Placement de capteurs pour le recouvrement de l’observabilit´e partielle

in-versible `a gauche, on a V_ess(U, ˜Y) = V_ess( ˜U₀, ˜Y₀ ∪ ˜X_s) ∪ ˜U₁. Cela implique que l’expression

˜

X₀⊆ V_ess( ˜U₀, ˜Y₀∪ ˜X_s) est ´equivalente `a ˜X₀⊆ V_ess(U, ˜Y).

Si cette condition n’est pas v´erifi´ee alors ˜X_∅ d´efini par ˜X_∅ ^def= ˜X₀ \ ( ˜X₀ ∩ V_ess(U, ˜Y)) est un

ensemble non vide. D’une part, le placement de capteurs sur les ´etats ou les entr´ees associ´es `a ˜

X₁∪ ˜X_s∪ ˜U₁ serait compl`etement inutile car il n’aurait aucun effet sur la condition de distance

Cond. 3. D’autre part, suite `a la validit´e des conditions Cond. 1. et Cond. 2., quel que soit

l’emplacement des nouveaux capteurs z, on a V_ess(U, ˜Y ∪ Z) ⊆ V_ess(U, ˜Y). En d’autres termes,

le rajout d’un capteur ne peut en aucun cas augmenter le nombre d’´el´ements de V_ess(U, ˜Y ∪ Z).

La seule solution qui permettrait d’avoir ˜X₀ ⊆ V_ess( ˜U₀, ˜Y₀∪ ˜X_s) est donc de r´eduire le nombre

d’´el´ements de ˜X₀. Ainsi, il s’agit de placer des capteurs tels que, pour tout ´el´ement x_i ∈ ˜X_∅,

ρ^£U ∪ {x_i}, ˜Y ∪ Z^¤> ρ^£U, ˜Y ∪ Z^¤= ρ^£U, ˜Y^¤= card(U). Cela permettrait de r´eduire l’ensemble

˜

X₀ et d’en enlever tous les ´el´ements se trouvant dans ˜X_∅.

Une condition n´ecessaire et suffisante pour cela est que les capteurs rajout´es doivent

mesu-rer, pour chaque x_i ∈ ˜X_∅, au moins un ´el´ement dans chaque ensemble δi ^def=

n

vj ∈ ˜X0 ∪

˜

U₀, v_j couvert par un chemin U ∪ {x_i} − Si(U ∪ {x_i}, ˜Y) direct d’une longueur 6= 0^o∪^¡C_i∩ ˜X_∅)o`u C_i

est la composante connexe comprenant x_i.

En posant pour tout x_j ∈ ˜/ X_∅, δ_j = X ∪ U et en ordonnant les ensembles δ_i, i = 1, . . . , n avec la

relation d’inclusion “ ⊆ ” qui est une relation d’ordre partiel, on a alors :

Proposition 1.7 Soit le syst`eme lin´eaire structur´e Σ_Λ repr´esent´e par le graphe orient´e G(Σ_Λ).

Afin de satisfaire `a la condition de distance (Cond. 3.), il est n´ecessaire que les capteurs rajout´es mesurent au moins une composante d’´etat o`u d’entr´ee associ´ee `a un ´el´ement de chaque ensemble δ<sub>i</sub> constituant un ´el´ement minimal par rapport `a la relation d’ordre “⊆”.

De mˆeme que pour la condition de connectivit´e `a la sortie, la proposition 1.7 donne une condition n´ecessaire sur l’emplacement des nouveaux capteurs mais ne donne pas leur nombre minimal. En effet, un seul capteur est suffisant s’il mesure une combinaison des composantes de l’´etat incluant

au moins un ´el´ement de chaque ensemble δ_i qui est ´el´ement minimal par rapport `a la relation

d’ordre “⊆”. En particulier, il est aussi possible d’utiliser, th´eoriquement, les capteurs rajout´es pour le recouvrement de la condition de couplage pour assurer aussi le recouvrement de la condition de distance. En effet, en plus des contraintes de la proposition 1.5, il est possible d’imposer `a

l’ensemble Z₁ de satisfaire `a θ^¡δ_i, Z₁^¢6= 0 pour tout ensemble minimal δ_i. Cela aura pour effet de

ne pas augmenter le nombre de capteurs requis qui restera ´egal `a γ.

1.7 Placement de capteurs pour le recouvrement de l’observabilit´e

partielle

1.7.1 Position du probl`eme

Dans ce paragraphe, le placement de capteurs additionnels a pour objectif de rendre fortement ob-servable une partie quelconque de l’´etat et de l’entr´ee. Pour les mˆemes raisons cit´ees au paragraphe 1.4, cette partie de l’´etat et de l’entr´ee est associ´ee `a un ensemble de sommets ∆ ⊆ X ∪ U.

`

A cette fin, on s´epare la condition de la proposition 1.2 en deux conditions :

Cond. 5. tout sommet de ∆ est le d´ebut d’au moins un chemin atteignant un sommet de Y (condition de connectivit´e `a la sortie),

Cond. 6. ∀v ∈ ∆, β^¡Y ∪ {v}^¢= β(Y) (condition β).

Ce probl`eme est plus complexe que le probl`eme du placement de capteurs pour le recouvrement de l’observabilit´e totale de l’´etat et des entr´ees inconnues. D’une part, des ´el´ements ext´erieurs `a ∆ peuvent influencer le placement de capteurs et mˆeme faire partie des composantes `a mesurer dans une solution optimale. D’autre part, il est impossible de transformer la condition β en une condition de couplage. En effet, par exemple, des ´el´ements peuvent ˆetre essentiels dans un couplage

entre X₁∪ U₁∪ X_s et X₁∪ Y₁ sans ˆetre associ´es `a des composantes fortement observables.

Les ´el´ements de r´eponse apport´es `a ce probl`eme s’articulent autour des deux conditions Cond. 5. et Cond. 6.. Le crit`ere d’´evaluation des solutions utilis´e est fond´e sur la fonction β.

1.7.2 Recouvrement de la condition de connectivit´e `a la sortie

L’approche adopt´ee pour le recouvrement de cette condition par ajout de capteurs est tr`es similaire

`a celle du paragraphe 1.6.3. Soit l’ensemble de sommets ∆₁ = ^©v ∈ ∆, ρ^£{v}, Y^¤ = 0^ª. Cet

ensemble regroupe tous les sommets de ∆ qui ne sont pas connect´es `a une sortie de Y.

La relation “4” d´efinie dans le paragraphe 1.6.3 permet d’ordonner partiellement les composantes

connexes relatives aux ´el´ements de ∆₁. Soit I∗ l’ensemble des sommets de ∆₁dont les composantes

fortement connexes sont minimales dans ∆₁ i.e.

I^∗ = n

v ∈ ∆₁, @v⁰ ∈ ∆₁ v´erifiant ρ^£{v}, {v⁰}^¤> ρ^£{v⁰}, {v}^¤o

Pour chaque ´el´ement v de cet ensemble, on associe un ensemble Ω_v form´e des successeurs de v

Ω_v=

n

v⁰∈ X ∪ U, ρ^£{v}, {v⁰}^¤= 1 o

En utilisant les ensembles pr´ec´edemment d´efinis, la proposition suivante ´enonce une contrainte `a laquelle doit satisfaire tout placement de capteurs servant `a recouvrer la condition de connectivit´e `a la sortie de ∆ (Cond. 5.) :

Proposition 1.8 Soit le syst`eme lin´eaire structur´e Σ_Λ repr´esent´e par le graphe orient´e G(Σ_Λ).

Afin de satisfaire `a la condition de connectivit´e `a la sortie (Cond. 5.), il est n´ecessaire que les capteurs rajout´es mesurent, pour tout v ∈ I∗, au moins un ´el´ement dans l’ensemble Ω_v.

La proposition 1.8 ne donne pas le nombre minimal de capteurs `a placer pour recouvrer la condition de connectivit´e `a la sortie de ∆ (Cond. 5.) . En effet, l`a aussi un seul capteur est suffisant s’il mesure une combinaison des composantes de l’´etat incluant au moins un ´el´ement dans chaque

ensemble Ω_v, pour tout v ∈ I∗. Par ailleurs, il serait inutile de placer plus de card(I∗) capteurs

afin de satisfaire la condition de connectivit´e `a la sortie (Cond. 5).

1.7.3 Recouvrement de la condition β

Dans ce paragraphe, la condition de connectivit´e `a la sortie (Cond. 5.) est suppos´ee ˆetre satisfaite. Concernant l’ajout de capteurs pour satisfaire `a la condition β (Cond. 6.), les r´esultats sont moins

1.7 Placement de capteurs pour le recouvrement de l’observabilit´e partielle 59 efficaces ou incisifs que ceux concernant le recouvrement de l’observabilit´e totale. Le point de d´epart du raisonnement suivi est que pour garantir l’observabilit´e d’un ´el´ement v de ∆, il suffit de placer un capteur dont la mesure est la combinaison d’un ´el´ement de

Γ_v=

n

v⁰∈ X ∪ U, β(Y ∪ {v⁰}) = β^¡Y ∪ {v, v⁰}^¢o

et d’´el´ements de V_obs (d´efini dans le paragraphe 1.4.3).

Cette condition n’´etant que suffisante, on en d´eduit une proc´edure syst´ematique de placement de capteurs assurant l’observabilit´e des ´el´ements de ∆ qui n’est ni exhaustive ni optimale du point de vue du nombre de capteurs rajout´es.

Les ensembles Γ_v, v ∈ ∆ sont partiellement ordonn´es en utilisant la relation d’inclusion “⊆”. ∆^∗₂

est alors d´efini comme ´etant un sous-ensemble de ∆ relatif aux ´el´ement minimaux par rapport `a cette relation i.e.

∆^∗₂^def=

n

v ∈ ∆, @v⁰∈ ∆ satisfaisant Γ_v0 ⊂ Γ_v

o

La proposition suivante donne une condition suffisante pour le placement de capteurs permettant le recouvrement de l’observabilit´e forte des ´el´ements de ∆ pour le syst`eme compl´et´e.

Proposition 1.9 [Boukhobza, 2008b] Soit le syst`eme lin´eaire structur´e Σ_Λrepr´esent´e par le graphe

orient´e G(Σ_Λ). Afin de satisfaire `a la condition β, il est suffisant de rajouter des capteurs repr´esent´es

par un ensemble de sommets Z tel qu’il existe V_X,U⊆^{¡ [}

v∈∆∗ 2

Γ_v^¢ satisfaisant aux contraintes :

       ∀v ∈ ∆^∗₂, V_X,U∩ Γ_v6= ∅ θ h (X ∪ U) \ V_obs, Z i = card(V_X,U) + θ h (X ∪ U) \ (V_obs∪ V_X,U), Z i

θ^£V_X,U, Z^¤= card(V_X,U)

(1.6)

A noter que dans le cas o`u l’on veut recouvrer l’observabilit´e forte de l’´etat i.e. ∆ = X, les conditions

pour le placement de capteurs sont identiques `a celles donn´ees au paragraphe 1.6 en rempla¸cant dans le graphe orient´e repr´esentant le syst`eme l’ensemble des sommets d’entr´ee U par n’importe

quel ensemble ¯U ⊆ U tel que θ^£U, X ∪ Y^¤= θ^£U, X ∪ Y^{¯ ¤}= card( ¯U).

1.7.4 Analyse et critique du r´esultat obtenu

La proposition 1.9 permet d’obtenir une proc´edure de placement de capteurs garantissant l’observa-bilit´e forte des composantes de l’´etat et de l’entr´ee associ´ees aux ´el´ements de ∆. Cependant, d’une part, comme le montre l’exemple suivant, cette proc´edure n’est pas exhaustive car elle ne permet pas d’obtenir tous les placements de capteurs possibles permettant de rendre fortement observables les composantes de l’´etat et de l’entr´ee associ´ees aux ´el´ements de ∆.

Exemple 1.4 Soit le syst`eme lin´eaire structur´e associ´e au graphe orient´e repr´esent´e sur la figure

1.3. On d´esire rendre fortement observables les ´el´ements de ∆ = {x₃, x₄}. Des calculs relativement simples permettent d’´ecrire Γ_x3 = {x₃} et Γ_x4 = {x₄}. Il est, de plus, facile de voir que n’importe quelle solution n´ecessiterait deux capteurs. N´eanmoins, la solution consistant `a mesurer x₅ et x₄

partie d’aucun de ces ensembles. Ainsi, travailler uniquement sur les ensembles Γ_v, comme cela est pr´econis´ee par la proposition 1.9 ne garantit pas d’avoir toutes les solutions de placement de capteurs permettant le recouvrement de la propri´et´e d’observabilit´e forte des ´el´ements de ∆.

y₁ u₁ x₁ x₇ x₄ x₃ x₅ x₂ x₆ x₈ Fig. 1.3: Exemple 1.4

D’autre part, la proposition 1.9 ne donne aucune information sur le nombre minimal de capteurs n´ecessaire au recouvrement de l’observabilit´e forte des ´el´ements de ∆. En effet, la solution propos´ee

comporte au plus card(∆∗

2) capteurs. Il peut ´evidemment y avoir des solutions avec moins de

capteurs et mˆeme des solutions qui ne mesurent aucun ´el´ement dans l’un des ensembles Γ_v, v ∈ ∆∗

2

comme l’illustre l’exemple suivant :

Exemple 1.5 Consid´erons le mˆeme syst`eme que dans l’exemple 1.4 avec cette fois-ci un ensemble

∆ = {u₁, x₁, x₂}. Le calcul des ensembles Γ_x1, Γ_x2 et Γ_u1 donne :

Γ_x1 = {x₁, x₃, x₆}, Γ_x2 = {x₂, x₅, x₈} et Γ_u1 = {u₁, x₄, x₇}.

Ainsi, Γ_x1, Γ_x2 et Γ_u1 sont mutuellement disjoints. Subs´equemment, toute solution satisfaisant aux contraintes (1.6) doit comporter au moins trois capteurs. Cependant, il existe bien une solution ne n´ecessitant seulement que deux capteurs : z₁ = x₃ et z₂ = x₄ par exemple. Cette solution n’inclut aucun ´el´ement de Γ_x2.

Par cons´equent, le nombre minimal de capteurs ne peut ˆetre li´e uniquement au nombre minimal

d’´el´ements appartenant `a un ensemble V_X,U^∗ sous la contrainte ∀v ∈ ∆∗

2, Γ_v∩ V_X,U^∗6= ∅. Certes,

une solution avec un nombre de capteurs ´egal `a card^¡V_X,U^∗¢existe mais il n’est pas garanti qu’il

n’y ait pas de solutions utilisant moins de capteurs.