CHAPITRE III : Les Systèmes Plats
IV.3 Robot à 2-liens sous-actionnés
IV.3.5 La platitude différentielle basée sur la planification de la trajectoire . 65
Dans le but de planifier dynamiquement des trajectoires faisables pour le mouvement point-à -point pour un système sous-actionné, le problème de valeur limite doit être résolu. Du moment que le système est différentiellement plat, les trajectoires dynamiquement faisables pour le mouvement point à point peuvent être planifiées analytiquement dans une forme fermée en termes de sorties et de difféomorphisme. Les trajectoires d'état correspondantes à la sortie plate arbitraire, par définition, satisfont déjà les équations dynamiques. Ainsi, le système peut suivre toutes les trajectoires de la sortie plate. Cette propriété avec le difféomorphisme, et la transformation de sortie nous permet de planifier la trajectoire de notre système.
En absence de platitude, il faudrait intégrer la sortie plate afin de trouver les trajectoires dynamiquement possibles. Ceci est illustré dans la figure IV.7 dans le cas où le but est de ramener le système de l’état initial qi à l'instant ti vers l’état final qf à l’instanttf . Après, nous démontrons cette procédure de planification avec la liaison de 2 degrés de libertés sous-actionnée.
Chapitre IV Conception de la platitude différentielle
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Figure IV.7: La planification des trajectoires en utilisant le difféomorphisme.
La planification des trajectoires est obtenue entre l’état initial qià l'instant tiet l’état final qf à l’instanttf. Dans l'état du système original, toutes les trajectoires d'état de connexion qi et qf ne sont pas dynamiquement possibles. Les états initiaux et finaux peuvent être convertis en des états de sortie plates correspondantes en utilisant le difféomorphisme. Les trajectoires passant par ces états de sortie plates pourraient être construites. Les trajectoires dynamiquement possibles de l'état original et les entrées correspondantes pourraient être obtenues à partir de ces trajectoires de sortie plate en utilisant respectivement le difféomorphisme et la transformation d'entrée. Les trajectoires de sorties plates peuvent être modulées pour aussi bien satisfaire les contraintes de mouvement supplémentaires.
Pour une période donnée [t0, tf], les conditions aux limites du système sont données par :
1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0
1 2 1 2 1 2
( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) ( ),f ( ), ( ),f f ( ),f ( ),f ( )f q t q t q t q t q t q t q t q t q t q t q t q t
(IV.37)
Chapitre IV Conception de la platitude différentielle
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et sont transformées en :
0 0 0 0
( ), ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( )f f f f y t y t y t y t y t y t y t y t
(IV.38)
avec les trajectoires polynomiales suivantes :
5 4 3 2
5 4 3 2 1 0
d( )
y t a t a t a t a t a t a (IV.39)
Figure IV.8: Les trajectoires planifiées de sortie plate pour le robot sous-actionné à 2-liens.
Figure IV.9: Les trajectoires planifiées de l'état original du système pour le robotsous-actionné à 2- liens.
Chapitre IV Conception de la platitude différentielle conception d’un contrôleur qui permet de suivre les trajectoires de références n'est pas un problème résolu pour un système sous-actionné. Si le système est différentiellement plat, il peut être linéairement commandable en utilisant une transformation d'entrée. Dans la section IV.3.1, la dynamique du robot à deux liens sous-actionné donné par (IV.18) est transformée en une forme de chaîne d'intégrateurs (IV.36) utilisant l’entrée de transformation (IV.35). Dans le reste de cette section, un contrôleur de retour d'état est conçu dans le domaine de sortie plate pour suivre les trajectoires planifiées en présence d'erreurs initiales. Le système transformé est donnée par :
y v
(IV.40)
Où v est la nouvelle entrée. Il peut être représenté sous la forme d'espace d'état comme il est indiqué au-dessous :
Y AYbv (IV.41)
Chapitre IV Conception de la platitude différentielle
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y d
e v y
(IV.43)
Cela peut être écrit sous la forme d'espace d'état comme suit :
( )
Y Y d
e Ae b vy (IV.44)
Où Aet b sont donnés en (IV.42). L’entrée v peut être choisie pour être une réaction linéaire de l'état complet:
13 12 11 10
d u u u
vy k ek ye k e k e (IV.45)
Où kli sont les gains de commande. En notation matricielle la loi de commande peut être écrite comme suit :
d Y
vy Ke (IV.46)
Où K est la matrice de gain donnée par :
10 11 12 13
K k k k k (IV.47)
En substituant (IV.46) dans (IV.43), nous obtenons :
( )
Y Y Y
e A bK e Ae (IV.48)
Où K peut être choisi de telle sorte que Aest Hurwitz [63] c.à.d. l'ensemble de ses valeurs propres sont situées dans la moitié gauche du plan complexe. La stabilité du contrôleur peut être démontrée avec la fonction de Lyapunov [64] :
T
Chapitre IV Conception de la platitude différentielle
Ce qui implique que le dispositif de commande est exponentiellement stable.
La boucle de régulation peut être représentée par le schéma suivant :
Figure IV.10 : Boucle de régulation pour le robot sous-actionné à 2- liens.
L’objectif de la commande est d’atteindre une trajectoire mesurée confondue avec la trajectoire désirée mentionnée dans (IV.39) suivant les étapes suivantes :
1- Pour introduire la notion de platitude dans un système, il faut tout d’abord prouver que le système est plat, pour démontrer cela on doit avoir une sortie plate qui doit contenir tous les paramètres du système en fonction de cette sortie plate et d’un nombre fini de ses dérivées.
Planificateur
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2- Une fois la sortie plate obtenue, on peut appliquer le difféomorphisme qui permet de transformer les variables d’états de l’espace original en un ensemble d’états de sorties plates.
3- Pour la conception de la loi de commande nous avons une entrée v qui peut être choisie pour être une réaction linéaire de l'état complet exprimée par l’état de l’équation (IV.45) qui nous permet de trouver la commande
1 ( , , )1 2
u f v q q d’où on peut tirer ainsi les variables q1 et q2 qui représentent les états mesurés de notre système.
IV.3.7. Résultats de simulation
Un polynôme de cinquième degré des trajectoires désirées au cours de l'horizon [0 4s] sont générés pour la sortie plate y avec les conditions aux limites suivantes :
Par conséquent, les conditions aux limites correspondantes dans l'espace de sortie plate peuvent être obtenues par le difféomorphisme construit comme suit :
(0) / 2, (0) 0, (0) 0, (0) 0 manière unique. Les valeurs des gains de commande dans l’équation (IV.47) sont fixées à : k10 6,k11 6,k12 4,k13 3. La structure du planificateur intégré et le contrôleur qui est appliqué au modèle dynamique du robot sous-actionné à 2-liens sont montrés respectivement dans la figure IV.10.
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(a)
(b)
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(c)
(d)
Figure IV.11. Les résultats de simulation pour le suivi des trajectoires désirées et mesurées de sortie plate y t( )(a), dy t( ) /dt (b), d y dt2 / 2(c) et
3 3
/
d y dt (d) du robot sous-actionné à 2- liens.
Les courbes rouges sont les trajectoires de sorties plates mesurées. Les courbes noires sont les trajectoires désirées du robot avec quelques erreurs.
Figure IV.12: L’entrée nominale correspondante aux trajectoires planifiées pour le robotsous-actionné à 2-liens.
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La figure IV.11 présente les résultats de simulations pour le suivi des trajectoires du robot à 2-liens avec les trajectoires planifiées dans la section précédente.
On constate que les sorties plates et leurs dérivées sont nécessaires pour mettre en œuvre ce contrôleur. Cependant, nous n’avons pas besoin de différencier les sorties afin d'obtenir toutes les dérivées requises. Elles peuvent être obtenues par la mesure de tous les états du système, puis en utilisant le difféomorphisme entre les états du système, les sorties et leurs dérivées.
IV.4 Conclusion
La planification et le suivi des trajectoires pour les systèmes sous-actionnés est un domaine de recherche actif. En général, pour ces systèmes les trajectoires ne sont pas dynamiquement faisables. S’il est aussi non linéaire, il n’est pas possible de caractériser analytiquement ces trajectoires faisables dans l’espace d'états.
La méthode conventionnelle pour trouver ces trajectoires est de résoudre le problème aux limites en employant les techniques itératives. Une fois la trajectoire désirée trouvée, la conception d'un contrôleur pour un système est également une tâche difficile. Une solution utilisée dans cette thèse est d’étudier des robots sous-actionnés de telle sorte qu'ils présentent la propriété de la platitude différentielle [59,23,60]. La platitude différentielle fournit une méthode d'analyse systématique à l'intention des trajectoires désirées dynamiquement et à concevoir un contrôleur qui permet de suivre les trajectoires. Un système est différentiellement plat s’il existe un ensemble de sorties, appelées sorties plates, en nombre égal au nombre d'entrées, de sorte que tous les états et les entrées peuvent être exprimées en termes algébriques par ces sorties et un nombre fini de leurs dérivées [23]. En outre, pour un système plat, il existe une entrée inversible et des transformations d’état (difféomorphisme) qui peuvent aussi transformer le système non linéaire en un système linéaire canoniquement contrôlable, comme il est montré dans la figure
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IV.13, et toutes les trajectoires arbitraires correspondantes aux sorties plates possèdent (via la transformation de l'état) dynamiquement les trajectoires possibles de l'état du système original. Cela rend la planification possible dans le domaine de la sortie plate.
Figure IV.13. La transformation d'un système différentiellement plat non linéaire en un système linéaire après une entrée et une transformation de
l'état.
Une utilisation pratique (voir fig. IV.14) est la conception des trajectoires du mouvement point-à-point des systèmes sous-actionnés. Ici, le but est de permettre aux systèmes de suivre une trajectoire libre. En utilisant le difféomorphisme, ces trajectoires de sorties plates peuvent se transformer en état initial à leur espace d’origine pour avoir des trajectoires possibles. Les cycles limites par les deux robots peuvent être planifiés en concevant des trajectoires libres avec les points initiaux et finaux identiques. Aussi, le contrôleur linéaire de retour peut être conçu par le domaine linéaire de sortie plate en fermant la boucle sur les erreurs dans les sorties plates et leurs dérivées [23]. Cette méthode de planification et de contrôle du mouvement point-à-point du robot est représentée schématiquement à la figure IV.14. Cependant, la platitude différentielle nous procure avec la forme fermée de la solution pour les trajectoires faisables connectées à l'espace d'états des points. Le difféomorphisme est généralement non linéaire, mais il peut être résolu par l’application des valeurs limites du problème très rapidement. La conception de la platitude différentielle est donc une technique générale qui peut potentiellement être appliquée pour les classes générales des systèmes sous-actionnés.
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Figure IV.14. La planification basée sur la platitude et la méthodologie de contrôle du mouvement point-à-point d'un robot sous-actionné à 2-liens.
Conclusion Générale
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Conclusion générale
La platitude trouve tout son intérêt dans le cadre de la génération et la poursuite de trajectoires. En effet, dans un système plat, l’état et la commande se déduisent directement de la sortie plate. Ainsi, un choix judicieux de la forme temporelle de la sortie plate nous fournit sans intégration les trajectoires de référence.
La planification et le contrôle de la trajectoire des systèmes non linéaires sous-actionnés restent toujours un problème ouvert avec plusieurs applications.
Les systèmes sous-actionnés ayant les liens série interconnectés comme une caractéristique commune pour les bras manipulateurs à chaîne ouverte par exemple qui a été choisi comme élément de cette thèse. Une approche qui intègre la planification et le contrôle des systèmes sous-actionnés avec leur conception mécanique a été présentée. L’effet de certaines non-idéalités sur le modèle idéal de contrôle de platitude de base est également étudié.
Cette thèse a démontré avec succès une méthodologie pour concevoir une classe d’un système sous-actionné pour être differentiellement plat et permettre la planification et le contrôle des trajectoires possibles systématique et analytique. Par la refonte du système, nous avons essentiellement modifié les raccords entre les systèmes dynamiques sous-actionnés et les systèmes actionnés avec des degrés de liberté dans une forme plus utilisable. Spécifiquement, pour le système étudié, les dispositifs d’origine de couplage dus aux centripète, Coriolis et les conditions de gravité ont été remplacés par des termes linéaires découlant de l’effet de l'énergie potentielle. Ces nouveaux raccords rendent la dynamique du système général differentiellement plat, et les résultats de
Conclusion Générale
78
simulations montrent bien que les erreurs entre les trajectoires des sorties plates désirées et les trajectoires mesurées des sorties plates tendent vers zéro.
Nous estimons que cette approche basée sur la modification des couplages dynamiques via une modulation soignée des paramètres du système libre puisse être appliquée à d'autres classes de système non linéaire sous-actionné.
Conclusion Générale
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