sur la donnée initiale est la même qu’au chapitre 1, c’est-à-dire :

θ

_0,R,

= Λ

^s

(wχ

_R

)∈Λ

^s

(H

^s

(_R

²

))∩L

^∞

(_R

²

)⊂L

²

(_R

²

)∩L

^∞

(_R

²

)

donc la donnée initiale tronquée et régularisée vérifie

θ

_0,R,ε

∈ ^\

k≥0

H

^k

⊂H

²

⊂B^˙

⁰_∞,1

(_R

²

)

Remarque 8.Dans la suite, nous allons utiliser une méthode d’énergie pour

démon-trer notre résultat d’existence locale, nous avons déjà obtenu des bornes uniformes

pour la donnée initiale, celle-ci sont valables pour tout 0 < s < 1, ces bornes

uni-formes fournissent la compacité nécessaire à un passage à la limite faible lorsque

R → et → 0. Nous ne traiterons donc pas les bornes uniformes pour la donnée

initiale.

Comme précédemment, le résultat d’existence globale obtenu par Abidi et Hmidi

[AH] et le théorème de Resnick [Res] permettent d’affirmer qu’il existe au moins une

solution faible w

_R

de l’équation tronquée et régularisée (SQG)

_R,ε

vérifiant

θ

_R

∈ C(_R+; ˙B

_∞⁰ _,1

)∩L

¹_loc

(_R+; ˙B

_∞¹_,1

)∩L

^∞

([0, T], L

²

)∩L

²

([0, T], H

^1/2

), ∀T >0

Nous avons vu que l’équation a bien un sens dans l’espacew∈L

^∞

([0, T],H^˙

_uloc^s

(_R

²

))

et Λ

^s

w ∈ L

^∞

([0, T], L

^∞

(_R

²

)) où T > 0. Nous reprenons le calcul de ∂

_t

A

_φ

(w

_R,

)

ef-fectué au chapitre précédent :

CHAPITRE 3 Démonstration du théorème principal

∂

_t

A

_φ

(w

_R,

) +

Z

φΛ

^s

w

_R,

Λ

^s+1

w

_R,

dx=−

Z

w

_R,

φΛ

^−s

∇.(uΛ

^s

w

_R,

) dx

−

Z

φΛ

^s

w

_R,

∇.(u

_R,

Λ

^s

w

_R,

)dx−

Z

w

_R,

φΛw

_R,

dx

Les deux derniers termes apparaissant à droite de la dernière égalité se contrôlent

tous par Ckw

_R,

k

²_H˙s

uloc(_R2)

. Concernant le premier terme de droite, on fait une

inté-gration par parties

−

Z

w

_R,

φΛ

^−s

∇.(uΛ

^s

w

_R,

) dx=−

Z

Λ

^−s

∇(w

_R,

φ)u

_R,

Λ

^s

w

_R,

dx

Dans le cas où 1/4≤ s ≤ 1, on introduit une fonction positive ψ ∈ D valant 1 sur

un voisinage du support deφ et 0 sursuppφ+ 2(cette fonctionψ sera utilisée dans

tout ce chapitre), l’inégalité de Hölder permet d’écrire

−

Z

Λ

^−s

∇(w

_R,

φ)ψu

_R,

Λ

^s

w

_R,

dx≤ kφw

_R,

k

_H˙1−s

kθ

_R

k

_L∞

kψu

_R

k

_L2

Malheureusement, on ne peut clairement pas écrire cela si 0< s <1/4 étant donné

que l’on contrôle φw

_R

qu’en norme L

²

H^˙

^s/1/2

et que l’on dérive (1−s) fois.

Clas-siquement, il est naturel de vouloir partager les dérivées en donnant à chacun des

termes le nombre de dérivées souhaitées. Dans notre cas, on aimerait donner moins

de dérivées au terme w

_R,

φ du fait que w

_R,

φ ∈ L

²

H^˙

^s+1/2

. L’idéal serait donc de

pouvoir écrire

−

Z

wR,φΛ

^−s

∇.(ψuΛ

^s

wR,)dx=−

Z

Λ

^s+12

(wR,φ)Λ

¹2−2s

(ψuΛ

^s

wR,)dx

Et ensuite utiliser l’inégalité suivante (où ψ =ψ

²₁

) :

kψu

_R,

θ

_R,

k

H¹2^−2s

.kψ

₁

u

_R,

k

_L∞

kψ

₁

θ

_R,

k

H¹2^−2s

+kψ

₁

θ

_R,

k

_L∞

kψ

₁

u

_R,

k

H¹2^−2s

(3.1)

Remarque 9. Comme nous allons le voir plus bas, le terme restant (i.e celui en

1−ψ) se traite facilement et ne pose aucun probleme. Ceci est dû au fait que le

noyau de ∇Λ

^s

est intégrable loin de l’origine.

Il est facile de voir que l’inégalité (3.1) est inexploitable si l’on souhaite obtenir

des estimations indépendantes de R, étant donné que les transformées de Riesz ne

sont pas bornées dans L

^∞

. Cependant, on va montrer que l’on peut quand même

contrôler le produit φu

_R

θ

_R

dans un espace de Sobolev de régularité positive en

utilisant une variante de l’inégalité (3.1). En fait, on peut montrer que φu

_R

θ

_R

se

contrôle dans un espace de Sobolev de régularité positive à condition de perdre un

peu sur le contrôle de φu

_R

. L’idée consiste à remplacer la norme L

^∞

de φu

_R

par

la norme d’espace de Besov B

⁻_∞^δ_,∞

deφu

_R

, où δ > 0. Pour cela, il faudrait d’abord

commencer par montrer qu’il existe δ > 0 tel que φu

_R

∈ B

_∞^−δ_,∞

. C’est l’objet du

prochain lemme,

CHAPITRE 3 Démonstration du théorème principal

Lemme 12. Pour tout φ ∈B

_φ

, il existe δ >0 tel que φu

_R

∈B^˙

_∞^−δ_,∞

.

Preuve. Comme φu

_R

∈ H^˙

^1/2

alors par Bernstein φu

_R

∈ B^˙

₂⁻_,∞^1/2

en utilisant une

nouvelle fois Bernstein on aB^˙

₂⁻_,∞^1/2

⊂B^˙

_∞⁻¹_,∞^/2

. D’autre part, commeφu

_R

∈B

_∞⁰ _,∞

alors

par interpolationφu

_R

∈B^˙

_∞^−δ_,∞

pour tout0< δ <1/2.

On divise ensuite l’intégrale en deux parties

−

Z

Λ

^−s

∇(w

_R,

φ)u

_R,

Λ

^s

w

_R,

dx = −

Z

Λ

^−s

∇(w

_R,

φ)(1−ψ)u

_R,

Λ

^s

w

_R,

dx

−

Z

Λ

^−s

∇(w

_R,

φ)ψu

_R,

Λ

^s

w

_R,

dx

Pour la première intégrale, on intégre par parties puis on utilise le contrôle L

²_uloc

de uR associé à l’intégrabilité du noyau de convolution l’opérateur Λ

^−s

∇ loin de

l’origine et enfin le fait queθ ∈L

^∞

pour obtenir que

−

Z

Λ

^−s

∇(w

_R,

φ)(1−ψ)u

_R,

Λ

^s

w

_R,

dx = −

Z

w

_R,

φΛ

^−s

∇((1−ψ)u

_R,

Λ

^s

w

_R,

)dx

≤ kθ

₀

k

_L∞

kw

_R,

φk

2 L2

Le contrôle de la seconde intégrale est plus technique, on commence par écrire

ce terme de la façon suivante, il existeσ > 0:

−

Z

Λ

^−s

∇(w

_R,

φ)ψu

_R,

Λ

^s

w

_R,

dx = −

Z

w

_R,

φΛ

^σ

(ψ

₁

u

_R,

ψ

₁

Λ

^s

w

_R,

) dx

≤ CkwR,φk

_L2

kψuRθR,k

Hσ

Afin d’alléger les expressions, nous omettrons d’écrire la dépendance en dans

la suite. L’inégalité dont on fera usage en section 2 est la suivante, elle permettra

d’estimer le terme de la dernière inégalité ci-dessus, elle sera donc centrale dans

l’obtention de l’inégalité d’énergie :

Lemme 13. Pour toutσ >0 etδ >0vérifiant σ+δ ≤1/2, on aψ

1

θR∈H^˙

^σ+δ

∩L

^∞

etψ

₁

u

_R

∈H^˙

^σ

∩B

_∞^−δ_,∞

. De plus, le produit vérifie ψu

_R

θ ∈H^˙

^σ

ainsi que l’estimation :

kψu

_R

θ

_R

k

_Hσ

≤ kψ

₁

u

_R

k

_B−δ

∞,∞

kψ

₁

θ

_R

k

_Hσ+δ

+kψ

₁

θ

_R

k

_L∞

kψ

₁

θ

_R

k

_H˙σ

Preuve.Le premier point n’est rien d’autre que le lemme 11. La démonstration de la

deuxième partie du lemma repose sur la décomposition de Littlewood Paley pour les

distributions ayant une régularité Sobolev positive. D’après le théorème 4.1 p. 34 de

[PGLR], siE un espace de Banach de distributions dont la norme est invariante par

translation (au sens de la définition 4.1 p. 31, [PGLR] ) alors pour tout 1≤q ≤ ∞,

pour tout couple (σ, τ)vérifiant −σ < τ <0 et σ >0 l’opérateur de multiplication

CHAPITRE 3 L’inégalité d’énergie

ponctuelle est un opérateur bilinéaire borné de l’espace(B

_q,E^κ

∩B

_∞^τ _,∞

)×(B

_q,E^κ

∩B

^τ_∞,∞

)

dans l’espace B

_q,E^κ+τ

où, pour tout κ

0

< κ < κ

1

et σ = (1−η)κ

0

+ηκ

1

pour tout

η ∈(0,1), l’espace B

_q,E^κ+τ

est défini par interpolation complexe

B

_q,E^s

= [H

^κ0

E

, H

^κ1

E

]

_θ,q

où l’espace H

_E^κ

est l’espace (Id−∆)

^−κ2

E muni de la norme

kfk

_Hκ

E

=k(Id−∆)

^κ2

fk

_E

Autrement dit, pour tout couple de fonction (f, g) ∈ (B

_q,E^κ

∩B

_∞^τ _,∞

)

²

et pour tout

1≤q≤ ∞ on a

kf gk

_Bκ+τ q,E

≤ kfk

_Bκ q,E

kgk

_Bτ ∞,∞

+kfk

_Bτ ∞,∞

kgk

_Bκ q,E

En particulier, pour E = L

²

et q = 2 et en remarquant que kfk

_B−τ

∞,∞

≤ kfk

_L∞

on

en déduit le lemme en prenant κ=σ+δ etτ =−δ.

Dans le document Etude de la régularité des solutions faibles d’énergie infinie d’une équation de transport non locale (Page 55-59)