Point´ e automatique sur des cartes transform´ ees .1M´ethode deBlakely et Simpson(1986)

   ∂f ∂z r  ∂f ∂x 2 +^∂f_∂y^2     (3.39) ´

Etant donn´e que l’on a une fonction de type inverse-tangente, toutes les anoma-lies magn´etiques seront transform´ees en signaux d’amplitude similaire. Les anomaanoma-lies de forte amplitude ne sont plus pr´epond´erantes par rapport aux anomalies de faible ampli-tude sur une carte dessin´ee en couleur. De ce fait, l’op´erateur de tilt est efficace pour souligner exhaustivement toutes les variations d’anomalie magn´etique, sans distinctions d’amplitude ou de taille (largeur).

Nous appliquons syst´ematiquement l’op´erateur de tilt angle apr`es une double r´eduction au pˆole. En effet, la r´eduction au pˆole permet de placer les maxima et les minima des cartes `a l’aplomb des sources d’anomalies (`a condition d’avoir une bonne estimation de l’aimantation). La d´eriv´ee verticale de ces maxima et minima est par d´efinition nulle et la fonction de tilt sera elle-mˆeme nulle. Ainsi les z´eros de cet op´erateur permettent de pointer les limites magn´etiques verticales. Le z´ero du tilt est d´ecal´e lorsque la limite consid´er´ee a un pendage.

L’application de cet op´erateur est pr´esent´e par la figure 3.30.

3.5 Point´e automatique sur des cartes transform´ees

Blakely et Simpson(1986) d´eveloppent une m´ethode robuste de point´e des lin´eations magn´etique.

Dans un premier temps, il convient d’appliquer un op´erateur de double r´eduction au pˆole et une d´erivation horizontale. Cette m´ethode, propos´ee par Cordell et Grauch (1982), est utilis´ee pour la d´etection de bords de structure. Afin d’appliquer efficace-ment la r´eduction au pˆoles, il faut disposer d’une bonne approximation de la direction

(a)Sph`ere

(b)Coul´ee

(c) Dyke large

(d)Dyke fin

(e)Faille ou contact `a pendage

Figure 3.30 – Colonne de gauche : anomalie magn´etique (en nT) cr´e´ee par chaque type de structure du catalogue pr´esent´e figure3.17`a une hauteur de 1 m. Colonne de droite : tilt angle (en degr´es) de l’anomalie correspondante.

d’aimantation. De mani`ere g´en´erale ou en l’absence d’autres informations, l’aimantation est suppos´ee ˆetre induite ou dans la direction de l’aimantation induite. En dehors de cette supposition, la m´ethode ne demande aucun autre a priori sur les sources d’anoma-lie. Les maxima de cartes ainsi transform´ees correspondent `a des variations horizontales importantes. Ceux-ci peuvent correspondre `a des lin´eaments ou encore `a des bords de structures, comme l’illustre la figure 3.32 d’application aux mod`eles typiques. Afin de proc´eder `a une interpr´etation objective des cartes magn´etiques, une m´ethode de point´e automatique des maxima align´es sur de telles cartes est propos´ee parBlakely et Simpson (1986).Grauch et Cordell(1987) montrent que cette m´ethode est adapt´ee `a la d´etection des limites d’objets ayant des limites verticales ou sub-verticales mais qu’un d´ecalage peut apparaˆıtre d`es lors que les limites des objets ne sont plus verticales. Ce d´ecalage d´epend de divers param`etres dont la profondeur des sources par rapport au plan de mesure et l’inclinaison de l’aimantation.

A priori n’importe quelle m´ethode de point´e automatique de lin´eaments peut ˆetre appliqu´ee ; cette m´ethode-ci ayant fait l’objet de nombreuses ´etudes et d’applications dans le domaine du magn´etisme, elle a ´et´e pr´ef´er´ee `a d’autres m´ethodes n’ayant pas la mˆeme robustesse.

3.5.2 Point´e automatique de lin´eaments

Les cartes transform´ees se pr´esentent sous forme de grilles. Chaque nœud gi,j de ces grilles est compar´e `a ses voisins les plus proches dans les 4 directions horizontales, pour un total de 8 voisins comme le montre la figure3.31. Seuls les nœuds des lignes et colonnes en bordure de grille, n’ayant pas 8 voisins, ne sont pas soumis `a cette analyse. En chaque nœud, un compteur N est incr´ement´e lorsque les in´egalit´es suivantes sont v´erifi´ees

g_i−1,j < g_i,j & g_i,j > g_i+1,j g_i,j−1 < gi,j & gi,j > gi,j+1

g_i−1,j+1 < gi,j & gi,j > g_i+1,j−1 g_i−1,j−1 < g_i,j & g_i,j > g_i+1,j+1

(3.40)

N est donc compris entre 1 et 4 pour un maximum local. Ainsi, plusieurs cas de figure se pr´esentent :

- Lorsque N = 1, Blakely et Simpson (1986) estiment que les gradients ne sont pas suffisamment contraints pour apporter une information intelligible `a l’in-terpr´etation. Ces nœuds correspondent `a des maxima tr`es locaux et sont plus sensibles au bruit.

- Les nœuds tels que N = 2 ou 3, apportent le plus d’information pour l’interpr´etation car ils marquent des maxima locaux indiquant des directions pr´ef´erentielles.

Figure 3.31 – Nœuds de la grille utilis´es pour tester un maximum voisin de gi,j. Les couleurs repr´esentent les valeurs du gradient horizontal de la double r´eduction au pˆole (le bleu repr´esentant les valeurs faibles et le rouge les valeurs maximales). Modifi´e d’apr`esBlakely et Simpson(1986).

- Les nœuds tels que N = 4 correspondent `a des maxima locaux mais ne mettent en g´en´eral pas en valeur des lin´eations particuli`eres.

Chaque in´egalit´e f < g_i,j & g_i,j > h est localis´ee, lorsqu’elle est v´erifi´ee, par x_max tel que

x_max= −^bp_2a^x (3.41)

o`u p_x est l’espacement entre les nœuds de la grille, et a et b sont d´efinis tels que

a = ¹

2(f − 2gi,j+ h), b = ¹

2(f − h).

(3.42)

On lui associe une valeur g_max telle que

g_max = ax²_max+ bx_max+ g_i,j (3.43)

correspondant au polynˆome de second degr´e passant par les 3 points g_i,j, f et h. Cette valeur exprime l’importance du gradient correspondant. Lorsque N > 1, la valeur de g_maxchoisie est la valeur maximale parmi celles correspondant aux diff´erentes in´egalit´es. Cette m´ethode permet donc non seulement de localiser les maxima locaux indiquant les lin´eaments g´eophysiques mais permet aussi d’estimer leur importance relative. D’autre part des seuils d’importance minimale peuvent ˆetre fix´es lorsque, par exemple, les cartes sont tr`es bruit´ees.

La figure3.32pr´esente un point´e automatique r´ealis´e avec cette m´ethode, permettant de retracer une bonne approximation des limites des sources. En g´en´eral, la correspon-dance entre ces r´esultats et des cartes de r´eduction au pˆole permet de d´eterminer si les point´es correspondent `a des limites d’objets o`u `a des lin´eations.

(a)Sph`ere

(b)Coul´ee

(c)Dyke large

(d)Dyke fin

(e) Faille ou contact `a pendage

Figure 3.32 – Colonne de gauche : anomalie magn´etique cr´e´ee par chaque type de structure du catalogue pr´esent´e figure3.17`a une hauteur de 1 m. Colonne de droite : d´eriv´ee horizontale au premier ordre de la r´eduction au pˆole des anomalies, et point´e automatique des maxima locaux (points noirs) grˆace `a la m´ethode deBlakely et Simpson (1986). La taille des points est proportionnelle `a l’importance du gradient horizontal.

D’autre part, le point´e automatique peut ˆetre appliqu´e sur n’importe quel type de carte : en particulier, du point´e automatique a ´et´e r´ealis´e pour r´ev´eler les z´eros d’une carte de tilt (voir section 3.4.5). Dans ce cas, les g_max ne sont pas calcul´es car le tilt est un op´erateur donnant `a chaque anomalie la mˆeme importance relative, quelles que soient les amplitudes initiales de celles-ci.

3.5.3 Application aux mod`eles synth´etiques

Les mod`eles typiques r´ev`elent que, mˆeme dans les conditions id´eales pour la d´etection qui sont celles de la mod´elisation, de l´eg`eres erreurs peuvent amener `a mal placer les limites des sources. Dans le cas pr´esent´e, il est possible que la d´efinition du nœud soit en cause : celui-ci n’est pas choisi au centre mais en bas `a gauche de chaque pixel. A l’´echelle des lev´es r´ealis´es lors de cette th`ese, ce type d’incertitude n’a pas incidence. Les limites de la m´ethode rel`event principalement des limites des transform´ees de carte appliqu´ees. D’une part la r´eduction au pˆole est un op´erateur qui doit ˆetre r´efl´echi lorsqu’appliqu´e dans des milieux o`u la r´emanence peut ˆetre pr´edominante. D’autre part les transform´ees faisant intervenir des d´eriv´ees ont tendance `a r´eduire le rapport signal/bruit (d´eriv´ee horizontale, signal analytique et tilt par exemple), ce qui peut mener `a des erreurs si le lev´e est bruit´e.

Dans le cas de la sph`ere, la figure 3.32a pourrait laisser penser qu’il est possible d’avoir une estimation du diam`etre de la sph`ere consid´er´ee. Cela n’est pas le cas et la figure3.32aest un cas particulier. Comme expliqu´e pr´ec´edemment (section3.3.4, p.3.3.4), le diam`etre d’une sph`ere (ou d’une boule) ne peut ˆetre d´etermin´e par des op´erateurs r´ealis´es sur l’anomalie magn´etique (sans contrainte sur l’aimantation).

Description des donn´ees et des