Dans ce cas de figure plus réaliste, seul le cas où la raideur varie avec la température a été étudié.
Graphe 83 Evolution de la contrainte ±66 au cours des rotations pour différentes profondeurs dans
une dalle de _ ¶¶ (pour évoluant avec la
température) sous l’hypothèse des déformations planes.
Graphe 84 Evolution de la contrainte ±66 dans l’épaisseur d’une dalle de _ ¶¶ (pour
évoluant avec la température) sous l’hypothèse des déformations planes.
Lorsque la dilatation de la dalle est libre pendant la phase de préchauffage et qu’elle est simplement posée sur la couche de sécurité, aucune contrainte n’est alors développée. Les contraintes se développent lors de la première coulée (Graphe 83) et de ce fait leur intensité est plus modérée. Ainsi, à la fin de l’affinage, la température plus élevée dans le matériau engendre des contraintes de compression d’une trentaine de f dans les premiers centimètres sous la surface (Graphe 84). A la fin de la période d’attente à vide, la température redescend à environ 1200°, le comportement thermo-élastique permet de retrouver l’état de contrainte quasi nul puisque la phase de préchauffage durant laquelle les
-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 0 100000 200000 C o n tr a in te 1 1 ( M P a ) temps (s) 0 -25 -50 -75 -100 -150 -200 -245 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 -250 -150 -50 C o n tr a in te ( M P a )
Profondeur dans la dalle (mm)
Fin de la coulée 10
Eléonore Arfan
lors du refroidissement, des contraintes de traction, de l’ordre d’une vingtaine de f, apparaissent si la température baisse de 1650° à 1200°, ce qui favorise l’apparition et la propagation de fissures orthogonales à la surface, débouchant à la surface.
Il existerait donc une profondeur délimitant le domaine du comportement élastique de celui du comportement viscoplastique. A cette interface, le gradient de contrainte pourrait alors favoriser l’apparition de fissures parallèles à la surface. Enfin, le chapitre précédent a montré que les transformations de phase s’amorcent, et peuvent aussi être à l’origine de macrofissures dans cette zone.
Il est possible d’estimer la contribution des dilatations liées aux transformations de phases dans les niveaux de contraintes à partir de l’expression suivante :
± = ;: ¡° − UΔ.< − )dXÁd*Î)dXÁd*< − )dV*Î)dV*<¢
En considérant qu’en cycle stabilisé Î)dXÁd*= Î)dV*= 1 et avec les : déterminés par la déformation résiduelle des essais de dilatométrie (Graphe 46), la contribution des transformations de phases dans les contraintes est alors de l’ordre de :
g,,= D(1650°O: ¡−)dXÁd*− )dV*¢ −5000 × M0,0085O = −42,5 f
Sans prendre en compte les aspects visqueux et les relaxations de contrainte associées, la contrainte thermique ne représenterait qu’un tiers de la contrainte totale (engendrée par les sollicitations thermiques et les dilatations dues aux transformations de phase). Rappelons que les contraintes d’origine thermique ne correspondraient qu’à une vingtaine de f.
Enfin, on a également cherché à déterminer les niveaux de contraintes dans la dalle lorsque celle-ci ne mesure plus qu’une dizaine de centimètres d’épaisseur (Graphe 85 et Graphe 86).
Graphe 85 Evolution de la contrainte ±66 au cours des rotations pour différentes profondeurs dans
une dalle de 6 ¶¶ (pour évoluant avec la
température) sous l’hypothèse des déformations planes.
Graphe 86 Evolution de la contrainte ±66 dans l’épaisseur d’une dalle de 6 ¶¶ (pour
évoluant avec la température) sous l’hypothèse des déformations planes.
-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 0 100000 200000 C o n tr a in te 1 1 ( M P a ) temps (s) 0 -25 -50 -75 -100 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 -100 -50 0 C o n tr a in te 1 1 ( M P a )
Profondeur dans la dalle (mm)
Fin de l'affinage 10 Fin du vide 10
Analyses Numériques
La contrainte dans la dalle lorsque celle-ci ne mesure plus que 10 P# (Graphe 86) est alors proche de celle présente dans les dix premiers centimètres d’une la dalle de 25 P# (Graphe 84), ce qui est en accord avec le fait que les champs de température sont semblables dans les premiers centimètres de profondeur quelle que soit l’épaisseur de la dalle.
2. PRISE EN COMPTE DE LA PRESSION INDUITE PAR
L’ECOULEMENT
On cherche désormais à déterminer l’influence de la pression induite par l’écoulement à l’aplomb du jet de métal liquide, ce qui correspond au pire cas. Cette pression a été prise en compte en appliquant, durant les phases correspondant à l’affinage, la consigne de la Figure 64 à la surface du fond :
Figure 64 Pression appliquée à la surface du fond lors d’une phase d’affinage.
Au tout début de la phase d’affinage une pression de 3,5 f est appliquée à la surface et décroit linéairement pendant trois minutes jusqu’à atteindre 0,3 f. Ceci permet de représenter l’effet marteau ainsi que la pression induite par les remous pendant les premières minutes du remplissage et enfin la simple pression hydrostatique due au poids du métal liquide. Enfin, cette pression décroît linéairement jusqu’à zéro pour représenter la phase de vidange. Or, au début de la phase d’affinage, le matériau est encore à 1200°. On peut estimer l’influence d’une telle pression sur la contrainte g,, par la relation :
± = 2° + ÒTr°< ⇒ g,,≈ −1,17 f
La prise en compte de la pression induite par l’écoulement est négligeable lors d’un calcul thermo-élastique. Cette pression aurait néanmoins davantage de conséquences lors d’un calcul prenant en compte la porosité du matériau, ou en présence d’une fissure débouchante car elle faciliterait l’imprégnation du laitier et du métal liquide. En effet, l’observation post mortem des dalles a montré une forte imprégnation du métal dans les
3,5 f 0,3 f 0 temps (s) P re ss io n ( M P a ) ≡ g 180 ( Vidange (5 minutes)
Eléonore Arfan
II. MODELISATION MECANIQUE DU CHOC THERMIQUE
La résistance au choc thermique est une caractéristique fréquemment utilisée pour la sélection des matériaux fragiles, et plus particulièrement des réfractaires. Ces critères prennent en compte les paramètres thermiques et mécaniques ainsi que la nature du chargement thermique ou la forme de la structure. Ces critères peuvent être regroupés en deux catégories : ceux qui traitent de l’amorce de fissure sous choc thermique, et ceux qui traitent de la propagation de fissures existantes, ce qu’on peut aussi comprendre par des critères en contrainte (Kingery, 1955 ; Zhou, 2005) et des critères en énergie. Dans ce dernier cas, ces critères sont basés sur les travaux d’Hasselman (1970).
Les critères utilisés pour définir les niveaux de température ou de flux thermiques à partir desquels l’endommagement s’amorce s’appuient sur un comportement thermo-élastique. Si la contrainte thermique g¬z = −DUΔ.() (où la fonction () dépend du type de conditions aux limites ; en considérant des contraintes uni-axiales, alors () = 1) engendrée par une différence de température ∆. excède la contrainte à rupture gÙlñn du
matériau, alors il y a apparition d’endommagement. Ainsi, pour un choc thermique ascendant (de 1200° à 1650° par exemple), la contrainte thermique est compressive, ce qui le rend moins pénalisant que le choc thermique descendant d’un même ∆..
Pour un milieu non fissuré, différents facteurs de criticité 1 (en W), 1’ (en . #+,) et 1’’ (en W) expriment la propension d’une fissure à s’amorcer (Kingery, 1955 ; Hasselman, 1970) sous des chocs thermiques « durs » ou « mous » en fonction des conditions aux limites, comme par exemple :
1 =gDU MOÙlñn 1 = L1 1= A1
où L est la conductivité thermique et A un facteur de concentration de contrainte. Ces critères, bien adaptés aux céramiques homogènes, peuvent être adaptés aux matériaux hétérogènes en y incluant une modélisation multi-échelle (Schmitt, 2002). Le choix du paramètre à utiliser dépend des conditions du choc : ainsi pour un choc « dur », i.e. avec une variation instantanée de température, le paramètre 1 est le plus approprié. Pour le matériau d’étude (considéré homogène en première approximation) à 1200°C, le paramètre 1 vaut (en considérant les paramètres du Graphe 43 et du Graphe 44) :
1 = 272 W
La valeur de 1 correspond à une variation de température critique ∆.Ùlñ. Bien que cette valeur soit élevée, le choc thermique du début du remplissage de la poche par l’acier provenant du convertisseur induit une variation de température plus importante (450°), ce qui sera donc à l’origine de l’amorçage de fissures d’après Hasselman.
Pour les matériaux préalablement fissurés, on peut alors prédire si un choc thermique conduit à une propagation stable ou instable de ces fissures. Pour caractériser l’évolution de
Analyses Numériques
l’endommagement par choc thermique, Hasselman exprime alors la résistance du matériau à la propagation de fissure par les coefficients de criticité 1′′′ (en #. B+,≡ f+,) et 1′′′′ (en #) de la façon suivante :
1′′′ = D
gÙlñn (1 − ) 1= D2o
gÙlñn (1 − ) où 22o =j}
(en B. #+) est l’énergie de surface, ou de décohésion, nécessaire à la
propagation d’une fissure (Griffith, 1920 ; Hasselman, 1969). 1′′′ renseigne alors sur le minimum d’énergie élastique à rupture nécessaire à la propagation de la fissure. Plus la valeur de 1′′′ est grande, meilleure est la résistance au choc thermique. Le paramètre 1′′′′ représente l’extension de fissure minimale pour produire de la fissuration par contrainte thermique uniquement. Il permet de comparer les niveaux d’endommagement de matériaux ayant des valeurs de 2o très différentes (par exemple, si l’on veut comparer la résistance au choc thermique d’un matériau ductile avec celle d’un matériau fragile) alors que 1′′′ ne permet de comparer les états d’endommagement que de matériaux ayant des propriétés semblables en ce qui concerne la résistance à l’amorçage de fissure (i.e. des valeurs de 2o
proches). Dans notre cas, en considérant qu’à 1200° la ténacité est de 1,5 f. √#, l’énergie vaut alors : 2o = jjj,,e = 5,6. 10+ B. #+ ce qui est une valeur très élevée mais
permet d’obtenir un ordre d’idée. Les paramètres valent alors :
1=25 × (1 − 0,25) = 107 f2000 +,
1=25 ∗ 2 ∗ (1 − 0,25) = 6. 101,5 + #
Si les réfractaires ne sont pas très résistants à l’amorçage de fissures par contrainte thermique, on leur reconnaît une bonne résistance à la propagation ou extension des fissures (Aksel, 2003 ; Zhou, 2005). Ceci est confirmé ici par la grande valeur des paramètres 1 et 1, bien que ce dernier soit anormalement élevé du fait de la
méconnaissance de la ténacité à 1200°. Dans notre cas, on cherche désormais plus particulièrement à savoir ce qui se passe phénoménologiquement à un niveau très local. Pour cela, les simulations numériques permettront d’estimer les champs de contraintes dans la dalle lors du passage du front de température.
1. INFLUENCE DU GRADIENT DE TEMPERATURE
Le calcul a été effectué sous l’hypothèse des déformations planes. Il n’a pas été décidé de réaliser ce calcul en axisymétrie car on souhaite étudier le cas général de l’influence du front de température sur le champ de contrainte et pas seulement le cas où l’on se situe sous
Eléonore Arfan
imposé comme condition aux limites. Les paramètres thermo-élastiques sont considérés constants (aux valeurs à 1200°) pour l’analyse du choc thermique car les échelles de temps mises en jeu sont très petites.
Figure 65 Champ de déformation verticale induit par la variation de température.
Conformément au champ de température, la déformation induite par le gradient de température est très localisé (Graphe 64). La déformation maximale verticale est une déformation de traction de l’ordre de h= 6,4. 10+. On rappelle qu’à 1200° alors que le comportement est encore principalement quasi-fragile, la déformation maximale en traction est de l’ordre de 1,6. 10+ selon une approximation élastique (la contrainte à rupture en
traction par flexion est de l’ordre de 4 f (Graphe 43) et la raideur est de 2,5 f (Graphe 44)). Sous cette hypothèse, la déformation est donc supérieure à la déformation maximale admissible par le réfractaire en traction. Ceci peut ainsi se traduire par un micro écaillage issu de l’amorçage et la propagation de microfissures très proches de la surface, parallèle à celle-ci.
Dans les autres directions, le blocage de la déformation totale induit des contraintes élevées lors du passage du front de température (Figure 66). La contrainte de compression induite par le gradient thermique dépasse les −30 f (en ce qui concerne g,, et g). Enfin, la dilatation libre dans la direction verticale induit alors une contrainte de cisaillement lors du passage du front qui vaut g,≈ 1,3 f. La contrainte à rupture en compression n’a pas pu être déterminée à 1200°. Cependant, l’extrapolation des points expérimentaux du Graphe 39 permet de croire que cette contrainte à rupture n’est pas très différente des −30 f. Des microfissures horizontales très proches de la surface peuvent ainsi être amorcées et se propager à l’instar des faciès de rupture des éprouvettes cylindriques qui ont été sollicitées en compression simple (Figure 39).
1 2 3 5 # #
Analyses Numériques
Figure 66 Champs de contrainte dans l’échantillon de dalle sous le front de température.
Les niveaux de contraintes et de déformations paraissent donc favorables à l’amorçage et la propagation de petites fissures principalement parallèles à la surface et très proches de celle-ci. On cherche donc à évaluer le comportement d’une petite fissure existante et à caractériser son influence à travers l’étude des champs de contrainte et de déformation lors du passage du front de température.
2. INFLUENCE DE LA PRESENCE D’UNE PETITE FISSURE
Le matériau étudié, faisant partie des bétons, est naturellement micro-fissuré. De plus, les changements de phases ainsi que les cycles thermiques causent d’autres fissures comme il l’a été vu plus haut.
Eléonore Arfan
aux lèvres de la fissure afin d’empêcher leur interpénétration dans le cas où elle serait sollicitée en compression.
Afin de simplifier les calculs, nous avons considéré que la présence de la microfissure n’a pas d’influence sur la température. Le champ de température servant de condition aux limites est donc celui calculé précédemment sans fissure. La présence de la fissure lors du calcul mécanique induit donc des modifications du maillage qui devient alors incompatible avec celui du calcul thermique précédent, mais le logiciel Abaqus gère automatiquement les extrapolations de champ. La structure est maillée avec des éléments de type CPE8R (quadrangle quadratique, déformations planes), les zones raffinées comportent des éléments de 0,01 ## et les zones grossières des éléments de 0,1 ## comme le montre la Figure 67.
Figure 67 Détail de la structure autour de la fissure ; maillage et champ de température.
De même qu’au CHAPITRE II.V.b.iii, le maillage a été raffiné au niveau des pointes de la fissure pour déterminer les facteurs d’intensité des contraintes par la méthode des intégrales de contour. La méthode utilisée pour déterminer la direction de propagation a été la maximisation du taux de restitution d’énergie (Abaqus User’s Manual).
Lors du passage du front de température, la déformation de la fissure montre une tendance de celle-ci à se propager en direction de la surface en suivant l’avancée du front de température (Figure 68).
Figure 68 Champ de déformation verticale induit par la variation de température suite à la présence d’une petite fissure (× 6).
1 2
Analyses Numériques
Pourtant, à cette profondeur, le gradient de température. sollicitation sont très faibles (
nuls (ils ne sont donc pas représentés graphiquement) ambiante, la ténacité vaut W
Graphe 87 Evolution du facteur d’intensité des contraintes et de l’angle de propagation de la fissure avec l’avancée du front de température à une vitesse de
L’influence négligeable
champs de contrainte, très peu affectés, en dehors de la divergence qui existe en pointe de fissure (Figure 69). A n g le d e p ro p a g a ti o n ( °)
cette profondeur, on peut considérer que la fissure n’est le gradient de température. En effet, les facteurs d’intensité des contraintes
sollicitation sont très faibles (Graphe 87) et les facteurs W restent toujours négatifs et quasi nuls (ils ne sont donc pas représentés graphiquement). On rappelle qu’à température
W¿ ≈ 1,6 f. √#.
du facteur d’intensité des contraintes et de l’angle de propagation de la fissure avec l’avancée du front de température à une vitesse de _7
influence négligeable de la présence d’une telle microfissure est confirmée par les amps de contrainte, très peu affectés, en dehors de la divergence qui existe en pointe de
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0,001 0,002 0,003 F IC KI (M P a .m 1 / 2) temps (s) theta K1
fissure n’est pas influencée par , les facteurs d’intensité des contraintes W suite à cette
restent toujours négatifs et quasi On rappelle qu’à température
du facteur d’intensité des contraintes et de l’angle de propagation _7 ¶¶/Ð.
d’une telle microfissure est confirmée par les amps de contrainte, très peu affectés, en dehors de la divergence qui existe en pointe de
Eléonore Arfan
Figure 69 Champs de contrainte dans l’échantillon de dalle sous le front de température en présence d’une fissure.
Afin d’étudier le cas où la microfissure se situe dans la zone affectée par le gradient de température, on impose une vitesse de 20 ##. (+, à l’avancée du front. Ainsi, la
température diffuse plus en profondeur au cours du déplacement du front de métal liquide comme le montre la Figure 70. La déformée est présentée sur la Figure 71.
Analyses Numériques
Figure 70 Champ de température induit par un écoulement à une vitesse de
On s’intéresse alors aux évolution d’intensité des contraintes au passage du front
Graphe 88 Evolution du facteur d’intensité des contraintes et de l’angle de propagation de la fissure avec l’avancée du front de température à une vitesse de
Bien que la valeur du facteur d’intensité des contraintes
rapport à la valeur déterminée à froid, le passage du front de température provoque bien une propension de la fissure à bif
Ceci traduit bien une tendance de la fissure à bifurquer vers
orthogonale à celle-ci, phénomène déjà observé par Zhao (2000). précédemment, le facteur W
Le choc thermique provoqué par l’écoulement de métal liquide sur la dalle d’impact a donc pour effet un microécaillage de la surface et
microfissures orthogonales et parallèle dalle d’impact. A n g le d e p ro p a g a ti o n ( °)
Champ de température induit par un écoulement à une vitesse de ¶¶. Ð+6.
Figure 71 Champ de déformation verticale induit par un écoulement à une vitesse de
On s’intéresse alors aux évolutions des angles de propagation d’intensité des contraintes au passage du front (Graphe 88).
du facteur d’intensité des contraintes et de l’angle de propagation de la fissure avec l’avancée du front de température à une vitesse de
Bien que la valeur du facteur d’intensité des contraintes W soit toujours faib rapport à la valeur déterminée à froid, le passage du front de température provoque bien
propension de la fissure à bifurquer en direction de la surface selon un angle de une tendance de la fissure à bifurquer vers la surface
, phénomène déjà observé par Zhao (2000).
W reste toujours négatif et faible et n’est donc pas représenté. Le choc thermique provoqué par l’écoulement de métal liquide sur la dalle d’impact a donc pour effet un microécaillage de la surface et l’amorçage et
thogonales et parallèles à la surface à une très faible profondeur dans la
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0,25 0,5 0,75 F IC KI (M P a .m 1 / 2) A n g le d e p ro p a g a ti o n ( °) temps (s) theta K1
Champ de déformation verticale induit par un écoulement à une vitesse de ¶¶. Ð+6.
es angles de propagation et des facteurs
du facteur d’intensité des contraintes et de l’angle de propagation
de la fissure avec l’avancée du front de température à une vitesse de ¶¶/Ð.
soit toujours faible par rapport à la valeur déterminée à froid, le passage du front de température provoque bien urquer en direction de la surface selon un angle de 80°. ace pour se retrouver , phénomène déjà observé par Zhao (2000). De même que
reste toujours négatif et faible et n’est donc pas représenté. Le choc thermique provoqué par l’écoulement de métal liquide sur la dalle d’impact a
l’amorçage et la propagation de à la surface à une très faible profondeur dans la
Eléonore Arfan