— pour chaque cellule c de µ, de symbole ⊗, m, d ou ∂, il y a une arête entre le port principal de c et chacun de ses ports passifs ;
— pour chaque boîte c de µ, il y a une arête entre le port principal de c et chacun de ses ports auxiliaires ;
— pour chaque cellule c de µ, de symbole` ou c, il y a une arête entre le port actif de c et exactement un de ses ports passifs ;
— il n’y a pas d’autre arête hors des cas précédents.
Définition 5.3 On définit les réseaux différentiels polarisés (RDP) par in-duction sur la profondeur :
— un RDP de profondeur 0 est un RS ;
— un RDP de profondeur au plus n + 1 est une SDP µ =Pn
i=1µi telle que, pour chaque SDP simple µi, tous les interrupteurs de µi sont acycliques et toutes les boîtes de µi ont pour symbole un RDP de profondeur au plus n.
Lemme 5.4 Les RDP sont stables par réduction.
Démonstration: Il suffit d’inspecter les cas de réduction. Définition 5.5 On définit inductivement les SDP faiblement séquentielles : — une SDP simple est faiblement séquentielle si elle peut s’obtenir in-ductivement par l’une des règles de construction de la figure 5.3, par la formation de la SDP vide ε ou par juxtaposition µ1k µ2, en sup-posant pour les cas non initiaux que µ1 et µ2sont des SDP simples faiblement séquentielles et µ0 est une SDP faiblement séquentielle ; — une SDP µ =Pn
i=1µi est faiblement séquentielle si les µi sont fai-blement séquentielles.
Théorème 5.6 Une SDP est faiblement séquentielle si et seulement si c’est un RDP.
Démonstration: C’est la même preuve que pour le théorème 2.5.
5.3 Polarisation et dérivée
Le théorème 5.6 est un peu décevant pour qui a goûté à la magie de la polarisation en logique linéaire. En effet, on a vu que dans le cas de llp (et donc de mell restreinte aux formules polarisées), on pouvait donner un critère simple pour la séquentialité : les RIP sont exactement les SIP séquentielles (théorème 2.19, page 41). On va voir que la force simplificatrice de la polarisation est mise à mal par la présence de la dérivée ∂.
Définition 5.7 On définit inductivement les SDP séquentielles :
— une SDP simple est séquentielle si elle peut s’obtenir inductivement par l’une des règles de construction de la figure 5.3, en supposant pour les cas non initiaux que µ1et µ2 sont des SDP simples séquen-tielles et µ0 est une SDP séquentielle ;
Axiome : Coupure : · · · µ1 · · · µ2 Convolution : m · · · µ1 · · · µ2 Tenseur : ⊗ · · · µ1 · · · µ2 Contraction : c · · · µ1 Par : ` · · · µ1 Déréliction : d · · · µ1 Dérivée : ∂ · · · µ1 Affaiblissement : w · · · µ1 Unité : u Boîte : · · · · · · µ0 !
5.3. Polarisation et dérivée 81
— une SDP µ =Pn
i=1µi est séquentielle si les µi sont séquentielles. Cette définition suggère en particulier celle d’un calcul des séquents différen-tiel polarisé, avec une procédure d’élimination des coupures déduite des règles de réduction des SDP. Alors les SDP séquentielles typées sont exactement les traductions des preuves de ce calcul des séquents.
Notons déjà que la notion de prouvabilité a peu d’importance dans le con-texte de réseaux différentiels : non seulement la SI nulle 0 est typable quel que soit la signature et le système de types, mais de manière plus frappante, la SDP séquentielle
P u
a pour conclusion n’importe quelle formule positive P. Ce phénomène apparaît déjà dans les réseaux différentiels d’origine, puisque la SID séquentielle
!A u
a pour conclusion n’importe quelle formule exponentielle !A de mell. C’est-à-dire qu’on a quitté le domaine de la prouvabilité pour celui de l’analyse quali-tative des preuves : u représente une preuve sans contenu, dont l’interrogation (par une déréliction) mène à l’échec (le réseau nul).
Reprenons les définitions 2.16 et 2.17.
Définition 5.8 Soit µ une SDP simple typée. On appelle graphe de correc-tion de µ le graphe orienté obtenu à partir de µ de la manière suivante :
— les sommets sont les cellules, axiomes (fils propres entre deux ports libres) et ports de boucles de µ ;
— les arcs sont les fils entre ports de cellules (qu’on attache aux som-mets associés aux cellules) et les fils de boucles ;
— les arcs associés aux fils propres sont orientés du port de type positif vers le port de type négatif.
Définition 5.9 On définit la correction des SDP typées par induction sur la profondeur :
— une SDP simple typée est correcte à profondeur 0 si son graphe de correction est acyclique et admet un unique sommet initial non w ; — une SDP simple typée est correcte à profondeur au plus n+1 si toutes
ses boîtes ont pour symbole une SDP typée correcte à profondeur au plus n, et si son graphe de correction est acyclique et admet un unique sommet initial non w.
— une SDP typée est correcte si toutes les SDP simples qui la consti-tuent le sont.
Remarquons que l’espoir de reproduire le théorème 2.19 dans le cadre des SDP est vain. En effet, on construit facilement des SDP correctes non séquentielles :
par exemple
N
∂
?N⊥ d
n’est même pas un RDP simple. Dans le sens de la réciproque, il existe également des SDP séquentielles et incorrectes : par exemple, le graphe de correction de
?!N ∂ ?N⊥
N d ?!?N⊥
d
possède deux sommets initiaux non w (les deux d). Le problème réside en ce que la dérivée, en autorisant des changements de polarité à volonté, brise une propriété fondamentale de llp : la présence d’au plus une formule positive dans les conclusions d’une preuve.
Ceci nous amène à penser qu’il sera difficile, y compris dans le cas typé, de trouver un critère géométrique simple caractérisant les SDP séquentielles sans rajouter d’information à la structure. Dans de futures investigations sur le sujet, on pourra se tourner vers les artifices habituels :
(a) La solution la plus grossière consiste ajouter des boîtes pour la dérivée. C’est très insatisfaisant, car ces dernières ne jouent aucun rôle au cours de la réduction. Et rien ne garantit (sauf à imposer à ces boîtes le même genre de typage que pour celles de la promotion, ce qui est une restriction très forte) que ceci autorise un critère à la Laurent.
(b) On peut chercher à obtenir une caractérisation purement géométrique à la Danos–Regnier, valable dans le cas non typé, en ajoutant de la structure aux réseaux (boîtes, sauts, affaiblissements restreints aux axiomes, etc.), par exemple dans la veine de [JdNM07] ou[GM01]. Dans ce cas, la dérivée n’est plus un problème car, comme la déréliction, elle a la géométrie d’un fil. La difficulté sera plutôt de s’assurer que le critère se comporte bien vis-à-vis de la réduction.
On peut toutefois déjà proposer le résultat suivant :
Théorème 5.10 Une SDP typée, sans cellule ∂, est séquentielle si et seule-ment si elle est correcte.
Démonstration: La preuve de Laurent s’adapte sans peine : le produit de convolution m est une cellule positive et se comporte comme un ⊗ à la fois par rapport au critère et pour la définition de la séquentialité ; de même pour u et
l’unité du tenseur dans llp.
5.4 Des calculs de termes pour les réseaux
diffé-rentiels polarisés
On peut hybrider le λµ-calcul de Parigot et le λ-calcul différentiel d’Ehrhard et Regnier, de manière purement syntaxique. Nous avons effectué ce travail dans