question qui se pose est celle de la r´egularit´e des solutions et multiplicateurs.
R´esultats
Ce sont ces questions qui sont trait´ees dans le chapitre 4 o`u l’on s’int´eresse au cas de plusieurs contraintes sur l’´etat, d’ordres arbitraires, et d’une commande `a valeurs dans Rm,
m > 1. Ce chapitre inclut aussi des contraintes mixtes sur la commande et sur l’´etat, qui dans l’analyse peuvent ˆetre vues comme des contraintes sur l’´etat d’ordre z´ero.
Le premier r´esultat que nous obtenons est un r´esultat de r´egularit´e de la commande et des multiplicateurs (section 4.3) analogue `a celui connu dans le cas scalaire. Dans la proposition 4.8 nous donnons une condition suffisante assurant la continuit´e de la commande, puis dans la proposition 4.13 nous montrons que la commande et les multiplicateurs sont r´eguliers sur l’int´erieur d’un arc ayant un ensemble de contraintes actives constant. Ensuite nous ´etendons la proposition 0.2 au cas vectoriel dans la proposition 4.22. La preuve utilise la mise du syst`eme sous forme normale (section 4.4), c’est-`a-dire que la dynamique de chaque composante de la contrainte peut, apr`es un changement de variables, ˆetre mise localement sous la forme canonique (0.19) (lemme 4.19).
Une fois ces premiers r´esultats de r´egularit´e obtenus, nous sommes en mesure d’´etendre au cas de plusieurs contraintes sur l’´etat et de contraintes mixtes sur la commande et sur l’´etat les conditions du second ordre no-gap du th´eor`eme 0.4 dans les th´eor`eme 4.24 et corollaire 4.25 et l’analyse de l’algorithme de tir ainsi que le th´eor`eme 0.5 dans la section 4.7 et le th´eor`eme 4.33.
0.3
Plan de la th`ese
Le chapitre 1 correspond `a l’article [21]
J.F. Bonnans et A. Hermant. No-gap second-order optimality conditions for op- timal control problems with a single state constraint and control. Mathematical Programming, Ser. B., 117 :21–50, 2009.
Les r´esultats sur les conditions d’optimalit´e du second ordre y sont pr´esent´es, dans le cas d’une commande et d’une contrainte sur l’´etat scalaires.
Le chapitre 2 correspond `a l’article [19]
J.F. Bonnans et A. Hermant. Well-Posedness of the shooting algorithm for state constrained optimal control problems with a single constraint and control. SIAM Journal on Control and Optimization, 46(4) :1398–1430, 2007.
Les r´esultats sur l’algorithme de tir y sont pr´esent´es, toujours pour une commande et une contrainte sur l’´etat scalaires, ainsi que l’analyse de stabilit´e et de sensibilit´e par l’approche tir en pr´esence de points de contact isol´es non essentiels pour une contrainte d’ordre sup´erieur ou ´egal `a deux.
Le chapitre 3 correspond `a l’article [20]
J.F. Bonnans et A. Hermant. Stability and sensitivity analysis for optimal control problems with a first-order state constraint and application to continuation me- thods. ESAIM Control, Optimization and Calculus of Variations, 14(4) :825–863, 2008.
L’analyse de stabilit´e et de sensibilit´e en pr´esence de points de contact isol´es non essentiels pour une contrainte du premier ordre y est pr´esent´ee, ainsi que la m´ethode d’homotopie.
Le chapitre 4 correspond `a l’article [17]
J.F. Bonnans et A. Hermant. Second-order analysis for optimal control problems with pure state constraints and mixed control-state constraints. Annales de l’Ins- titut Henri Poincar´e (C) Analyse Non Lin´eaire. `A paraˆıtre.
Les r´esultats sur les conditions de jonction (proposition 0.2), sur les conditions du second ordre et sur l’algorithme de tir des chapitres 1 et 2 y sont ´etendus pour une commande `a valeurs vectorielles, plusieurs contraintes sur l’´etat et des contraintes mixtes sur la commande et sur l’´etat.
Le chapitre 5 correspond `a l’article [71]
A. Hermant. Stability analysis of optimal control problems with a second-order state constraint. SIAM Journal on Optimization. A paraˆıtre.
On y pr´esente les r´esultats de stabilit´e pour les contraintes d’ordre deux utilisant une variante de la th´eorie de la r´egularit´e forte sans hypoth`ese sur la structure de la trajectoire.
Le chapitre 6 correspond `a l’article [69]
A. Hermant. Homotopy algorithm for optimal control problems with a second-order state constraint. Rapport de recherche INRIA RR-6626 (2008). Soumis.
Ce chapitre est ´egalement consacr´e aux contraintes sur l’´etat d’ordre deux. On y pr´esente des r´esultats ´etendant partiellement ceux du chapitre 3 aux contraintes d’ordre deux, r´esultats portant sur la stabilit´e structurelle des points stationnaires (stabilit´e des arcs fronti`eres ; le cas des points de contact isol´es non r´eductibles est ´egalement trait´e) et sur la m´ethode d’ho- motopie.
Enfin, dans le chapitre 7 (conclusion) quelques probl`emes ouverts dans la continuit´e des travaux de cette th`ese sont pr´esent´es (v´erification de la condition suffisante du second ordre, extension des conditions du second ordre aux ´equations aux d´eriv´ees partielles, cas d’un nombre infini de points de contact isol´es et cas de contraintes lin´eairement d´ependantes).
Les six premiers chapitres, r´edig´es sous forme d’article, et pr´esent´es dans l’ordre chro- nologique, peuvent ˆetre lu ind´ependamment les uns des autres. Les notations, hypoth`eses, d´efinitions et r´esultats utilis´es y sont rappel´es `a chaque fois. Le chapitre 1 contient les condi- tions du second ordre, cl´e de voˆute des autres r´esultats de la th`ese. Le chapitre 2 utilise les r´esultats du chapitre 1. Les chapitres 3 et 4 utilisent ind´ependamment les r´esultats des cha- pitres 1 et 2. Le chapitre 5 utilise quelques r´esultats du chapitre 4. Le chapitre 6 utilise les chapitres 2, 3 et 5. Le chapitre 7 utilise les chapitres 1 et 4.
Chapitre 1
Conditions d’optimalit´e du second
ordre
∗
Abstract The paper deals with optimal control problems with only one control variable and one state constraint, of arbitrary order. We consider the case of finitely many boundary arcs and touch times. We obtain a no-gap theory of second-order conditions, allowing to characterize second-order quadratic growth.
R´esum´e Dans cet article, nous ´etudions un probl`eme de commande optimale avec une com- mande scalaire et une contrainte sur l’´etat scalaire d’ordre quelconque. Les instants de jonc- tion sont suppos´es en nombre fini. Nous obtenons des conditions d’optimalit´e du second ordre n´ecessaires ou suffisantes, qui permettent de caract´eriser la croissance quadratique.
1.1
Introduction
Considerable efforts have been done in the past for reducing the gap between second-order necessary and sufficient optimality conditions for optimization problems in Banach spaces, with so-called cone constraint (i.e. the constraint mapping must be in a convex cone, or more generally in a convex set). This framework includes many optimal control problems. The theory of second-order necessary optimality conditions involves a term taking into account the curvature of the convex set, see Kawasaki [77], Cominetti [41]. By contrast, second-order sufficient optimality conditions typically involve no such term; see e.g. Maurer and Zowe [102]. We say that a no-gap condition holds, when the only change between necessary or sufficient second-order optimality conditions is between a strict and non strict inequality. In that case it is usually possible to obtain a characterization of the second-order growth condition. There are essentially two cases when no-gap conditions were obtained: (i) the polyhedric framework, in the case when the Hessian of Lagrangian is a Legendre form, originating in the work by Haraux [67] and Mignot [103], applied to optimal control problems in e.g. Sokolowski [123] and Bonnans [14], and the extended polyhedricity framework in [24, Section 3.2.3]; this framework essentially covers the case of control constraints (and finitely many final state constraints); and (ii) the second-order regularity framework, introduced in [16] and [15], with applications to semi definite optimization. We refer to [24] for an overview of these theories.
∗
Joint work with J.F. Bonnans. Published in Mathematical Programming Ser. B, 117 :21–50 (2009), under the title No-gap second-order optimality conditions for optimal control problems with a single state constraint and control.
Our paper deals with state-constrained optimal control problems. This occurs in many ap- plications, see e.g. [11, 12, 5, 27, 9]. In optimal control theory, no-gap second-order optimality conditions were known for mixed control-state constraints, see e.g. Milutyin-Osmolovskii [105, Part. 2], Osmolovskii [108, 109], and Zeidan [127], whose results use conjugate point theory and Riccati equations.
Generally speaking, problems with non positivity constraints in spaces of continuous func- tions do not fit into these frameworks, where no-gap second-order conditions were obtained. The expression of the curvature term in this case was obtained by Kawasaki [79, 78] in the one dimensional case, and generalized in Cominetti and Penot [42]. Necessary conditions for vari- ational problems with state constraints taking into account the curvature term can be found in Kawasaki and Zeidan [80]. However, only sufficient conditions without curvature terms were known. Two exceptions are a quite specific situation studied in [16] (with applications to some eigenvalue problems), and the case of finitely many contact points, when the problem can be reduced locally to finitely many inequality constraints in semi-infinite programming, see e.g. Hettich and Jongen [72].
Our main result is the following. By a localization argument, we split the curvature term into a finite number of contributions of boundary arcs and touch points. Using the theory of junction conditions in Jacobson et al. [75] and Maurer [98], we are able to prove that, under quite weak assumptions, the contribution of boundary arcs to the curvature term is zero. For touch points, we use a reduction argument for those that are essential (i.e. that belong to the support of the multiplier) and we make no hypotheses for the non essential ones. The only delicate point is to compute the expansion of the minimum value of a function in W2,∞. Since it is not difficult to state sufficient conditions taking into account essential reducible touch points, we obtain in this way no-gap conditions, that in addition characterize quadratic growth in a convenient two-norms setting.
The paper is organized as follows. In section 1.2, we recall the material needed, in both points of view of abstract optimization and junction conditions analysis. The main contribu- tions of the paper are in sections 1.3-1.5 where the no-gap second-order condition is established. Section 1.3 states the second-order necessary condition (computation of the curvature term). Section 1.4 handles the second-order sufficient condition. In section 1.5, a reduction approach is presented in order to deal with the non-zero part of the curvature term.