2.2 Construction de notre système d’analyse automatique de la pénibilité
2.2.4 Pipeline final de notre processus de calcul des indicateurs de pénibilité
Defini¸c˜ao 2.4.1 Um grupo finito G tem cohomologia peri´odica se para algum d = 0 existe um elemento u ∈ Hd(G, Z) que ´e invert´ıvel no anel H∗(G, Z).
Assim o produto cup com u nos d´a o isomorfismo de periodicidade u ∪ − : Hn(G, M )−→ ≈ Hn+d(G, M ) (∗) para todo n ∈ Z e todo G-m´odulo M.
De fato
i) Se u ∪ v1= u ∪ v2 u
−1
⇒ v1 = v2, portanto u ∪ − ´e injetora.
ii) Seja z ∈ Hn+d(G, M ), existe v = u−1 ∪ z ∈ Hn(G, M ) tal que u ∪ v = z, pois
u−1∈ H−d(G, M ). Assim u ∪ − ´e sobrejetora.
Em particular, tomando n = 0 e M = Z, temos que Hd(G, Z) ≈ Z/|G|.Z e que u gera
Hd(G, Z).
Se sabemos que um grupo G tem cohomologia peri´odica, ent˜ao a tarefa de computar H∗(G)
se torna bem mais simples. Assim ´e interessante termos um crit´erio para decidir quando G tem cohomologia peri´odica.
Teorema 2.4.1 As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes: (i) G tem cohomologia peri´odica.
(ii) Existem inteiros n e d, com d = 0, tais que Hn(G, M ) ≈ Hn+d(G, M ) para todo
G-m´odulo M.
(iii) Para algum d = 0, Hd(G, Z) ≈ Z/|G|.Z.
2.4 Grupos com Cohomologia Peri´odica
Demonstra¸c˜ao:
(i) ⇒ (ii) segue direto de (*).
Se (ii) ´e verdadeiro ent˜ao,pela t´ecnica de deslocamento de dimens˜oes (dimension-shifting), temos que Hk(G, N ) ≈ Hk+d(G, N ), para todo k ∈ Z e todo G-m´odulo N . De fato
Se existem inteiros n e d, com d = 0, tais que Hn(G, M ) ≈ Hn+d(G, M ) para todo G-m´odulo,
ent˜ao pelo deslocamento de dimens˜ao temos
Hk(G, N ) ≈ .... ≈ Hn(G, M ) ≈ Hn+d(G, M ) ≈ .... ≈ Hk+d(G, N )
ent˜ao vale pra todo k ∈ Z e todo N G-m´odulo. Tomando k = 0 e N = Z, n´os obtemos (iii). (iii) ⇒ (iv) Segue direto de d = 0, Hd(G, Z) ≈ Z
|G|.
(iv) ⇒ (i) Seja u ∈ Hd(G, Z) tal que ordem de u ´e |G|. Ent˜ao o subgrupo Zu de Hd(G, Z)
´e isomorfo a Z|G| ≃ |G|−1Z/Z.
Considere f : Zu −→ |G|−1Z/Z ⊂ Q/Z tal que f (u) = 1
|G| + Z ≡ 1 ∈ Z|G|.
Como Q/Z ´e um Z-m´odulo injetivo (ver [3] pag 65), existe uma extens˜ao de f: f : Hd(G, Z) −→ Q/Z
tal que f (u) = 1 ∈ Z|G|.
Mas pela observa¸c˜ao 2.3.2 H d(G, Z) ≃ ρ H−d(G, Z). Assim existe v ∈ H−d(G, Z), v = ρ(u)
com ordem |G|. Considerando a aplica¸c˜ao dada pelo produto cup
Hd(G, Z)−→ −∪v H0(G, Z) ≈ Z|G| ֒→ Q/Z,
segue que f (u) ≡ u ∪ v = u.v. Da´ı temos u.v ≡ 1 ∈ Z|G| e assim u ´e invert´ıvel.
Da defini¸c˜ao2.4.1, segue que G tem cohomologia peri´odica.
Exemplo 2.4.1 Se G ´e um grupo finito que atua livremente em um CW-complexo X
homeomorfo a uma esfera de dimens˜ao ´ımpar S2k−1ent˜ao G tem cohomologia peri´odica.
De fato, pelo Teorema 2.2.1, G admite uma resolu¸c˜ao peri´odica de per´ıodo d = 2k e assim, a condi¸c˜ao (ii) do teorema anterior ´e verdadeira logo G tem cohomologia peri´odica.
Lema 2.4.1 Sejam G um grupo finito atuando livremente em S2n+1 e p um primo que divide
a ordem de G. Ent˜ao a cohomologia Hi(G, Z
p) contˆem Zp como um somando para i = 2n + 1
e i = 2n + 2. Demonstra¸c˜ao:
Pelo Teorema2.4.1temos que H2n+2(G, Z) ≈ Z
|G|, o grupo c´ıclico de ordem |G|. Como G ´e
um grupo finito, pela observa¸c˜ao2.3.1a Z-homologia de G ´e um grupo de tor¸c˜ao em dimens˜oes maiores que zero, isto ´e, Hi(G, Z)= parte de tor¸c˜ao (Hi(G, Z)) e a parte livre de (Hi(G, Z)) ´e
igual a {0}.
Pelo corol´ario1.11.4, temos
Z|G| ≃ H2n+2(G, Z) = parte livre de (H
2n+2(G, Z))⊕ parte de tor¸c˜ao
(H2n+1(G, Z)) = H2n+1(G, Z)
Pelo corol´ario1.11.2, temos
H2n+1(G, Zp) ∼= Hom(H2n+1(G, Z), Zp) ⊕ Ext(H2n(G, Z), Zp)
H2n+2(G, Zp) ∼= Hom(H2n+2(G, Z), Zp) ⊕ Ext(H2n+1(G, Z), Zp)
Como p divide |G|, ent˜ao H2n+2(G, Z
p) possui um somando direto que ´e Ext(Z|G|, Zp) ≃ Zp
(ver [12] 3.1) e H2n+1(G, Z
p) tem um somando direto que ´e Hom(Z|G|, Zp) = Zp. Logo o
Cap´ıtulo
3
Z
p
-coincidˆencias para aplica¸c˜oes de esferas em
CW-complexos
Este cap´ıtulo tem como referˆencia o artigo [9], que estudamos em detalhes. O resultado principal estudado aqui ´e que toda aplica¸c˜ao de uma esfera (2n+1)- dimensional em um CW-complexo finito, k-dimensional e conexo, possui uma Zp-
coincidˆencia se p ´e um primo (p > 2) e 2n + 1 > pk.
3.1
Z
p-coincidˆencias e algumas propriedades
Considere S2n+1 a esfera de dimens˜ao 2n+1 no (n+1)-espa¸co complexo Cn+1. Sejam m > 1 um
inteiro e T : S2n+1 −→ S2n+1 uma transforma¸c˜ao definida por
T (z0, z1, ..., zn) = (e2πi/mz0, e2πi/mz1, ..., e2πi/mzn)
onde z0, z1, ..., zn s˜ao n´umeros complexos com n
i=0
|zi|2 = 1.
Temos que G = {T0 = id, T, T2, ..., Tm−1} ≃ Z
m(opera¸c˜ao composi¸c˜ao) e G atua livremente
Exemplo 3.1.1 Vejamos um caso particular da a¸c˜ao anterior. Considere m = 3 e n = 0. Temos ent˜ao T : S1 −→ S1 definida por T (z
0) = e
2πi 3 z
0 com |z0| = 1.
A transforma¸c˜ao rotaciona o ponto z0 em um ˆangulo de 2π3.
Assim, G = {T0= id, T, T2} com a opera¸c˜ao composi¸c˜ao ´e um grupo isomorfo a Z
3 e define
uma a¸c˜ao em S1 dada por
G × S1 −→ S1
(Tk, z) −→ Tk(z)
Temos tamb´em que a a¸c˜ao de G em S1 ´e livre, pois Tk(z) = z se, e somente se, k = 0.
Defini¸c˜ao 3.1.1 O espa¸co de ´orbitas S2n+1 = S2n+1/Z
m ´e chamado de espa¸co de lens e ´e
denotado por L2n+1 m .
Defini¸c˜ao 3.1.2 Seja Y um espa¸co topol´ogico. Dizemos que uma aplica¸c˜ao f : S2n+1 −→
Y possui uma Zm-coincidˆencia se exite um ponto x ∈ S2n+1 tal que f (x) = f (T (x)) =
f (T2(x)) = ... = f (Tm−1(x)). Isto ´e, f aplica uma ´orbita da a¸c˜ao de G em S2n+1 em um ´unico
ponto.
Exemplo 3.1.2 Seja G = Z2, o Teorema de Borsuk-Ulam afirma que toda aplica¸c˜ao f :
S2n+1 −→ Rk, com 2n + 1 ≥ k, possui uma Z
2-coincidˆencia.
Considere G um grupo finito atuando livremente em um espa¸co X, e um ponto fixo x0 ∈ X.
Seja X o espa¸co quociente de X por G, e x0 = pX(x0), onde pX : X −→ X ´e a aplica¸c˜ao
quociente. Da teoria de espa¸cos de recobrimento, temos que (X, pX) ´e um recobrimento
regular de X. Assim dado [β] ∈ π1(X, x0), seja α : I = [0, 1] −→ X o ´unico levantamento de β
come¸cando em x0 (α(0) = x0).
Como a fibra p−1X (x0) = Gx0 = {gx0 | g ∈ G} ´e a ´orbita do elemento x0 pela a¸c˜ao de G,
3.1 Zp-coincidˆencias e algumas propriedades
Lema 3.1.1 Com as nota¸c˜oes anteriores, seja ΨX : π1(X, x0) −→ G dado por ΨX([β]) = g.
Ent˜ao ΨX est´a bem definido e ´e um homomorfismo.
Demonstra¸c˜ao:
Sejam [β1], [β2] ∈ π1(X, x0) e considere α1e α2os levantamentos de β1e β2, respectivamente,
ambos come¸cando em x0.
Mostremos que ΨX est´a bem definida.
De fato, [β1] = [β2] =⇒ [pX ◦ α1] = [pX ◦ α2] =⇒ pX ◦ α1 ∼ pX ◦ α2.
Pelo Teorema1.2.2 α1 ∼ α2 e α1(1) = α2(1) e deste modo ΨX([β1]) = ΨX([β2]).
Seja agora ΨX([β1]) = g1 e ΨX([β2]) = g2 onde α1(1) = g1x0 e α2(1) = g2x0.
Seja α
2 um caminho em X dado por α2(t) = g1α2(t).
Assim α
2(0) = g1α2(0) = g1x0 = α1(1) e α2(1) = g1α2(1) = g1g2x0. Podemos definir o
produto α1∗ α2.
Temos que pX ◦ α2 = β2. De fato:
pX ◦ α2(t) = pX(g1α2(t)) = pX(α2(t)) = β2(t)
Deste modo pX◦ (α1∗ α2) = pX ◦ α1∗ pX ◦ α2 = β1∗ β2. Logo α1∗ α2 ´e o levantamento de
β1∗ β2 come¸cando em x0. Assim α1∗ α2(1) = α2(1) = g1g2x0, o que implica que
ΨX([β1][β2]) = ΨX([β1∗ β2]) = g1g2 = ΨX([β1])ΨX([β2])
Lema 3.1.2 Sejam X e Y espa¸cos conexos por caminhos e suponhamos G um grupo finito atuando livremente em X e Y. Seja f : X −→ Y uma aplica¸c˜ao equivariante e denotamos por f : X −→ Y a aplica¸c˜ao induzida dada por f (x) = f (x) = pY(f (x)). Ent˜ao no diagrama
0 ✲ π1(X, x0) ✲ (pX)∗ π1(X, x0) ΨX ✲ G ✲ 0 ❄ f∗ ❄ f∗ ❄ Id 0 ✲ π1(Y, y0) ✲ (pY)∗ π1(Y , y0) ✲ ΨY G ✲ 0
os quadrados s˜ao comutativos e as sequˆencias horizontais s˜ao exatas. Demonstra¸c˜ao:
Vamos dividir a demonstra¸c˜ao em partes:
(1) ΨX : π1(X, x0) −→ G ´e um epimorfismo. De fato, seja h ∈ G.
Assim hx0 ∈ p−1X (x0) ⊂ X. Como X ´e conexo por caminhos, existe um caminho f entre x0
e hx0
Temos que [pX ◦ f ] ∈ π1(X, x0) e ΨX([pX◦ f ]) = h.
Portanto ΨX ´e sobrejetora.
(2) (pX)∗ : π1(X, x0) −→ π1(X, x0) ´e injetora.
De fato, sejam [β1], [β2] ∈ π1(X, x0) com (pX)∗([β1]) = (pX)∗([β2]).
Assim [pX◦ β1] = [pX◦ β2] =⇒ pX◦ β1∼ pX◦ β2 (la¸cos homot´opicos em X). Pelo Teorema
1.2.2 temos que β1 ∼ β2 (la¸cos homot´opicos em X), logo [β1] = [β2].
Portanto (pX)∗ ´e injetora.
(3) Im(pX)∗ = kerΨX.
De fato, seja [β] ∈ kerΨX, assim ΨX([β]) = 1.
Considere α o levantamento de β come¸cando em x0. Como ΨX([β]) = 1 ent˜ao α(1) = 1x0 =
x0. Logo α ´e um la¸co em X, e deste modo [α] ∈ π1(X, x0) e pX◦ α = β.
Temos ent˜ao que (pX)∗([α]) = [pX ◦ α] = [β] ∈ Im(pX)∗.
Portanto kerΨX ⊂ Im(pX)∗ (i).
Considere agora γ ∈ Im(pX)∗, assim existe [θ] ∈ π1(X, x0) tal que (pX)∗([θ]) = [γ]. Portanto
[pX ◦ θ] = [γ] =⇒ pX ◦ θ ∼ γ.
Seja θ1 o levantamento de γ come¸cando em x0. Temos ent˜ao pX ◦ θ1 = γ ∼ pX ◦ θ. Como
θ(0) = x0 = θ1(0), pelo Teorema1.2.2, temos que θ ∼ θ1 e θ(1) = θ1(1).
Do fato que θ ´e um la¸co , temos que θ(1) = θ1(1) = x0, e assim ΨX([γ]) = 1.
3.1 Zp-coincidˆencias e algumas propriedades
De (i) e (ii) temos que Im(pX)∗ = kerΨX
Por (1), (2) e (3), temos que as sequˆencias horizontais do diagrama s˜ao exatas. (4) (pY)∗◦ f∗ = f∗◦ (pX)∗.
De fato, seja [α] ∈ π1(X, x0), assim
((pY)∗◦ f∗)([α]) = (pY)∗(f∗([α])) = (pY)∗([f ◦ α]) = [pY ◦ f ◦ α]
e
(f∗◦ (pX)∗)([α]) = f∗((pX)∗([α])) = f∗([pX ◦ α]) = [f ◦ pX ◦ α]
Considere agora x ∈ X, temos que (f ◦ pX)(x) = f (pX(x)) = f (x) = f (x) = pY(f (x)) =
(pY ◦ f )(x).
Logo [pY ◦ f ◦ α] = [f ◦ pX◦ α] e assim (pY)∗◦ f∗= f∗◦ (pX)∗.
(5) Id ◦ ΨX = ΨY ◦ f∗.
De fato, seja [β] ∈ π1(X, x0). Considere α o levantamento de β come¸cando em x0, assim
ΨX([β]) = g onde α(1) = gx0.
Temos que f ◦ α ´e o levantamento de pY ◦ f ◦ α come¸cando em y0= f (x0).
Assim (f ◦ α)(1) = f (α(1)) = f (gx0) = gf (x0) = gy0 (f ´e equivariante).
Logo ΨY([pY ◦ f ◦ α]) = g.
Deste modo
(Id ◦ ΨX)([β]) = Id(ΨX([β])) = Id(g) = g e
(ΨY ◦ f∗)([β]) = ΨY(f∗([β])) = ΨY([f ◦ β]) = ΨY([f ◦ pX◦ α]) = ΨY([pY ◦ f ◦ α]) = g
Portanto Id ◦ ΨX = ΨY ◦ f∗.
De (4) e (5) temos que os retˆangulos do diagrama s˜ao comutativos.
Lema 3.1.3 Se X ´e um espa¸co conexo por caminhos, ent˜ao Hom(H1(X, Z), Zp) ≃
Hom(π1(X), Zp).
Demonstra¸c˜ao:
Se X ´e um espa¸co conexo por caminhos, pelo Teorema de Hurewicz (ver [12]), existe um epimorfismo p : π1(X) −→ H1(X; Z) = [π1(X),ππ1(X)1(X)] (H1(X; Z) ´e π1(X) abelianizado), com
kerp = [π1(X), π1(X)]. Assim temos uma aplica¸c˜ao
definido por θ(ψ) = ψ ◦ p. π1(X) ❅ ❅ ❅ ❅❅❘ ❄ p ψ ◦ p H1(X, Z) ✲ ψ Zp Mostremos que θ ´e um isomorfismo.
(i) θ ´e injetora.
Considere ϕ, ψ ∈ Hom(H1(X, Z), Zp), com θ(ϕ) = θ(ψ).
Assim ϕ ◦ p = ψ ◦ p.
Seja α ∈ H1(X, Z). Como p ´e um epimorfismo, ent˜ao existe [α] ∈ π1(X) tal que p([α]) = α.
Assim ϕ(α) = ϕ(p([α])) = (ϕ ◦ p)([α]) = (ψ ◦ p)([α]) = ψ(p([α])) = ψ(α), logo ϕ = ψ. (ii) θ ´e sobrejetora.
Seja ϕ ∈ Hom(π1(X), Zp). Definimos ψ : H1(X, Z) −→ Zp por ψ(α) = ϕ([α]), onde
α = p([α]). Assim θ(ψ) = ψ ◦ p = ϕ.
Vamos mostrar que ψ ∈ Hom(H1(X, Z), Zp).
(ii)(a) ψ est´a bem definida.
Sejam α, β ∈ H1(X), tais que α = β. Portanto
α = β =⇒ p([α]) = p([β]) =⇒ [α].[β]−1∈ kerp = [π1(X), π1(X)] Deste modo [α].[β]−1= r i=1 (aibia−1i bi−1)ηi ∈ [π1(X), π1(X)], e ϕ([α].[β]−1) = r i=1 ϕ(aibia−1i b−1i )ηi.
Como Zp´e abeliano temos que ϕ([α].[β]−1) = 1 o que implica que ϕ([α]) = ϕ([β]). Portanto
ψ(α) = ϕ([α]) = ϕ([β]) = ψ(β). Logo ψ est´a bem definida. (ii)(b) ψ ´e um homomorfismo. Sejam α, β ∈ H1(X), ent˜ao
ψ(α.β) = ψ(p([α]).p([β])) = ψ(p([α].[β])) = ψ(p([α ∗ β])) =
3.1 Zp-coincidˆencias e algumas propriedades
Assim ψ(α.β) = ψ(α).ψ(β). Portanto θ ´e sobrejetora. (iii) θ ´e homomorfismo.
Considere ϕ, ψ ∈ Hom(H1(X, Z), Zp),
θ(ϕ + ψ) = (ϕ + ψ) ◦ p = ϕ ◦ p + ψ ◦ p = θ(ϕ) + θ(ψ)
Portanto θ ´e homomorfismo.
Finalizando essa se¸c˜ao vamos recordar a defini¸c˜ao do homomorfismo de Bockstein e alguns resultados relacionados.
Considere
0 −→ G −→ E −→ Π −→ 0 (∗)
uma sequˆencia exata de grupos abelianos.
Se X ´e um CW-complexo, seu complexo de co-cadeias, com respeito aos grupos acima, forma uma sequˆencia exata em cada n´ıvel, e temos assim a sequˆencia exata de homologia
... −→ Hn(X, G) −→ Hn(X, E) −→ Hn(X, Π)−→ Hβ n+1(X, G) −→ ...
Defini¸c˜ao 3.1.3 O homomorfismo conex˜ao β ´e chamado de homomorfismo de Bockstein
ou operador de Bockstein associado a sequˆencia exata curta (*).([21] V.8.1 ou [12] 3.E)
Observa¸c˜ao 3.1.1 Estamos interessados principalmente no homomorfismo de Bockstein β : Hm(X, Z
m) −→ Hn+1(X, Zm) associado `a sequˆencia de coeficientes 0 −→ Zm −→ Zm m2 −→
Zm−→ 0, especialmente quando m ´e ´ımpar.
O resultado a seguir pode ser encontrado em [21] II.7.(7.8 e 7.9).
Teorema 3.1.1 Sejam p um n´umero primo, u um gerador de H1(L2n+1p , Zp) e v = β(u), onde
β ´e o homomorfismo de Bockstein. Ent˜ao:
(a) A Zp-homologia e a Zp-cohomologia de L2n+1p s˜ao dadas por
Hq(L2n+1p , Zp) ≈ Hq(L2n+1p , Zp) ≈ Zp (0 ≤ q < 2n + 2).
(b) O homomorfismo de Bockstein β : H2q−1(L2n+1
p , Zp) −→ H2q(L2n+1p , Zp) ´e um
isomorfismo para 0 < q < n.
(c) A aplica¸c˜ao u ∪ − : H2n(L2n+1
p , Zp) −→ H2n+1(L2n+1p , Zp) ´e n˜ao trivial.
Demonstra¸c˜ao: [21] II.7.8.