Phénomène d’Electrostriction

I.1.1.1 Principe de fonctionnement

Le fonctionnement des polymères électrostrictifs est similaire à celui d’un DEA (actionneurs élastomère diélectrique), dont le polymère est pris en sandwich entre deux électrodes (Fig. III.1). Par ailleurs, la contrainte et la réponse correspondante à la déformation induite de ces polymères est généralement proportionnelle au carré de champ électrique appliqué, comme le montre la Fig. III.2.

Figure III.1 : Représentation schématique du fonctionnement d'un polymère électrostrictif

Figure III.2: Déformation en fonction du champ électrique pour un matériau électrostrictif

I.1.1.2 Description phénoménologique

L’électrostriction est une contribution électromécanique qui se manifeste dans tous les matériaux diélectriques et correspond notamment à une déformation induite par un champ

électrique. Les matériaux électrostrictifs ont été largement utilisés dans les actionneurs, les capteurs et les dispositifs électromécaniques [Her1982] [Sun199]. Le comportement des matériaux est le plus souvent caractérisé en termes de relations constitutives qui détaillent l’interaction couplée des propriétés électriques et élastiques du matériau. Comme pour la piézoélectricité, les équations intrinsèques s’obtiennent par dérivation d’un potentiel énergétique préalablement choisi. Pour cela la théorie proposée par Devonshire sera utilisée pour réaliser la description phénoménologique. A partir de ce formalisme thermodynamique, la fonction élastique de Gibbs G pour l'énergie libre du matériau a pu être exprimée comme [Uch2000] [New1997]:

� =¹₂������� −¹₂����������� − ������������ ⁺⋯ III-1

ou �_�� et �_� sont la contrainte et la polarisation, respectivement, et �_���� et �_���� sont appelés

la souplesse élastique et le coefficient électrostrictif, respectivement. Les indices �, �, � =

1,2,3 se réfèrent aux axes orthogonaux. A partir de cette équation, on peut représenter la

déformation ��� ^{et le champ électrique} �� ^{par l'équation III-2 et III-3 :}

��� ⁼ − �_��^��

��� = �������� ⁺�������^{2 III-2}

et

�_�= − �_��^��

�� = �_���_�− 2�_�����_��_�� III-3

Des propriétés liées aux dérivées des variables telles que �_�� et �_� aux variables d'état fixes comme �_�� et �_� sont obtenus en effectuant la dérivée seconde de cette fonction d’énergie libre. Par exemple, les termes du premier ordre pour l’inverse de la susceptibilité diélectrique �_�� et de la souplesse élastique �_���� peuvent être exprimés comme suit:

�_�� = �^��� ��_�� �,� ⁼�_��^�2� ���_�� �,� ^III-4 et �_���� =�^���� ��_��� �,� ⁼ �_��^�2� ����_��� �,� ^III-5

Les propriétés du couplage croisé peuvent être dérivées en changeant la variable de différentiation pour la dérivée seconde. Les propriétés qui introduisent des contraintes dans un matériau sont obtenues en différenciant la fonction élastique de Gibbs par rapport au

contrainte. Les propriétés qui introduisent des déformations dans un matériau sont obtenues en différenciant la fonction élastique de Gibbs par rapport à la contrainte. Les propriétés tensorielles associées à ces effets sont des constantes élastiques, la dilatation thermique

linéaire et non linéaire, des constantes piézoélectriques linéaires ��_��� �� �_���� et des

constantes d’électrostriction quadratiques ��_���� �� �_�����. Ces interactions

électromécaniques peuvent être exprimées en séries de puissances de deuxième ordre (� et �

fixes) comme :

��� ^{= g}ijm��⁺���������⁺⋯ III-6

et

�_�� = d_ijm�_�+�_�����_��_�+⋯ III-7

Considérant le couplage entre les propriétés diélectriques et élastiques des solides, l’électrostriction est une propriété du tenseur de rang 4 reliant la déformation mécanique �, au

champ électrique �, ou à la polarisation �. Elle est exprimée par les relations suivantes

[Yim1999]:

��� ^{= s}ijkl^E ��� ⁺��������� ^III-8

��� ^{= c}ijkl^E ���⁺��������� ^III-9

ou �_����� _et �_����� _{est la souplesse élastique et le tenseur de rigidité sous des conditions aux}

limites appropriées à champ électrique constante, et ����� ^et ����� ^{sont les coefficients}

d’électrostriction. Si la polarisation est utilisée comme une variable électrique indépendante, les équations deviennent

�_�� = s_ijkl^P �_�� +�_�����_��_� III-10

�_�� = c_ijkl^P �_��+�_�����_��_� III-11

A partir des équations constitutives énumérées ci-dessus, on voit qu'il y a quatre coefficients

électrostrictifs; �, �, � et �. Ils ne sont pas tous indépendants, ce qui donne � = −��, ou

� = −�� en combinant les équations (III.8) et (III.9). De même, à partir des équations (III.10) et (III.11), � = −��, ou � = −��.

Dans le cas d’une contrainte nulle, l’électrostriction peut être ainsi définie comme le couplage quadratique entre la déformation et le champ électrique, ou entre la déformation et la polarisation. Donc la déformation électromécanique s’écrit pour les deux cas comme :

�_�� =�_�����_��_� III-12 et

�_�� =�_�����_��_� III-13

Ici ����� ^{sont des éléments du champ électrique du quatrième rang liés au tenseur}

d’électrostriction et ����� ^{sont des éléments de la polarisation du quatrième rang liés au}

tenseur d’électrostriction. Les coefficients � et � sont équivalentes et forment la base dans la plupart des travaux qu’on trouve dans la littérature. La relation champ polarisation est utilisée pour altérer entre les deux coefficients [Yim1999].

�_� = �_���_� III-14

où �_�� est le tenseur de susceptibilité diélectrique. Puisque la permittivité diélectrique est

généralement utilisée comme variable au lieu de la susceptibilité diélectrique, ��� ^est

exprimée par :

�_�� =�_��− �₀ = [(�_�)_��− 1]�₀ III-15

et par remplacement dans les équations constitutives, la relation entre les coefficients � et � devient comme :

�_����= �_���_���_���� = �₀2_[(�_�)_��− 1]�(�_�)_��− 1��_���� III-16

Les valeurs de � pour les élastomères souples vont jusqu'à 10 6�4_/�2 _{alors qu'elles sont}

seulement de 10 ⁻²�4_/�2 _{pour les relaxeurs ferroélectriques. Une relation empirique entre le}

coefficient électrostrictif �, la constante diélectrique, et la résistance mécanique a été établie par Eury et al. [Eur1999] pour différents matériaux diélectriques : verres, céramiques, monocristaux, et polymères. Ils ont trouvé une relation linéaire entre le coefficient

électrostrictif � et l'inverse du produit de la constante diélectrique ε par le module d’Young

�:

� ∝ _� ¹

0�_�� ^III-17

La déformation �_�� est reliée à la polarisation carrée �_��_� (équation III.13) et au coefficient de déformation électromécanique �_���� :

Il en découle la relation suivante, expérimentalement trouvée par Guillot et Balizer [Gui2003] dans le cas de plusieurs PUs commerciaux :

�₃₃=�₀2₍�_�− 1)2�₃₃ III-19

Cette expression est bien en accord avec les observations expérimentales d’Eury et al. Le coefficient de déformation électromécanique est bien proportionnel à la constante diélectrique et au module de Young :

�₃₃∝^�0⁽�_�−1)²

�₃�_� ^III-20

où �3 ^{est le module d’Young selon la direction 3 (ou z) du matériau.}