Perspectives de recherche

Présentons maintenant quelques questions reliées aux objets étudiés dans cette thèse. a. Zéros de polynômes aléatoires

L’étude des zéros de polynômes aléatoires ou de fonctions entières aléatoires possède certaines similarités avec cette des valeurs propres de matrices aléatoires (voir par exemple [HKPV09], ou encore comparer [TV11] et [TV14]). Une raison qui peut expliquer cette similitude est que le changement de variables coefficients-racines fait apparaître un déterminant de Vandermonde en les racines, d’où une structure algébrique particulière de la loi de probabilité et - du point de vue de la physique statistique - une interaction logarithmique entre racines considérées comme des particules.

De la même manière qu’il existe de nombreux modèles de matrices aléatoires, on peut consi- dérer plusieurs familles de polynômes aléatoires. Un cas particulier est celui où P_N est un “po- lynôme de Kac” et s’écrit

PN(X) := N

X

k=0

akXk

avec pour coefficients {a_k}_k=1,...,N des variables aléatoires Gaussiennes complexes i.i.d centrées de variance 1/2. Dans ce cas (et, en fait, le résultat vaut pour des familles plus générales) la mesure empirique des zéros

µN := 1 N N X i=1 δzi

converge presque sûrement vers la mesure uniforme sur le cercle unité quand N → ∞ (voir par exemple [Kos93]).

Dans [ZZ10] (voir aussi [But15] pour une ré-écriture plus élementaire de la preuve), Zeitouni et Zelditch établissent un principe de grandes déviations pour la loi de µ_N, qui fournit l’équivalent du théorème 2 dans ce cadre. En particulier, ce résultat fait apparaître la similarité de la loi

jointe des racines de PN avec un modèle de physique statistique. Introduisons la fonctionnelle d’énergie HKac_N (z1, . . . , zN) := X 1≤i6=j≤N − log |zi− zj| + (N + 1) log ˆ S1 N Y i=1 |z − zi|2 ! dν_S1(z),

avec ν_S1 la mesure uniforme sur le cercle unité, et la mesure de Gibbs associée (à température

inverse β = 1) dPKacN ( ~ZN) := 1 ZN exp−HKac N (z1, . . . , zN)  d ~ZN,

où ~ZN = (z1, . . . , zN) ∈ CN et d ~ZN est la mesure de Lebesgue sur C (avec toujours ZN une

constante de normalisation). Alors la loi jointe des zéros de la famille de polynômes aléatoires définie plus haut coïncide avec PKacN . On peut donc voir les zéros de PN comme des particules

dans C interagissant via un potentiel logarithmique, et soumises à un confinement non linéaire V ( ~ZN) := (N + 1) log ˆ S1 N Y i=1 |z − zi|2 ! dν_S1(z).

Dans un projet avec Raphaël Butez, nous aimerions donner un principe de grandes déviations au second ordre, concernant le comportement microscopique du système. Le caractère particulier du “potentiel” V est intéressant : outre sa nature non-linéaire, il est “faiblement” confinant et pourtant piège les particules dans un compact du plan. De plus, le problème est bi-dimensionnel mais la mesure limite, elle, est concentrée sur une sous-variété de dimension 1, l’observable microscopique doit donc tenir compte à la fois de la disposition 1d des particules (mesurée par leur angle) et de leur distance au cercle unité.

b. Unicité des minimiseurs et caractérisation des processus Sine_β

Dans [LS15] il est prouvé que les processus ponctuels Sine_β définis par Valko et Virag dans [VV09] forment une famille de minimiseurs pour la fonctionnelle d’énergie libre F_β1 dans le cas du log-gas à une dimension. Si l’on prouvait que les minimiseurs de Fβsont uniques en dimension

1, cela donnerait une caractérisation variationnelle de ces processus. Comme F_β est affine, on ne peut pas utiliser un argument direct de (stricte) convexité pour obtenir l’unicité des minimiseurs. Cependant, suivant une suggestion d’Alice Guionnet, il serait possible de montrer que Fβ est

convexe par déplacement, une notion introduite par Mc Cann [McC97] dans le contexte du transport optimal. On dit qu’une fonctionnelle F : P(X) → R est convexe par déplacement si F est convexe le long des géodésiques {µt}t∈[0,1] avec µt := ((1 − t)Id + tT )#µ (# désigne

l’opération de pousser-en-avant), quand µ ∈ P(X) et T est l’application de transport optimal de µ à une autre mesure ν.

Il est très plausible que la fonctionnelle d’énergie libre associée à notre définition alternative Wint de l’énergie (voir le chapitre 4) soit effectivement convexe par déplacement (pour une bonne notion de transport optimal sur les processus ponctuels aléatoires) et a donc un unique minimiseur. Il resterait à montrer que cette propriété s’étend à la “vraie” fonction de taux Fβ.

Plus généralement, la question de l’unicité des minimiseurs est d’importance physique puis- qu’une réponse négative (plusieurs minimiseurs) correspond physiquement à une transition de phase : différents comportements limites possibles coexistent à une température donnée. c. Théorème central limite dans les cas logarithmiques

Un champ d’étude récemment actif consiste à établir un Théorème Central Limite (TCL) pour les fluctuations de statistiques linéaires i.e. pour la loi de PN

i=1f (xi) − N

´

une fonction test f assez régulière) given test function f , dans le contexte des log-gases 1D et 2D, ou pour des modèles de matrices aléatoires. On peut citer par exemple [Joh98, For99, Shc13, Shc14, AHM15, BG13b, BG13a], qui ne couvrent pas toutes les valeurs de β (en dimension 2) et imposent généralement des conditions fortes de régularité sur le potentiel V .

La transformée de Laplace de la loi de ces fluctuations sous la mesure de Gibbs PN,β coïncide

avec la mesure de Gibbs d’un log-gas où le potentiel a été perturbé. Dans un travail en cours avec Sylvia Serfaty, on cherche à établir un TCL pour les log-gases en dimension 1 et 2 en utilisant notamment les méthodes présentées plus haut, qui permettraient entre autres d’assouplir les conditions sur V (par exemple sans supposer V analytique) et de s’appliquer indifférement à toutes les valeurs de β > 0.

d. PGD local pour le log-gas à une dimension

Le comportement microscopique local (i.e. avec des moyennes réalisées à échelle mésoscopique arbitrairement petite comme dans ) pour les log-gases 1D a été établi dans [BEY14, BEY12], où les auteurs prouvent l’universalité (en fonction du potentiel) et établissent des lois locales (dans le même sens que ) précises jusqu’à l’échelle la plus fine N−1+ε. Un objectif serait de retrouver ces résultats par des arguments vartationnels plus “physiques” similaires à ceux mis en œuvre dans [Leb15a] et d’obtenir de plus un principe de grandes déviations à toute échelle mésoscopique. Un avantage serait que nos méthodes ne nécessitent pas d’hypothèses fortes de régularité sur V et sont, pour l’essentiel, insensibles au nombre de cuts (i.e. au nombre de composantes connexes du support Σ de µ_eq).

La principale difficulté rencontrée est d’obtenir un bon contrôle de la décroissance du champ électrique (ou de la transformée de Stieltjes, ce qui est essentiellement le même objet) le long de l’axe “supplémentaire” (quand on étend R en R1+1), afin de permettre aux techniques d’écrantage de fonctionner. Pour l’instant, les résultats obtenus ne permettent que de descendre à certaines échelles mésoscopiques N−ε, mais pas aux échelles les plus fines N−1+ε.

e. Gaz de Riesz hypersinguliers

Une question naturelle est de chercher à généraliser le principe de grandes déviations de [LS15] à des potentiels d’interaction plus généraux. Dans un travail en cours avec Doug Hardin, Edward Saff et Sylvia Serfaty, on traite le cas où g est un potentiel de Riesz hypersingulier du type g(x − y) = |x − y|−savec s > d. Ce potentiel est plus répulsif (puisque la singularité en 0 est de plus en plus forte quand s est grand) et décroît plus vite à l’infini (il n’est plus à longue portée, ce qui simplifie la localisation de l’énergie). Le comportement macroscopique est différent (il n’y a pas, en général, de mesure d’équilibre à support compact), mais à l’échelle microscopique on peut établir un résultat analogue à celui de [LS15] concernant les grandes déviations des champs empiriques.