PG Basé sur la Multi-Modalité

Les sections précédentes ont expliqué les bases de la modélisation des signaux quasi-périodiques par PG. Les procédés décrits sont basés sur la définition des fonctions de covariance. Il a également été dit que l’une des informations essentielles pour la défini-tion de ces covariances est l’ensemble des indices de cycles, τn de l’équation (B.15). Les approches principales pour détecter ces indices sont la détection manuelle ou la maximi-sation du posterior. La détection manuelle des indices n’est pas toujours possible, si le signal d’observation est très bruité ou trop long. L’estimation a posteriori maximale dé-tecte les indices qui sont définis comme les hyperparamètres du GP, et prends un grand temps de calcul en raison du nombre des hyperparamètres. Les méthodes mentionnées sont des méthodes uni-modales, ce qui signifie que seulement un type de signal est utilisé (par exemple ECG) dans la modélisation; cependant, une autre modalité de données (par exemple, PCG) peut également fournir une information complémentaire qui peut être utile dans l’indexation des cycles.

Supposons que nous ayons deux modalités: s(t), le signal quasi-périodique que nous voulons modéliser, et r(t), la seconde modalité que nous allons utiliser comme référence.

τ i τ i+1 τ i+2 1st modality 2nd modality

(a) Le premier scénario

τ i τ i+1 τ i+2 τr i τr i+1 τr i+2 ← →δ ← →δ ← →δ 1st modality 2nd modality (b) Le deuxième scénario τ i τ i+1 τ i+2 τr i τr i+1 τr i+2 ←δ→ i ← δ → i+1 ← →δ i+2 1st modality 2nd modality (c) Le troisième scénario Figure B.13: Le schéma des 3 scénarios possibles pour la synchronisation des cycles de modalités.

Le signal quasi-périodique, s(t), est déjà défini dans l’équation (B.15). Considérant {τr n} l’ensemble des indices de cycle de la modalité de signal de référence, ce signal est aussi écrit de la même manière:

r(t) =

N

X

n=1

cr(t − τ_n^r). (B.19)

où c et cr sont les cycles de s(t) et r(t), respectivement, avec N cycles. Les ensembles d’indices de cycle sont respectivement notés par {τ_n} et {τr

n}. B.4.3.1 Multi-Modalité Partielle

Selon ce procédé, trois scénarios différents peuvent se produire. Le premier scénario con-sidère que les deux modalités de signaux sont complètement synchrones, ce qui signifie que les indices se produisent exactement au même instant de temps (Fig. B.13a):

∀n, τ_n= τ_n^r. (B.20)

Le deuxième scénario considère que les signaux sont synchrones, comme le cas précédent; cependant, il ya un retard constant entre les indices (Fig. B.13b):

τ_n− τr

n= δ, for all 1 ≤ n ≤ N. (B.21)

Dans ces deux cas, l’indices de cycle de référence, τr

n, peut directement identifier l’indice de cycles, τ n, de s(t). Dans le cas du deuxième scénario, la constante de retard δ peut aussi être considérée comme un hyperparamètre supplémentaire de la PG. Le troisième scénario se produit lorsque le retard entre les indices des deux modalités est pas constante:

τ_n− τr

n= δ_n, (B.22)

et δn dépend du nombre du cycle, n. Ce délai varie d’un cycle à l’autre. Dans ce scénario, qui est représenté sur la Fig. B.13c, si les indices de cycle de référence sont directement utilisés pour indexer les cycles de signaux, le procédé peut montrer une certaine flexibilité

APPENDIX B. RÉSUMÉ EN FRANCAIS compte tenu des observations et la quantité de retard, mais il peut aussi causer des conflits dans la modélisation. Cette méthode est appelée multi-modalité partielle parce que la seconde modalité est utilisée seulement dans l’indexation des cycles. Ainsi, les indices de cycles sont détectés en utilisant la modalité de référence. Après, ces indices sont donnés à la fonction covariance. Ensuite, ces méthodes ne considèrent plus la modalité de référence, et le signal désiré est modélisé uniquement sur la base des indices de cycle détecté. B.4.3.2 Multi-Modalité Naturelle

L’approche qui est introduite ici est multi-modale car elle utilise la modalité de référence naturellement dans le modèle apriori de PG. Dans l’approche uni-modale, la fonction péri-odique nécessite une connaissance préalable sur les indices de cycle du signal. Ici, une façon plus naturelle de considérer la multi-modalité est présentée. Cela va présenter une nouvelle fonction de covariance qui nécessite un autre canal de données. Revenons d’abord sur la fonction de covariance exponentielle carrée qui est une fonction classique pour décrire les phénomènes naturels. Cette fonction de covariance est définie par l’équation (B.16), pour le processus réel de s(t).

k(t, t^′; θ) = exp −||~u(t) − ~u(t^′)||²₂ 2l2

. (B.23)

Ici ||.||2

2 désigne la norme L2 et l est la longueur de cohérence qui est l’hyperparamètre de la fonction de covariance: θ = l. Cette fonction de covariance est définie comme la fonction de l’espace d’entrée, ~u(t). L’espace d’entrée peut être soit les points de temps où ~

u(t) = t; soit d’autres apports qui peuvent être mappés par une fonction f à la sortie s(t) :

s(t) = f (~u(t)) + ǫ(t), (B.24)

Ainsi, la modalité de référence r(t), peut également être utilisé: ~u(t) = ~r(t). Il est impor-tant de noter que cette relation entre l’entrée ~u(t) et la sortie de s(t) n’est pas supposée linéaire [Pérez-Cruz et al., 2013]. Maintenant, le PG peut alors être décrit comme:

f ~u_L(t)
∼ GP  0, ku  ~ u_L(t), ~uL(t^′) , (B.25) ou ~u_L(t) = [u(t), · · · , u(t − L + 1)]^†.

Nous proposerons ensuite la fonction de covariance suivante qui dépend de la fenêtre de la modalité de référence: k(t, t^′; θ) = k_u ~u_L(t), ~u_L(t^′)
= σ²exp − ^{~uL(t) − ~uL(t} ′)
† ~u_L(t) − ~u_L(t′)
2l2
, (B.26)

où σ est utilisé pour modéliser l’amplitude du signal, et l est la longueur de cohérence. L est la longueur de la fenêtre de l’entrée de la fonction de covariance. Par conséquent, l’ensemble de hyperparamètre est défini comme θ = {σ2, l², L}.

Nous pouvons utiliser la version 1-bit du signal de référence. En d’autres termes, uq(t) = signe(ut) peut aussi être utilisé comme référence (lorsque la moyenne de u(t) est égale à zéro). Avec la même raison, cette approche ne fonctionne pas seulement avec le signal de référence complète de la modalité, r(t), mais ça fonctionne aussi avec la version 1-bit de cette modalité, rq(t). L’utilisation du signal de référence de 1-bit est proposé pour un dispositif moins coûteux car il peut être enregistré à l’aide des capteurs bon marché ou un CAN 1-bit. Ce signal est également plus économe en mémoire et il a moins de complexité temporelle à traiter.