Afin de conclure ce mémoire, une synthèse des travaux de thèse est réalisée ici. En premier lieu, les apports scientifiques et académiques sont mis en avant à la section 7.1.1, chapitre par chapitre. En second lieu, les autres apports de ces travaux, d’ordre industriel, sont résumés à la section 7.1.2. Enfin, la section 7.2 propose des perspectives d’approfondissement des résultats de cette thèse.
7.1 Apports des travaux de thèse
7.1.1 Apports scientifiques
Les apports de ces travaux peuvent être classés en trois catégories principales : la réduction de modèle pour les milieux périodiques, l’étude des milieux hétérogènes et l’étude des guides d’ondes rayonnants.
Réduction de modèle pour les milieux périodiques.
Une méthode de stratégie de réduction par apprentissage multi-nombre d’onde pour les structures périodiques a été présentée. Cette méthode, basée sur la théorie de Floquet- Bloch a été développée antérieurement pour des milieux à périodicité cyclique par Stern- schüss et al. [29], puis adapté pour les milieux à périodicité axiale par Arlaud [12], d’une manière très proche des travaux de Boukadia et al. [30]. Cette méthode consiste en deux phases :
— une phase d’apprentissage, où l’on calcule des modes périodiques dans la bande de fréquence d’intérêt, pour une faible quantité de nombres d’ondes seulement. Ils sont complétés par une correction statique permettant de représenter les efforts appliqués sur la structure ;
— une phase de construction de base qui s’assure de vérifier les conditions de périodi- cité de la structure.
A l’issue de procédé, on obtient un modèle réduit de tranche, ou superélément, permettant de réaliser des simulations dans le domaine fréquentiel comme temporel. Dans les cas d’applications traités dans ce mémoire, le gain de réduction obtenu est d’un facteur supérieur à 1000, autant en terme de temps de calcul que de stockage mémoire, sur les modèles de voie ferrée présentés dans cette thèse.
Par rapport aux travaux de Boukadia et al. [30], ces travaux proposent de ne sélec- tionner que quelques nombres d’ondes, permettant de réduire d’autant plus le coût de calcul. Par rapport aux travaux antérieurs de Arlaud [12], l’apport principal est lié à la présentation synthétique de la méthode sous la forme de phases d’apprentissage et de construction de base. Ceci a permis de la généraliser facilement à d’autres cas tels que l’ap- prentissage par réponse forcée, utilisé à la section 5.4.2 pour le modèle couplé FEM-PML, ou la prise en compte de changements de motifs périodiques, comme à la section 3.4.2 pour le modèle hétérogène. Des validations plus convaincantes sur des structures finies à la section 3.5.2, ou une structure hétérogène à la section 3.4.3, ont par ailleurs été fournies. Enfin, différentes corrections statiques ont été illustrées : notamment pour l’exemple de la voie sur dalle à la section 6.4. Ces résultats ont permis une publication [14] dans le Journal of Sound and Vibration.
Un autre apport est l’introduction d’un filtre modal dans les diagrammes de dispersion, utilisé par exemple à la figure 4.20b. Cet outil permet de suivre facilement l’évolution des formes modales, et semble être une proposition originale dans la communauté scientifique étudiant les guides d’ondes.
D’autre part, la section 3.3.3 apporte une clarification à but pédagogique de certaines propriétés de la transformée de Fourier en espace telle que le repliement de Bragg.
Enfin, une contribution, fondamentale du point de vue des objectifs industriels mais peu visible dans la rédaction, a été une refonte complète du code utilisé pour la réduction. En particulier, ont été implémentées la gestion de stratégies d’apprentissage et de correc- tions statiques variées, et la possibilité de décomposer la base par sous-domaines qui était indispensable pour le couplage FEM-PML.
Étude des structures hétérogènes aléatoires.
Afin d’améliorer la représentativité du modèle de ballast au sein du logiciel Dynavoie, la génération de milieux aléatoires a été reprise des travaux de Shinozuka et Deodatis [56] et adaptée afin de correspondre dans un premier temps à des milieux périodiques. L’étude de la dispersion des ondes dans ce type de milieu est un apport de cette thèse.
La présence de bandes de fréquences interdites au niveau des croisements de mode ainsi qu’aux repliements de Bragg a été mise en évidence, de manière similaire à des études sur les métamatériaux. La caractérisation des modes locaux, à vitesse de propagation nulle, a été aussi effectuée. Dans le cas d’une poutre entièrement aléatoire à la section 4.3.1, il a été illustré que le couplage entre les différents modes globaux, ainsi que la présence de modes locaux, a tendance à créer une forme d’atténuation de la réponse. Cet effet est de nature physiquement différente de l’amortissement classique, et est à relier à la dispersion des ondes au passage des hétérogénéités.
Enfin, l’application de la méthode de réduction au milieu hétérogène a montré que dans le cadre de la voie ferrée, cet effet n’est notable qu’à haute fréquence, au-delà de 80 Hz, et n’est donc pas la source de limitations observée dans les modèles homogènes de voie en basse fréquence.
Étude des guides d’ondes rayonnants
Il a été constaté que les niveaux basse fréquence obtenus dans les essais de réceptance sur la voie ferrée ne pouvaient pas être reproduits par un modèle numérique qui ne
7.1 Apports des travaux de thèse 155 tiendrait pas en compte du rayonnement. En effet, il a été montré que cette perte d’énergie ne peut se réduire à une modélisation par amortissement.
Le besoin industriel de simulations temporelles a conduit au choix d’implémentation d’une formulation d’éléments finis absorbants (PML). Une formulation duale u−σavec des champs séparés suivant les trois directions de l’espace, permettant de s’affranchir de termes intégraux, a été reprise de [93] et adaptée à la FEM. Des relations, apparemment nouvelles dans la littérature, à appliquer sur ces champs séparés afin d’obtenir une bon conditionnement et rendre possible la phase de réduction ont été également présentées à la section 5.3.2. De plus, une stratégie de réglage de la PML tri-dimensionnelle basée sur la norme de la distance à l’interface FEM-PML, est proposée et permet d’assurer une continuité des champs d’atténuation.
Afin de traiter des structures rayonnantes dans un temps faible, un constat de la littérature [38] est qu’il est nécessaire de considérer un grand nombre de modes complexes pour la réduction modale classique. C’est pourquoi une stratégie a été proposée consistant à réaliser une phase d’apprentissage à partir de réponses forcées en fréquence-nombre d’onde, pour un faible nombres de valeurs correspondant à la droite de dispersion de l’onde propagative que l’on souhaite représenter a été préférée à une stratégie de troncature difficile à mettre en place. Les résultats sont adaptés en fréquentiel, mais divergent en temporel.
La compréhension de cette divergence aux basses fréquences est le dernier apport sur les milieux absorbants PML. Ce problèmes ne semble pas avoir été clairement explicité dans la littérature. La cause en est probablement que les applications se concentrent sur des simulations en fréquentiel où ce problème ne se pose pas, ou bien des simulations impulsionnelles en temporel où la partie statique est négligeable. Cette limitation rend cependant cette méthode inadaptée en l’état pour des problèmes avec une importante partie statique, comme c’est le cas pour un passage de véhicule sur une voie ferrée.
7.1.2 Apports industriels
L’apport industriel majeur de cette thèse a été de rendre Dynavoie, l’outil de modélisa- tion et de simulation du comportement dynamique de la voie ferrée de SNCF Réseau, plus facilement utilisable par un bureau d’études. Un effort de documentation des fonctionnali- tés existantes et ajoutées au cours de la thèse a été fait, en parallèle du développement d’une interface graphique pour lancer des calculs simplifiés. En partenariat avec SDTools, la possibilité de réaliser simplement des études paramétriques de la conception de la voie ferrée a été ajoutée, comme cela a été illustré par l’exemple de la section 6.2. Aujourd’hui, l’outil Dynavoie a été utilisé activement par des non développeurs et a été généralisés a des configurations nouvelles, tel que l’exemple de la voie sur dalle de la section 6.4. Suite à la présentation des travaux, notamment au congrès Railways de 2018 réunissant les parties prenantes mondiales de la recherche dans le domaine ferroviaire, il est apparu que ce type de logiciel utilisé à un niveau industriel était une nouveauté.
De plus, un apport de la thèse a été le traitement des données expérimentales issues de la campagne de mesures DYNAMO à la section 6.2.1. Les résultats ont permis d’illustrer d’une part la variabilité de la raideur dynamique qui pouvait exister sur deux portions de voie ayant la même conception après un grand nombre de passages de trains, mais aussi l’importance d’effectuer une stabilisation dynamique STD après une opération de bourrage BDML afin d’obtenir une réponse dynamique conforme.
Enfin, une progression a été effectuée vis-à-vis de la comparaison entre les essais en voie et les résultats de simulation par rapport au début de la thèse. Il a été montré que l’introduction de milieux hétérogènes aléatoires n’avait que peu d’influence sur les
fréquences considérées, et ainsi que l’hétérogénéité du ballast n’était pas responsable de l’atténuation supplémentaire constatée aux basses fréquences dans les essais. Au contraire, il a été montré que le phénomène physique responsable de cette atténuation était la perte d’énergie par rayonnement des ondes dans le sol. L’introduction de milieux absorbants PML dans le modèle de voie ferrée périodique a été faite et a montré que, même si les résultats étaient prometteurs, la formulation en l’état diverge en statique et ne permet pas de modéliser le passage de véhicules, ce qui est l’objectif industriel principal. Cependant, même si les résultats prédits par Dynavoie ne correspondent pas en tout point à ceux obtenus par l’expérience, la prise en compte du rayonnement comme raison principale des différences observées est clairement établie.
7.2 Perspectives
La stratégie de réduction de modèle basée sur une phase d’apprentissage à nombre d’onde fixé pourrait être très utile pour des applications différentes que la voie ferrée, notamment la conception de guides d’ondes périodiques, de métamatériaux, ou encore de structures à symétrie cyclique.
Pour les applications ferroviaires de ces travaux, la perspective directe est l’implémen- tation de stratégies nouvelles pour représenter le rayonnement. En effet, il a été montré que l’implémentation de milieux absorbants proposée diverge en statique, ce qui empêche de traiter des problèmes tels que le passage de véhicule où la contribution quasi-statique est fondamentale. Une première stratégie pourrait être de compenser l’enfoncement pro- gressif de la voie par une pression mobile fictive appliquée sur la face inférieure du modèle de voie. Cependant, une approche plus robuste à long terme serait une implémentation de milieu absorbant à gradient ne présentant pas de divergence statique. La formulation actuelle est basée sur un gradient de raideur 5.6, qui tend vers 0 quand la fréquence ω tend vers 0, rendant singulière l’inverse de la matrice de rigidité dynamique. Une piste serait de considérer plutôt un gradient de densité pour réaliser l’atténuation, permettant de conserver l’asymptote basse fréquence de la rigidité.
Si pour l’application ferroviaire, les effets des hétérogénéités semblent faibles en basse fréquence, ce n’est certainement pas une conclusion générale. En particulier, l’absence de modes de propagation constants en espace a montré une atténuation notable dans le cas de la poutre hétérogène traité à la section 4.3.1. La proposition de combiner des matrices associées à des cellules géométriquement périodiques à propriétés aléatoires en espace paraît utile pour comprendre l’effet d’atténuation du cas entièrement aléatoire. Des applications pratiques seraient liées à la construction de structures périodiques à motif aléatoire. L’adaptation de la stratégie d’apprentissage à partir de plusieurs cellules périodiques se prête en effet bien à l’étude de variabilité de motif. Par ailleurs, il serait intéressant que poursuivre la validation de la méthode de réduction. La première piste concerne l’influence des tirages sélectionnés lors de la phase de réduction, ainsi que leur nombre. La seconde concerne la combinaison aléatoire des matrices réduites associée à chaque cellule afin de briser la périodicité. Il serait nécessaire de s’assurer que ce procédé ne biaise pas statistiquement les sorties du modèle de manière notable, et de quantifier l’influence de plusieurs combinaisons, pour une base d’apprentissage fixée.
Enfin, les essais analysés en section 6.2.1 montrent clairement un effet de superstruc- ture, qui n’est pas encore expliqué. Ils correspondent à un sol, et donc un rayonnement, invariant, associé à un changement des propriétés de compactage du ballast et possible- ment des semelles. Dans le modèle actuel, c’est uniquement la sous-structure qui modifie notablement le comportement aux basses fréquences. Si l’absence d’effet des semelles était confirmé, on pourrait envisager en premier lieu de coupler le modèle hétérogène obtenu
7.2 Perspectives 157 avec les milieux absorbants après introduction d’une formulation non divergente, pour vérifier que l’effet de l’hétérogénéité est toujours négligeable sur la bande de fréquence d’intérêt en présence de dissipation par rayonnement.
A
Réceptance d’une poutre infinie sur
support élastique
Cette annexe détaille le calcul de la réceptance pour la poutre infinie sur support élastique illustré à la figure 5.1. Rappelons que l’équation du mouvement vertical uz(x, t)
de cette poutre est
ρS∂
2u
∂t2(t, x) +EI
∂4u
∂x4(t, x) +ksu(t, x) = −Qδ(t)δ(x), (A.1) où E est le module de Young de la poutre, I son moment d’inertie, ρ sa masse volumique and S la surface d’un section verticale.
La théorie de Fourier autorise à rechercher la solution sous la forme d’une combinaison linéaire d’ondes planes de pulsation ω. En appliquant une transformée de Fourier en temps et en espace à l’équation du mouvement en absence de forces extérieures, on obtient
−ρSω2+EIk4+ks
U(ω, k) =0 (A.2)
Pour exprimer les solutions de cette équation, on doit distinguer deux cas suivant le signe de ρSω2−ks.
Cas ρSω2−ks >0.
Alors l’équation (A.2) a quatre solutions qui s’écrivent k1(ω) = 4 q ρSω2−ks EI k2(ω) =ik1(ω) k3(ω) = −k1(ω) k4(ω) = −ik1(ω) (A.3)
La solutionub(ω, x)recherchée peut être séparée en une onde se propageant vers la gauche u−(pour les x<0) et vers la droite u+(pour les x>0). Chaque contribution est cherchée
sous la forme ( b u−(ω, x) =∑4n=1Cnekn(ω)x, b u+(ω, x) =∑4n=1C4+nekn(ω)x, (A.4)
avec(Ci)i∈[1 8]des scalaires à déterminer.
La condition de rayonnement de Sommerfeld (2.13) impose qu’aucune onde ne peut venir de l’infini. Ceci impose qu’il ne peut pas y avoir d’onde se propageant vers la gauche dans u+, c’est-à-dire avec un nombre d’onde à partie imaginaire positive : donc
C6 =6. Inversement, il ne peut pas y avoir d’onde se propageant vers la droite dans u−,
ce qui impose C4=0. De plus, les solutions exponentielles croissantes sont physiquement
proscrites. Ainsi C5 =0 car l’onde avec un nombre d’onde à partie réelle positive ne peut
exister. Réciproquement, C3 =0. D’autre part, les conditions de raccordement entre u+et
u−en 0 s’écrivent b u−(0, ω) −ub +(0, ω) =0 , ∂bu − ∂x (0, ω) − ∂ub + ∂x (0, ω) =0 , ∂2ub − ∂x2 (0, ω) − ∂2ub + ∂x2 (0, ω) =0 , EI∂3ub − ∂x3 (0, ω) −EI ∂3ub + ∂x3 (0, ω) =Qδ(x). (A.5)
Les 4 constantes restant à déterminer s’obtiennent en résolvant le système matriciel 1 1 −1 −1 k1 k2 −k3 −k4 k21 k22 −k23 −k24 k31 k32 −k33 −k34 C1 C2 C7 C8 = 0 0 0 Q EI . (A.6) Ce système se résout en ( C1 =C7 = −4EIkQδ(3x) 1(ω) C2 =C8 =iC1 . (A.7)
On obtient ainsi une réceptance analytique comme étant le transfert du déplacement b
u(ω, x)au point x et de l’excitation−Q au point x=0 égale à
H(ω, x) = ub(ω, x) −Q = 1 4EIk31(ω) e−k1(ω)|x|+ie−ik1(ω)|x|. (A.8) Cas ρSω2−ks <0.
Dans le cas où ω<ω0, on obtient le même résultat, à condition de remplacer k1par k∗1
tel que
B
Compléments sur l’implémentation
des PML
Cette annexe a pour but de préciser quelques points d’implémentation du couplage FEM/PML non indispensables à la compréhension du manuscrit, mais qui peuvent être utiles pour le lecteur qui souhaiterait implémenter cette méthodologie.