Portée des interactions élastiques

Dans ce qui suit, on s’intéresse à la déformation uniquement dans une inclusion qu’on a placée au centre du domaine et dont on augmente le voisinage au fur et à mesure. Les calculs sont poussés jusqu’à un voisinage de 827 inclusions (le rapport entre le diamètre d’une inclusion et le diamètre du plus petit domaine qui contient toutes les inclusions est de l’ordre de 1{50). On considère les sollicitations sphérique E e₁b e₁ e₂b e₂ et déviatorique E e₁bse₂.

Figure 1.7 – Les inclusions sont plongées dans une matrice de rigidité C0. Le voisinage de taille

r comprend toutes les inclusions se trouvant à l’intérieur d’une distance r du centre de l’inclusion étudiée.

La courbe 1.8 représente le suivi de la partie sphérique de la déformation dans l’inclusion centrale en fonction de la taille du voisinage r, la sollicitation étant sphérique également. La figure 1.9 présente l’évolution de la déformation de cisaillement de l’inclusion centrale en fonction de la taille du voisinage r, le domaine étant sous sollicitation déviatorique. Le premier point de ces courbes correspond à une inclusion plongée dans un milieu infini. La déformation de cette inclusion (notée α) est donnée par la solution du problème de l’inhomogénéité d’Eshelby6 (Eshelby, 1957) :

εα rI Pα:pCα
C0qs
1: E8 (1.42)

La déformation εα est influencée par la suite par l’ajout des voisines. Comme attendu, l’influence

des inclusions les plus proches est plus grande que celles qui sont plus éloignées, ce qui est vérifié ici par l’existence d’une asymptote sur ε_α pour les grandes distances r. On remarque par ailleurs

40 CHAPITRE 1. LA MÉTHODE DE L’INCLUSION ÉQUIVALENTE 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Distance r{a 0.0138 0.0139 0.0140 0.0141 0.0142 0.0143 0.0144 0.0145 0.0146 0.0147 Défo rmation tr ε{ tr E 8 Inclusion Équivalente Éléments Finis

Figure 1.8 – Déformation dans l’inclusion centrale en fonction de la taille du voisinage r. Courbes provenant du calcul aux éléments finis et de la méthode de l’inclusion équivalente.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Distance r{a 0.0140 0.0145 0.0150 0.0155 0.0160 0.0165 0.0170 0.0175 0.0180 Défo rmation ε12 {E 8 12 Inclusion Équivalente Éléments Finis

Figure 1.9 – Déformation déviatorique dans l’inclusion centrale en fonction de la taille du voisinage r. Courbes de la méthode de l’inclusion équivalente et des éléments finis sur grand domaine.

1.3. FORCES ET FAIBLESSES DE LA MÉTHODE DE L’INCLUSION ÉQUIVALENTE 41

que l’asymptote n’est atteinte que pour des distances très grandes [ (r¡ 20a pour la sollicitation sphérique et r¡ 10a pour la sollicitation déviatorique). ] (r ¡ 20a). On rappelle qu’une inclusion n’est prise en compte que quand elle est complètement à l’intérieur du domaine de diamètre 2r, comme le montre la figure 1.7. Ainsi, le volume occupé par les inclusions évolue par paliers, ce qui explique la forte variation de la déformation au début des courbes.

On note sur les deux graphiques 1.8 et 1.9 un écart d’environ 5% entre les courbes provenant des calculs aux éléments finis et par la méthode de l’inclusion équivalente. Comme on l’a fait remarquer précédemment, cet écart provient du caractère approché de la méthode (polarisations uniformes par inclusion) et des approximations effectuées (remplacement du domaine infini par un domaine fini pour les calculs aux éléments finis).

Que ce soit dans le cas de chargement sphérique ou déviatorique, on remarque une simili- tude entre les courbes provenant des calculs aux éléments finis et de la méthode de l’inclusion équivalente. Bien qu’il y ait un écart, les courbes des deux calculs varient de la même manière et l’écart se stabilise à peine le cas du problème d’Eshelby dépassé. Les deux courbes finissent par atteindre une asymptote. Le point où cette asymptote est atteinte correspond à la portée des interactions élastiques.

Comme les courbes ne sont pas lisses, cette portée n’est pas déterminée d’une manière exacte. Il est en plus plus judicieux de la déterminer sur un grand nombre de réalisations. On attire également l’attention sur le fait que, la plupart du temps, la déformation sous un chargement déviatorique atteint plus vite l’asymptote que sous un chargement sphérique. En outre, les portées trouvées pour les calculs locaux sont plus grandes que les tailles des VES utilisés en pratique pour la détermination des propriétés macroscopiques.

Pour conclure, la méthode de l’inclusion équivalente à l’ordre 0 n’est pas quantitative sur le niveau de déformation, mais sur la portée des interactions élastiques. [ Elle donne, outre la détermination d’une borne ou d’une estimation des propriétés macroscopiques, la possibilité de quantifier un aspect d’interaction entre les inclusions avec beaucoup moins de degrés de libertés que la méthode des éléments finis. ] Elle donne, outre la détermination d’une borne ou d’une estimation des propriétés macroscopiques, la possibilité de quantifier un aspect d’interaction entre les inclusions et déterminer l’hétérogénéité des champs mécaniques avec beaucoup moins de degrés de liberté que la méthode des éléments finis. La méthode de l’inclusion équivalente est utilisée d’une manière pratique pour des microstructures à inclusions sphériques. La prise en compte de l’hétérogénéité nécessite la possibilité de faire varier le rapport d’aspect des inclusions. Ceci est l’objectif du chapitre suivant qui s’intéresse à l’extension de la méthode de l’inclusion équivalente à des inclusions ellipsoïdales.

Chapitre 2

Extension de la méthode de l’inclusion

équivalente aux inclusions ellipsoïdales

Dans sa version la plus simple, la méthode de l’inclusion équivalente consiste à résoudre la forme variationnelle de l’équation de Lippmann–Schwinger sur le sous-espace des champs de polarisations constantes par inclusion. Une extension naturelle de cette méthode consiste à donner une forme polynômiale aux polarisations dans les inclusions. Cette extension permet d’améliorer la borne (ou l’estimation) calculée par la méthode. L’amélioration est d’autant plus grande que le degré des polynômes est élevé (Brisard et al., 2014).

Une autre façon d’enrichir la méthode de l’inclusion équivalente consiste à considérer des inclusions non plus sphériques, mais ellipsoïdales. Cela nécessite de calculer le tenseur de Hill et les tenseurs d’influence associés à ce type d’inclusions. Le premier est connu analytiquement dans le cas des ellipsoïdes de révolution (Eshelby, 1957). Pour un ellipsoïde quelconque, il est calculé numériquement. Le calcul du tenseur d’influence de deux ellipsoïdes est l’objet du présent chapitre. Deux approches ont été utilisées pour aborder ce calcul :

– Développement multipolaire (Brisard et al., 2013b)

– Intégration numérique dans l’espace de Fourier (Berveiller et al., 1987)

Ces deux approches sont développées ci-après. Chacune d’entre elles a des avantages et des limites qui rendent l’application de la méthode de l’inclusion équivalente à des inclusions ellipsoïdales plus complexe que dans le cas de sphères. D’un point de vue pratique, on utilisera l’approche par intégration dans l’espace de Fourier pour des inclusions rapprochées et on remplacera le tenseur d’influence d’inclusions éloignées par les termes dominants de son développement multipolaire.

2.1

Tenseur d’influence de deux ellipsoïdes

Comme on l’a vu au chapitre 1, l’assemblage de la matrice du système linéaire résolu dans le cadre de la méthode de l’inclusion équivalente nécessite de calculer les tenseurs d’influence pour chaque paire d’inclusions. Ces derniers sont définis par le biais de l’opérateur de Green 8₀ . Leur

44 CHAPITRE 2. EXTENSION AUX INCLUSIONS ELLIPSOÏDALES

expression analytique est connue pour des inclusions sphériques (Berveiller et al., 1987; Brisard et al., 2014). Dans ce qui suit, nous allons définir les paramètres géométriques nécessaires au calcul de ce tenseur pour des inclusions ellipsoïdales.

Le calcul du tenseur d’influence de deux sphères s’effectue naturellement dans un repère associé aux centres (c’est-à-dire dans lequel la troisième direction correspond à l’axe passant par les centres des deux inclusions). Cela permet de prendre en compte la symétrie de révolution du problème. Dans le cas d’inclusions ellipsoïdales, il n’y a en général pas de symétrie de révolution. Notre expérience montre qu’il est alors plus commode de se placer dans un repère lié aux axes propres de l’une des inclusions.

On considère donc deux inclusions ellipsoïdales α et β occupant les domaines Ωα et Ωβ.

Les inclusions sont centrées en x_α et x_β. Les rayons des ellipsoïdes seront notés respectivement aα, bα, cα et aβ, bβ, cβ.

Figure 2.1 – Schéma géométrique du problème de deux ellipsoïdes

Remarque. Pour le calcul des tenseurs d’influence, les deux méthodes présentées ci-après sont applicables à tout type d’ellipsoïde. Dans un souci de simplification, nous nous restreindrons dans les applications au cas d’ellipsoïdes de révolution1. Les axes des inclusions sont orientés dans ce cas par les vecteurs d_α et d_β, correspondant respectivement aux directions des rayons polaires.

On note R RN  x_β
x_α le vecteur d’origine x_α et d’extrémité x_β, tel que N  R_{||R||et 1. Dans ce cas, aα (resp. cα) désignera le rayon polaire (resp. équatorial) de l’inclusion α.