Physiques
La physique mathématique n’est pas autant une discipline en soit qu’une certaine démarche à l’intérieur de la physique théorique, ou, en tout cas, qui doit venir la nourrir directement. Cette démarche a un double objectif. D’une part, mettre en lumière les structures mathématiques sous-jacentes aux théories fondamen-tales (ici, les théories de jauge), pour séparer les caractéristiques qui leur sont propres et paraissent nécessaires à leur formulation, de celles qui ne sont que
contingentes, par exemple en ayant été simplement héritée de leur formulation historique. Cela permet, en se réduisant à une écriture la plus minimale pos-sible, de ne pas tomber dans des écueils de pensée qui pourraient nous faire mal interpréter certains phénomènes. Un exemple, comme on l’a déjà cité, est la réduction de symétrie dans le modèle standard de la physique des particules: attaché à la manière historique dont a été résolu le problème de la génération des masses dans ce modèle, on peut passer à coté du fait qu’en réalité, et ce, à la lumière de la méthode de l’habillage, il n’est nul besoin de supposer l’existence d’une brisure spontanée de symétrie pour décrire ce phénomène. D’autre part, ce premier processus de clarification du cadre mathématique et de mise en lumière des caractéristiques nécessaires aux théories étudiées permet ensuite d’imaginer de nouvelles formulations équivalentes, qui offriront peut-être une possibilité naturelle de généralisation, une nouvelle voie qui était invisible dans la première formulation.
C’est exactement cette approche que l’on a suivie dans cette thèse. Nous présentons notre exploration, principalement mathématique, de nouveaux cadres possibles pour formuler des théories de jauge, à symétries interne comme externe. Dans le chapitre 1, nous présentons les outils mathématiques de base de la géométrie différentielle. Comme il s’agit de choses relativement connues, nous
avons opté pour une présentation plus originale: nous présentons tout d’abord les variétés différentielles, puis les fibrés vectoriels au dessus d’une variété de base M, pour ensuite introduire les algébroïdes de Lie transitifs comme des fibrés vectoriels particuliers. Après avoir présenté la notion de connexion sur de tels objets, nous présentons également, dans les grandes lignes, le problème d’intégration des algébroïdes de Lie transitifs en groupoïde(s) de Lie transitif(s). Quand l’intégration est possible, on sait alors qu’il existe, pour chaque groupoïde de Lie transitif intégrant l’algébroïde, un fibré principal sous-jacent tel que l’al-gébroïde de Lie est l’all’al-gébroïde d’Atiyah de ce fibré. Ce choix de présenter les fibrés principaux comme découlant de cas particuliers d’algébroïdes de Lie permet d’anticiper sur les possibles généralisations que peut offrir ce cadre géométrico-algébrique. Enfin, nous exposons la méthode de l’habillage dans l’état actuelle de son développement, dont un tour d’horizon peut être trouvé dans [2].
Les autres chapitres sont relativement indépendants; ils développent chacun un aspect de ce qui a été vu au premier chapitre.
Le chapitre 2 présente la géométrie de Klein, puis la géométrie de Cartan qui en est une généralisation, avant de donner deux exemples d’application de ce cadre à la formulation de théories de la gravitation. On réécrit la relativité générale, premièrement, dans le cadre de la géométrie de Poincaré, aussi connue sous le nom de "formulation en terme de tétrades", puis dans le cadre de la géométrie de de Sitter, redonnant la formulation "à la MacDowell Mansouri" présentée par D. Wise en 2009, où le lagrangien peut s’écrire sous la forme d’un lagrangien dit de "Yang–Mills".
Le chapitre 3 est consacré à la géométrie conforme, et aux outils mathéma-tiques nécessaires à la formulation de théories de jauge (à symétrie externe, donc) dans ce cadre. C’est un cas où l’on essaie de généraliser ce qui a déjà été fait (en relativité générale, par exemple) en augmentant le groupe de sy-métrie, passant du groupe de Lorentz au groupe conforme. Nous présentons une vue d’ensemble de la géométrie conforme. En particulier, les différentes manières de construire le fibré des repères d’ordre deux conformes, ainsi que la géométrie homogène (de Klein) associée, c’est-à-dire le compactifié conforme de l’espace de Minkowski et ses groupes de symétrie, qui joue le même rôle dans la géométrie conforme que l’espace de Minkowski joue dans la géométrie riemannienne. Ces constructions aboutissent ensuite à la présentation de la géométrie conforme en termes de connexion de Cartan sur un fibré principal. L’application de la méthode de l’habillage à ce cadre nous permet alors de retrouver d’une manière claire et propre (d’un point de vue géométrique) les objets usuels de la géométrie conforme que sont les tenseurs de Weyl et de Schouten, les tractors, les twisteurs et les connexions qui leur sont associées. Ces résultats sont décrits en détails dans les articles: [18] et [17]. Nous finissons par présenter rapidement comment la gravité de Weyl, dans ce formalisme, s’écrit naturellement à l’aide d’un lagrangien de Yang–Mills, imitant en quelque sorte la démarche de
Wise pour la gravité de MacDowell–Mansouri. Ce dernier résultat est décrit plus en détail dans [4].
Le chapitre 4 est une exposition de deux exemples pour lesquels la formulation de théories de jauge en termes d’algébroïdes de Lie transitifs permet d’obtenir naturellement des Lagrangiens unifiés pour la physique. Ce chapitre commence par la présentation de structures additionnelles pouvant être construit sur les algébroïdes, comme la notion de base mixte locale, le calcul tensoriel, ou encore l’opérateur de Hodge et le processus d’intégration des formes différentielles. On expose ensuite un travail inspiré de celui de N. Boroojerdian, réécrit dans notre formalisme. On considère une métrique sur l’algébroïde de Lie comme une variable de champ. Une telle métrique est équivalente à un triplet constitué d’une connexion ordinaire (l’équivalent des connexions d’Ehresman sur les fibrés), d’une métrique sur l’algèbre de Lie qui dicte la symétrie interne, ainsi que d’une métrique sur le plan tangent de la variété de base, qui encode la gravitation. Une notion de connexion de Levi-Civita adaptée à ce type de métrique permet alors d’encoder à la fois un lagrangien de type Yang-Mills pour la connexion ordinaire du triplet équivalent à la métrique, et un lagrangien de type Einstein-Hilbert pour la métrique sur le plan tangent de la variété, avec en prime un terme de constante cosmologique, d’origine algébrique. On présente finalement le travail réalisé par Cédric Fournel et al. Cette approche repose aussi sur le choix d’une métrique du même type, cependant celle–ci (ou le triplet correspondant) est ici considérée comme fixe. Sur cette structure, on construit alors une connexion généralisée, qui possède un degré de liberté purement algébrique et qui va permettre in fine d’encoder dans un lagrangien de type Yang-Mills un terme de type potentiel de Higgs, sans aucune supposition ad hoc.
Le chapitre 5, quant à lui, sera une présentation d’un travail réalisé récemment et qui cherche à formuler la géométrie de Cartan, dans son formalisme comme dans son idée, dans le cadre des algébroïdes de Lie transitifs. Pour cela, on commencera par présenter du matériel additionnel autour de la géométrie de Cartan. Puis, on encodera les deux fibrés principaux associés à une géométrie de Cartan en termes de leur algébroïdes de Lie d’Atiyah correspondant, puis on traduira dans ce cadre ce que signifie une connexion de Cartan. Un récent ouvrage (2016) de Crampin et Saunders ([9]) présente lui aussi la géométrie de Cartan en termes d’algébroïdes de Lie (et également des groupoïdes de Lie correspondants), dans une formulation légèrement différente. En particulier, ils choisissent une formulation que nous qualifions de géométrique, en voyant les algébroïdes de Lie en termes de fibrés vectoriels, alors que nous partons d’une formulation que nous pourrions qualifier de plus algébrique, en considérant les sections des algébroïdes de Lie, et donc en travaillant avec des modules et des algèbres de Lie au lieu des fibrés vectoriels. Nous réécrivons leur démarche pour la présenter, puis nous la reformulons dans nos notations pour la comparer ensuite à la nôtre. Tout ce chapitre est le résumé d’un article à paraître bientôt, [3].
La figure0.1montre les interdépendances entre des différents chapitres entre eux, avec le numéro de la section utile à la compréhension de tel chapitre.
En conclusion, nous présentons différentes généralisations possibles de ces cadres divers, nous dirigeant vers une algébrisation des théories physiques.