Fig.5.7 –Onde stationnaire. Cas ν=νnc. Champ entre les conducteurs (0≤x≤a) `a un instanttdonn´e. y z x O E E B B a
Les valeurs de γ donn´ees par (5.55) se classent en trois cas suivant la valeur de la fr´equence ν=ω/2π de l’onde en comparaison avec νnc.
1. Si ν =νnc alors γ = 0. Le mode n ne se propage pas et forme une
onde stationnaire. Ainsi, le mode TE, ´equation (5.38) pour Dr´eel,
s’´ecrit
E=Dsin(αx) cos(ωt)uy, B =−D
c cos(αx) sin(ωt)uz (5.57) o`uω =ωnc = nπc
a etα= nπ
a . Ce champ est repr´esent´e sur la figure5.7 dans le cas n= 2,α= 2π
a . Chacun des champsE etB s’´ecrit comme le produit d’une fonction de t et de x. Les champs E et B sont en quadrature tant enx qu’ent:
– les nœuds du champE (les points o`u sin(αx) = 0) sont les ventres du champ B;
– les nœuds du champB (les points o`u cos(αx) = 0) sont les ventres du champ E;
– lorsque B = 0 (aux temps t tels que sin(ωt) = 0) alors E est `a son ´elongation maximale ;
– lorsque E = 0 (aux temps t tels que cos(ωt) = 0) alors B est `a son ´elongation maximale.
L’onde (5.57) est la superposition de deux OPPH de vecteurs d’ondes ±αux (cf. section 5.4.6).
2. Si ν < νnc alorsγ2 <0 et γ est imaginaire :
γ =±is avec s= 2π c
"
ν2
88 5. PROPAGATION GUID´EE
Le champ d´epend dezsuivant le facteur e−iγz =e±sz. Ainsi, le champ ´
electrique du mode TE, ´equation (5.38) pourDr´eel et le signe−dans γ=±is, s’´ecrit
E=Dsin(αx)e−szcos(ωt)uy. (5.59) C’est une onde stationnaire qui d´ecroˆıt exponentiellement quand z augmente. Cette onde est dite´evanescente.
Il n’y a pas de propagation du mode n lorsque la fr´equence est plus petite que νnc, ou, ce qui est ´equivalent, lorsque la longueur d’onde dans le videλ= c
ν est telle que λ > c
νnc = 2a
n, (5.60)
c’est-`a-dire lorsque la longueur d’onde dans le vide est plus grande que 2a
n.
3. Si ν > νnc alorsγ2 >0 et γ est r´eel : γ =±2π
c
"
ν2−ν2
nc. (5.61)
Ce cas correspond `a des modes qui se propagent le long de Oz. Par exemple, le champ ´electrique du mode TE, ´equation (5.38) pour D r´eel, s’´ecrit
E =Dsin(αx) cos(ωt−γz)uy. (5.62) C’est une ondeprogressive inhomog`ene qui se propage le long de Oz (dans le sens de z croissant si γ > 0). Les plans d’onde sont les plans z= Cte. L’onde est inhomog`ene parce que le champ n’a pas la mˆeme valeur en tout point d’un mˆeme plan d’onde (le champ d´epend dex).
La fr´equenceνnc est appel´ee lafr´equence de coupure du moden. On en d´eduit que
– pour 0< ν ≤ c
2a, seul le mode TEM (= TM0) se propage ; – pour c
2a < ν ≤ c
a, seuls les modes TEM, TM1 et TE1 se propagent ; – pour c
a < ν ≤ 3c
2a, seuls les modes TEM, TM1, TE1, TM2 et TE2 se propagent ;
– . . .
De fa¸con g´en´erale, on appelle modes les types d’ondes monochromatiques qui peuvent se propager dans un guide. A chaque mode est associ´ee une fr´equence de coupure.Une onde de fr´equence donn´ee ν ne peut se propager dans un mode donn´e que si sa fr´equence est plus grande que la fr´equence de coupure. Lorsque pour cette fr´equence il n’y a qu’un mode qui se propage, le guide est ditmonomode (oppos´e de multimode).
5.5. DEUX PLANS CONDUCTEURS 89
Vitesse de phase, vitesse de groupe
Mis `a part le mode TEM pour lequel γ = ±ω
c, les ondes guid´ees pr´ e-sentent de la dispersion. Consid´erons un mode n > 0 `a une fr´equence plus grande que la fr´equence de coupure (ω > ωnc) et se propageant vers z croissant. La racine γ >0 de (5.55) nous donne la vitesse de phase
vφ= ω γ = c # 1−ωnc2 ω2 = # c 1− nc 2aν 2. (5.63)
La vitesse de phase est plus grande que la vitesse de la lumi`ere dans le vide
vφ> c. (5.64)
En diff´erentiant (5.55) on obtient
γdγ = ωdω
c2 (5.65)
d’o`u la vitesse de groupe
vg = dω dγ = γ ωc 2 = c 2 vφ =c # 1− nc 2aν 2 . (5.66)
La vitesse de groupe est inf´erieure `a la vitesse de la lumi`ere dans le vide
vg < c. (5.67)
Dans un guide multimode la vitesse de groupe (5.66), pour une fr´equenceν donn´ee, diff`ere d’un mode n `a l’autre. C’est la dispersion intermodale.
Lorsqu’un guide d’onde est utilis´e pour transmettre des donn´ees, l’infor-mation est usuellement cod´ee sous forme d’impulsions qui modulent l’onde guid´ee. Le ph´enom`ene de dispersion intermodale brouille le signal si les im-pulsions sont trop rapproch´ees. Cela limite l’utilisation des guides multi-modes `a des taux de transmissions faibles ou sur des courtes distances. Les guides monomodes qui d´eforment beaucoup moins les impulsions sont em-ploy´es pour des taux de transmissions ´elev´es et pour de longues distances.
91
6
Milieux di´electriques et
aimant´es
6.1 Introduction
Nous nous proposons d’´etudier l’´electromagn´etisme de milieux quelcon-ques, conducteurs, di´electriques (c’est-`a-dire isolants) ou aimant´es. Pour d´ecrire les milieux, on parle d’´echelle microscopique pour des ph´enom`enes qui ont lieu `a des ´echelles inf´erieures ou de l’ordre du rayon a ∼ 1 ˚A des atomes et d’´echelle macroscopique pour des ph´enom`ene qui ont lieu `a des ´
echelles grandes par rapport la taille des atomes (de l’ordre deλ∼100 nm). Aux ´echelles microscopique oum´esoscopique(entre microscopique et macro-scopique), il est n´ecessaire d’utiliser la m´ecanique quantique. Aux ´echelles macroscopiques, l’´electromagn´etisme classique permet de d´ecrire les ph´ eno-m`enes dans les milieux.
6.1.1 Champ ´electromagn´etique microscopique et
macrosco-pique
On obtient le champ ´electrique macroscopique E(r, t) en effectuant une moyenne du champ ´electrique microscopiquee(r, t) sur une bouleB, centr´ee enr, de rayon m´esoscopique d1: E(r, t) = e! = 3 4πd3 1 Be(r , t)dτ avec λ d1 a. (6.1)
La valeur de E(r, t) ne d´epend pas du choix du rayon d1 en pratique. Le champ magn´etique macroscopique B est d´efini de fa¸con analogue comme moyenne du champ magn´etique microscopique b. Les charges et courants volumiquesρetsont ´egalement des grandeurs macroscopiques d´efinies par des moyennes (cf. ´equations (1.1) et (1.3) de la section 1.2).
92 6. MILIEUX DI ´ELECTRIQUES ET AIMANT ´ES
Exemple. Dans un conducteur `a l’´equilibre ´electrostatique, E = B = 0, mais les champs microscopiques e et b sont tr`es compliqu´es et varient beaucoup sur la distancea.
6.1.2 Charges et courants li´es et libres
Dans les milieux on distingue lescharges li´eesqui ne peuvent se d´eplacer que sur des distances microscopiques (de l’ordre dea) et les charges libres qui au contraire sont libres de se d´eplacer sur des distances macroscopiques. Les courants associ´es `a ces charges sont ´egalement qualifi´es de li´es et libres. Exemples. Un m´etal conducteur comporte `a la fois des charges li´ees (noyaux et ´electrons internes) et des charges libres (´electrons de conduc-tion). Un isolant ne comporte le plus souvent que des charges li´ees.
Notations. On d´esigne les charges et courants libres avec l’indice a (ρa, σa,a, . . . ).
Les charges et courants li´es comportent les charges de polarisation not´ees avec l’indicep (densit´es de charge volumiqueρp, surfacique σp, courant vo-lumiquep) et les courants de magn´etisation not´es avec l’indicem (courant volumiquem et courant surfaciqueσm).