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A Didática da Matemática tem um papel relevante na busca de novas alternativas de ensino.

A pesquisa em Didática da Matemática se propõe, como primeiro grande foco de interesse, a entender melhor os processos didáticos e os fenômenos que estes originam, tanto aqueles que acontecem na aula como fora dela. Parte-se do princípio de que unicamente a partir de uma melhor

compreensão desses processos é que poderão ser propostas ações e meios concretos para melhorar o estudo da Matemática. Do mesmo modo que devemos entender melhor o funcionamento do corpo humano para avançar em medicina, também devemos entender melhor o que é um processo de estudo, para poder dar respostas sólidas às dificuldades didáticas com as quais se enfrentam, dia após dia, todos aqueles que estudam Matemática, ou que ajudam outros a estudá-la – sejam alunos, professores, pais ou profissionais de outras áreas. (CHEVALLARD, 2001, p.58).

Um dos trabalhos mais interessantes realizados pelo professor tem sido o de escolher ou organizar seqüências de atividades que explorem um domínio do conhecimento. Estas seqüências de ensino aparecem, também, como um dos principais objetos da Engenharia Didática.

Para Brousseau (1986, apud Douady, 1990) uma das finalidades das Escolas é organizar, em condições normais para os alunos e aceitáveis para os professores, a preparação de protocolos de experiências, a observação de fenômenos didáticos, a coleta e tratamento de numerosas informações, de toda sorte, sobre o comportamento dos alunos em situação escolar durante um período.

A Engenharia Didática vista como metodologia de pesquisa, caracteriza-se por um esquema experimental baseado em realizações didáticas em classe, isto é, sobre a concepção, a realização, a observação e a análise de seqüências de ensino - seqüências didáticas (ARTIGUE, 1988).

Para a mesma autora o procedimento experimental da engenharia didática é composto de quatro fases:

1. Análise preliminar: Caracteriza-se pelo levantamento das concepções envolvidas, que buscam referências teóricas que fundamentem a pesquisa.

2. Concepção e Análise a priori: ponto-chave da metodologia. Essa etapa tem como objetivo elaborar seqüências pertinentes de aprendizagem, tendo como meta, ao mesmo tempo, os alunos e o problema didático proposto. Apresenta vários componentes, tais como: estudo epistemológico, o significado matemático (objeto de estudo), levantamento de condutas dos alunos. Nesta etapa atua-se sobre um determinado número de variáveis pertinentes ao assunto a ser pesquisado tendo como objetivo determinar em que as escolhas das variáveis possibilitam controlar

o comportamento dos estudantes. Compreende um aspecto descritivo e previsões possíveis do comportamento dos alunos.

3. Experimentação: fase em que se aplica a seqüência didática a uma determinada população de estudantes. Nesta fase estão presentes as elaborações, realizações das seqüências didáticas construídas e a observação dos alunos, do que diz ou faz o professor, e quando. Quais são as regras que norteiam as interações entre os diferentes atores na turma. Acontece a institucionalização dos conceitos trabalhados nas atividades.

4. Análise a posteoriori : corresponde à análise do conjunto dos dados obtidos na fase da experimentação e às observações realizadas durante a aplicação da seqüência. O confronto das análises a priori e a posteriori fundamenta a validação das hipóteses formuladas.

Na área da Didática, o termo Engenharia visa introduzir o campo de ação prática ao domínio teórico da mesma. A Engenharia Didática confere à Didática o estudo epistemológico de ciência de ação e não, unicamente, de ciência do conhecimento; atenta às ciências da comunicação, susceptíveis de ajudar o professor a se comunicar com seus alunos, atenta às tecnologias da educação auxiliares às atividades pedagógicas e às progressões e implementações de escolhas didáticas. (DEVELAY, 1992, apud ROSA, 1998, p.88).

A Engenharia Didática, ainda que nova, já ganhou inúmeros adeptos e vem sendo aplicada ao estudo de casos, especialmente no campo da Matemática. Rosa (1998) cita alguns destes, como Grenier (1988), Bautier (1988), Lemonidis (1991), Vergnaud (1987). Podemos ainda citar os trabalhos de Carvalho (2001), Coulange (2000), Neyret (1992) entre outros.

Nesse contexto procuramos, inicialmente, realizar a etapa preliminar que se caracterizou pela investigação de como o nosso objeto de estudo, o limite, foi formalizado ao longo da história, e como ele é apresentado nos livros didáticos.

De acordo com Barreto (1998) se as etapas da evolução do homem estivessem embutidas num livro, com certeza o método dos limites seria uma das páginas mais belas, onde a inteligência humana deixou marcas e contribuições significativas. Mas nem por isso deve ser entendido como privilégio de uma mente brilhante, e sim como o resultado de muitas

incertezas, tentativas, discordâncias e contribuições convincentes de vários personagens ilustres, ao longo da história, como veremos a seguir.

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3.1 INTRODUÇÃO

A origem das idéias fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral encontra-se na história da Matemática grega. Os gregos possuíam, já na época em que Euclides escrevia "Os Elementos", quase todos os fundamentos para desenvolver o Cálculo, mas ficaram presos por algumas concepções restritivas. Foram os gregos os primeiros a procurar a compreensão dos fenômenos ligados ao infinito, ao contínuo, ao infinitesimal, em busca de uma explicação para o movimento e as transformações dos seres. Da idéia de movimento vieram os primeiros conceitos do Cálculo Diferencial e Integral (BROLEZZI,1999).

Segundo Boyer (1974), o Cálculo teve sua origem nas dificuldades encontradas pelos antigos Matemáticos gregos na tentativa de expressar suas idéias intuitivas sobre as razões ou proporções de segmentos de retas, que vagamente reconheciam como contínuas, em termos de números, que consideravam discretos.

Os principais conceitos de cálculo: derivada, continuidade, integral, convergência, divergência, entre outros, são definidos em termos de limite. Limite é o conceito mais fundamental do cálculo. De fato, limite é o que distingue, no nível mais básico, o cálculo da álgebra, geometria e o resto da matemática. Portanto, em termos de desenvolvimento ordenado e lógico do Cálculo, limite deve vir primeiro. Entretanto, o registro histórico é justamente o oposto. Por vários séculos, as noções de limites eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito e com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite, que atualmente usamos é decorrente do iluminismo na Europa no final do século XVIII e início do século XIX.

3.2 UMA HISTÓRIA DE MUITAS INCERTEZAS, TENTATIVAS, CONFLITOS E