Place de la notion de fonction dans les programmes actuels de

terminale en Turquie……… ... ....53

1.1 Définition ensembliste et représentation graphique………… ... ...54 1.2 Egalité des fonctions à partir d’ensembles……… ... .…….…….54 1.3 Propriétés particulières des fonctions ... .55 1.4 Composition des fonctions……… . ……….……....55 1.5 Conclusion …… ... ………56 2. Analyse du manuel de lycée Tutibay …………. ... ………...57 2.1 Définition ensembliste de la notion de fonction……… ... …….………57 2.2 Représentation graphique des fonctions dans un repère orthonormé…… . ……….58 2.3 Egalité des deux fonctions… ... ………..58 2.4 Propriétés particulières des fonctions………… . ……….59 2.5 Ensembles infinis ou finis et ensembles équipotents……… ... ……….…….61 2.6 Composition des fonctions…… ... ……….….62 2.7 Définition de l’inverse d’une fonction……… ………62 2.8 Synthèse……… ... ………..65 3. Analyse du manuel Officiel……… ... ………...….………...69 3.1 Définition ensembliste de la notion de fonction…………... ……….69 3.2 Représentation graphique des fonctions dans un repère orthonormé……… . …….70 3.3 Egalité des deux fonctions…… ……….………….70 3.4 Propriétés particulières des fonctions et fonctions particulières… . ……….70 3.5 Définition de l’inverse d’une fonction……… ... ………72 3.6 Ensembles infinis et équipotents……… ... ……….73 3.7 Composition des fonctions……… .... ………..73 3.8 Exercices résolus……… .... ……….74 3.8.1 Thème III :recherche de l’inverse d’une fonction…………... ………..74 3.8.2 Thème IV :composition des fonctions…… ... ………...75 3.8.3 Thème V :image d’un nombre réel ou une expression algébrique…… ....…..77 3.8.4 Thème VI :représentation graphique des fonctions ... ..78 3.9 Synthèse……… ... ………..78 4. Analyse du manuel de préparation au concours Güvender… ... ……….…….83 4.1 Définition ensembliste de la notion de fonction…… ... …….………83 4.2 Propriétés particulières des fonctions et fonctions particulières………… . ……….84 4.3 Quatre opérations sur les fonction……….……… . …...………..85 4.4 Définition de l’inverse d’une fonction……… ... ………86 4.5 Composition des fonctions……… .... ………..88 4.6 Représentation graphique des fonctions dans un repère orthonormé……… . ..89 4.7 Exercices résolus……… .... ……….89 4.7.1 Thème I :définition ensembliste de la notion de fonction et ensembles… ..…89 4.7.2 Thème II :recherche de l’inverse d’une fonction définie algébriquement… .. 90 4.7.3 Thème III :composition des fonctions définies algébriquement ou

à partir d’ensembles………… ... ……….90 4.7.4 Thème IV :image d’un nombre réel ou d’une expression par une fonction ... .93 4.7.5 Thème V :représentation graphique des fonctions ... .95 4.8 Synthèse……… ………..95 5.Comparaison des analyses des manuels………… .... ……….………100 6.Conclusion……… ... ………..………110

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Afin de comparer les manuels de lycée et ceux de préparation au concours et de mettre en évidence les similarités et les divergences, l’enjeu fort du concours dans les manuels de lycée, dans ce chapitre, nous allons continuer notre travail par l’analyse des manuels. Comme nous l’avons déjà indiqué, nous avons choisi sept manuels dont l’un est le manuel officiel et trois sont les manuels de préparation au concours les plus utilisés.

En particulier, pour chaque manuel nous décrirons : les activités introductrices, le cours, les travaux pratiques et les exercices résolus suivant les lignes directrices précisées dans la partie méthodologique. Nous donnerons ici l’analyse de deux manuels de lycée et d’un manuel de préparation au concours manuel par manuel. Nous avons mis l’analyse des quatre autres manuels en annexes1. Nous allons terminer cette partie par une synthèse comparative des données recueillies.

Avant de passer à l’analyse des manuels, nous allons mettre en évidence la place de la notion de fonction dans les programmes actuels en Turquie.

1. Place de la fonction dans les programmes actuels de seconde, de première

et de terminale en Turquie

Il nous semble tout d’abord nécessaire d’indiquer que les programmes officiels turcs sont très courts. On annonce simplement des objectifs et des compétences exigibles sans détailler. Il est très rarement possible de trouver des commentaires, des explications et des exemples. En Turquie la notion de fonction est, pour la première fois, introduite en classe de seconde. A ce niveau l’élève rencontre une définition2, des propriétés particulières des fonctions et des fonctions particulières, la composition des fonctions et la définition de l’inverse d’une fonction. Dans cette classe ultérieurement on traite le chapitre « polynomes », et on revoit

1

Voir annexe I. 2

alors la notion de fonction. En première l’élève est face aux fonctions trigonométriques, logarithmiques, exponentielles et fonctions de permutation. En classe de terminale la composition des fonctions et l’inverse de la fonction sont brièvement reprises d’un point de vue ensembliste. De plus les fonctions croissantes et décroissantes, les fonctions paires et impaires, les quatre opérations sur les fonctions, des fonctions particulières ( fonction définie par morceaux, fonction valeur absolue, fonction signe3, et fonction valeur entière4 ) figurent dans le programme de terminale.

Par ailleurs, en terminale l’élève continue à utiliser la notion de fonction en travaillant sur les limites de fonctions, la continuité des fonctions et les dérivées des fonctions.

Dans le programme officiel de la classe de seconde les fonctions sont mises en place en même temps que la notion de correspondance entre ensembles et de loi de composition interne5 dans un même chapitre. Nous avons classé les notions qui apparaissent ensuite dans le programme de seconde en quatre rubriques:

1.1 Définition ensembliste et représentations graphiques

Il n’y a aucune indication sur la façon de définir «les fonctions ». C’est la raison pour laquelle le choix de définition reste assez flou. Cependant le fait que des éléments sur les ensembles et les correspondances entre ensemble précédent les fonctions conduit à penser que la définition ensembliste des fonctions est préconisée. Dans ce cadre on attend des élèves de pouvoir définir les fonctions à partir d’ensembles, l’ensemble de définition, l’ensemble d’arrivée, l’ensemble image et de les représenter graphiquement (par exemple avec des diagrammes sagittaux). De plus l’élève est aussi amené à chercher si une correspondance donnée (algébriquement ou à partir d’ensembles) est une fonction. Nous constatons que la représentation graphique d’une fonction donnée dans un repère orthonormé ainsi que le passage de l’écriture ensembliste à l’écriture sous forme de liste6 figurent dans le programme.

1.2 Egalité des fonctions à partir d’ensembles

Dans cette partie on propose de définir l’égalité des deux fonctions à partir d’ensembles et chercher si deux fonctions données sont égales.

3

y=sign(f(x)) 4 _{f(x)= E(x)} 5

Soit A un ensemble non vide. Chaque fonction définie d’un sous-ensemble quelconque non vide de AxA vers A est appelée « loi de composition interne » sur A.

6

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1.3 Propriétés particulières des fonctions et fonctions particulières

Nous trouvons, dans le programme de seconde, quelques propriétés des fonctions et quelques fonctions particulières. Ainsi on demande de définir à partir d’ensembles les fonctions injectives, surjectives, non surjectives, la fonction identique, les fonctions constantes et nulle. Malgré cette diversité, les fonctions linéaires, affines ne sont pas mises en place dans le programme. La reconnaissance des propriétés particulières d’une fonction donnée et l’écriture d’une fonction ayant une de ces propriétés sont dans les compétences exigibles7 des élèves. Le programme introduit enfin la définition des ensembles infinis et l’équipotence des deux ensembles grâce à une correspondance bijective

1.4 Compositions des fonctions

Dans cette dernière partie, le programme a pour objectif de définir à partir d’ensembles la composition des fonctions et de montrer que cette opération est associative et non commutative. De plus la définition de l’inverse d’une fonction bijective et celle de la fonction identique sont données8 à partir de la composition. Le programme introduit la composée d’au maximum trois fonctions définies de manière ensembliste, la composée d’une fonction donnée et son inverse et enfin l’inverse de l’inverse d’une fonction. La représentation graphique d’une fonction donnée et celle de son inverse dans un même plan muni d’un repère orthonormé et la reconnaissance de la relation entre elles sont aussi indiquées dans le programme de seconde. L’élève est amené à trouver et écrire la fonction f lorsqu’on lui a donné la composée fog (ou gof) et g.

Enfin il y a une petite explication dans laquelle les auteurs proposent d’abord d’introduire la loi de composition interne et ses propriétés avant la composition des fonctions. De plus ils conseillent d’aborder la fonction identique et l’inverse des fonctions à partir de la composition et d’expliquer des ensembles équipotents et des ensembles infinis avec des exemples grâce aux fonctions bijectives. Ensuite ils proposent l’exemple suivant :

Pour |N={0,1,2,3…..}, P={0,2,4,6…..} et P ⊂ |N f : |N→P _{est définie pour tout x de |N par} f(x)=2x. Comme la fonction f est bijective, donc |N ≡ P et les ensembles |N et P sont les

ensembles infinis.

7

Compétences exigibles=compétences déduites du programme. 8

1.5 Conclusion

L’élève rencontre pour la première fois la notion de fonction en seconde. Malgré cela on aborde presque toutes les notions ensemblistes à ce propos. Cependant nous voyons en général que la notion apparaît exclusivement comme « objet9 », sauf dans la démonstration de « équipotence des ensembles infinis où on utilise comme « outil10 » la bijectivité d’une fonction.

Nous allons vérifier dans les manuels le respect de ce programme tant au niveau du cours qu’en ce qui concerne les exercices. Est-ce que le caractère outil des fonctions apparaît ? Les élèves auraient-ils à mélanger plusieurs notions ? Est-ce que les seuls cadres d’utilisation vont être les cadres ensemblistes, algébriques et graphiques ?

9

Cf. Douady (1987). 10

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