de transport [SW03, BHL03, EP04]. Des estimateurs d’erreur a posteriori pour des probl`emes paraboliques non-lin´eaires sont analys´es dans [JR94, EJ95, EEHJ95]. • Estimation de l’erreur de mod´elisation.
Les estimateurs d’erreur a posteriori que nous avons vus jusqu’`a maintenant per- mettent de contˆoler l’erreur de discr´etisation en une certaine norme. Pourtant une autre source d’erreur existe : l’erreur de mod´elisation. En effet, il est tr`es fr´equent que le mod`ele le plus appropri´e `a la situation consid´er´ee et donc le plus pr´ecis ne puisse ˆetre simul´e en raison des coˆuts de calcul prohibitifs qu’il engendre. Ainsi, un autre mod`ele plus simple et moins pr´ecis va ˆetre pr´ef´er´e, au moins dans certaines parties du domaine de calcul. Cependant, nous ne savons pas a priori quelles par- ties du domaine requi`erent le mod`ele pr´ecis. R´ecemment Braack et Ern [BE03] ont propos´e une m´ethode d’adaptation conjointe du mod`ele et du maillage bas´ee sur la r´esolution d’un probl`eme dual. Le probl`eme dual pemet de mesurer l’influence du mod`ele en une fonctionnelle de la solution approch´ee.
1.5
Plan du m´emoire
Le reste de ce m´emoire est compos´e de quatre chapitres et de deux annexes. Le chapitre 2 est consacr´e `a l’´etude de l’´equation de Darcy dans un milieu poreux satur´e h´et´erog`ene et les chapitres 3 et 4 sont consacr´es `a l’´etude des ´equations de convection–diffusion– r´eaction. Le chapitre 5 pr´esente les conclusions et les perspectives. L’annexe A rassemble divers r´esultats techniques utilis´es dans ce m´emoire. L’annexe B pr´esente l’algorithme de raffinement adaptatif utilis´e pour les simulations num´eriques. Enfin, les notations utilis´ees sont indiqu´ees dans une nomenclature.
• Chapitre 2. Dans ce chapitre, nous nous int´eressons `a la discr´etisation de l’´equation de Darcy (1.2) par le sch´ema boˆıte. Nous nous int´eressons en particulier au cas o`u les contrastes de perm´eabilit´e sont tr`es importants. Nous montrons le caract`ere bien pos´e de (1.16) et nous pr´esentons une analyse d’erreur a priori . Une attention particuli`ere est port´ee au fait que les constantes apparaissant dans les estimations sont ind´ependantes des fluctuations de la perm´abilit´e. Nous pr´esentons une analyse d’erreur a posteriori . Une premi`ere analyse a posteriori est faite en utilisant les techniques d’estimateurs d’erreur a posteriori par r´esidu. Cette analyse porte sur la formulation mixte (1.16) et ´egalement sur sa formulation primale ´equivalente en pres- sion (1.11). Une deuxi`eme analyse a posteriori est faite en utilisant les techniques
d’estimateurs d’erreur a posteriori hi´erarchiques pour la formulation primale en pression (1.11). Nous proposons trois estimateurs hi´erarchiques. Un premier estima- teur bas´e sur une hypoth`ese de saturation est obtenu par enrichissement de l’espace de Crouzeix–Raviart par des bulles non-conformes sur les ´el´ements. Un deuxi`eme estimateur ´egalement bas´e sur cette hypoth`ese de saturation et sur l’hypoth`ese de Cauchy–Schwarz forte est obtenu par enrichissement de l’espace de Crouzeix– Ravaiart par des bulles quadratiques sur les faces. Le dernier estimateur est obtenu par enrichissement de l’espace de Crouzeix–Raviart par des bulles quadratiques sur les faces. Ce dernier estimateur pr´esente l’avantage de ne pas reposer sur une hy- poth`ese de saturation. Nous terminons ce chapitre par des tests num´eriques illustrant les r´esultats th´eoriques.
• Chapitre 3. Ce chapitre est consacr´e `a l’´etude de l’´equation de convection–diffusion– r´eaction avec des conditions aux limites de Dirichlet homog`enes. Nous montrons le caract`ere bien pos´e du sch´ema non-conforme stabilis´e par viscosit´e de sous-maille (1.40). Nous en faisons ´egalement l’analyse d’erreur a priori et montrons qu’il poss`ede les mˆemes propri´et´es de convergence que les sch´emas usuels. Par conden- sation des bulles non-conformes nous obtenons un probl`eme ´equivalent pos´e sur l’espace des ´echelles r´esolues. Puis nous nous int´eressons `a la formulation mixte des ´equations de convection–diffusion–r´eaction (1.22). Nous montrons que la formula- tion mixte non-sym´etrique (1.24) est bien pos´ee. Nous discr´etisons cette formulation par un sch´ema boˆıte et montrons que celui-ci est ´equivalent au probl`eme pos´e sur les ´echelles r´esolues et `a une reconstruction du flux discret sur un patch d’´elements du maillage. Ensuite, nous pr´esentons une analyse d’erreur a posteriori de (1.40) bas´e sur les techniques d’estimation d’erreur par r´esidu. Nous montrons que certains indicateurs sont robustes au sens de Verf¨urth [Ver98]. Pour finir, nous pr´esentons des tests num´eriques illustrant les r´esultats th´eoriques.
• Chapitre 4. Dans ce chapitre, nous nous int´eressons `a l’´equation de convection– diffusion–r´eaction avec des conditions aux limites mixtes de type Robin–Neuman. Nous montrons le caract`ere bien pos´e du sch´ema non-conforme stabilis´e par p´enalisation sur les faces (1.43). Nous en effectuons par la suite l’analyse d’erreur a priori et nous montrons qu’il poss`ede les mˆemes propri´et´es de convergence que les sch´emas usuels. Puis nous pr´esentons une analyse d’erreur a posteriori bas´ee sur la technique d’esti- mateur par r´esidu. Nous montrons que certains indicateurs d’erreur a posteriori sont
1.5. Plan du m´emoire
robustes au sens de Verf¨urth. Nous terminons le chapitre par des tests num´eriques illustrant les r´esultats th´eoriques.
Les r´esultats pr´esent´es dans le chapitre 2 ont donn´es lieu `a une publication [EAE04]. Les publications relatives aux r´esultats pr´esent´es dans dans les chapitres 3 et 4 sont en cours de r´edaction.
Chapitre 2
L’´equation de Darcy `a
perm´eabilit´e variable
2.1
Introduction
L’´ecoulement stationnaire dans un milieu poreux satur´e est g´en´eralement mod´elis´e par les ´equations de Darcy :
(
σ + k∇u = 0 dans Ω ,
∇·σ = f dans Ω , (2.1)
o`u σ est le vecteur vitesse, k la conductivit´e hydraulique (ou la perm´eabilit´e) qui est uni- form´ement minor´ee par un r´eel strictement positif, u la pression (ou la charge hydraulique `a une transformation affine pr`es), et f le terme source repr´esentant les sources ou puits de masse dans le domaine Ω. La premi`ere ´equation dans (2.1) est la loi ph´enom´enologique de Darcy et la seconde ´equation exprime la conservation de la masse. Le probl`eme (2.1) est pos´e dans un domaine Ω et est ferm´e par des conditions sur la fronti`ere ∂Ω qui portent sur le flux ou sur la pression. L’´elimination de la vitesse conduit au probl`eme elliptique suivant :
−∇·(k ∇u) = f . (2.2)
Dans ce chapitre, nous nous int´eressons `a une formulation dans laquelle les espaces de so- lution pour la pression et pour la vitesse ont plus de r´egularit´e que les espaces des fonctions tests [CC98, Cro00]. Supposons pour simplifier que l’on impose des conditions aux limites de Dirichlet homog`enes sur la pression, et supposons que la conductivit´e hydraulique k est dans L∞(Ω) et que la donn´ee f est dans L2(Ω). Consid´erons la formulation faible de
(2.1) suivante :
Chercher (σ, u)∈ H(div; Ω) × H01(Ω) tel que R Ωσ·τ + R Ωk τ·∇u = 0 ∀ τ ∈ [L2(Ω)]d, R Ωv∇·σ = R Ωf v ∀ v ∈ L2(Ω) , (2.3)
o`u H(div; Ω) ={ σ ∈ [L2(Ω)]d,∇·σ ∈ L2(Ω)} et d = 2, 3 est la dimension de l’espace. Des
conditions aux bords sur le flux peuvent ˆetre impos´ees en consid´erant un sous-espace de H(div; Ω). La formulation faible sur H1
0(Ω) de (2.2) est ( Trouver u∈ H1 0(Ω) tel que R Ωk∇u·∇v = R Ωf v ∀ v ∈ H01(Ω) . (2.4)
Ce chapitre est organis´e comme suit. Le caract`ere bien pos´e de (2.3), l’approximation de (2.3) par un sch´ema boˆıte et l’analyse d’erreur a priori du sch´ema sont pr´esent´es `a la section 2.2. Des estimations d’erreur a posteriori de type r´esidu sont ´etudi´ees `a la section 2.3. Deux estimateurs sont ´etablis, l’un bas´e sur la formulation mixte, l’autre bas´e sur une formulation primale ´equivalente pour la pression discr`ete. Des estimations de type hi´erarchique sont analys´ees `a la section 2.4. Des estimateurs utilisant des bulles non- conformes sur les ´el´ements du maillage et des bulles conformes sur les faces du maillage sont consid´er´es. Des r´esultats num´eriques sont pr´esent´es `a la section 2.5, et on finira par quelques conclusions `a la section 2.6.