Le Th´eor`emeI.3.1prouve l’absence de percolation d’une famille importante de POG.
Intuitivement, un POG dans lequel il est possible de rencontrer des boucles et qui ne forme pas de trop grandes arˆetes semble dispos´e `a satisfaire les hypoth`eses Loop et Shield. N´eanmoins, on rencontre encore des mod`eles de POG dont l’absence de percolation est connue, et qui ne v´erifient pas les hypoth`eses Loop et Shield. Par exemple, le mod`ele
Lilypond que nous pr´esenterons au d´ebut du Chapitre II, est un exemple de POG qui
AR ˆETE SORTANTE
`a travailler pour relaxer l’hypoth`ese Loop. C’est un travail difficile car tous les points d´ecrits dans l’hypoth`ese Loop apparaissent cruciaux dans la preuve de la Proposition I.3.8. La recherche d’une condition n´ecessaire et suffisante pour l’absence de percolation d’un POG est un travail exigeant et difficile. Il serait tout `a fait agr´eable de d´egager une caract´erisation simple des POG non percolants, d’autant que les sciences physiques et humaines fournissent une grande quantit´e de ph´enom`enes mod´elisables par ces graphes.
Certains outils de la preuve du Th´eor`eme I.3.1 peuvent constituer un point de d´epart
raisonnable pour la recherche d’un telle caract´erisation.
L’exemple de la marche aux (pk)k≥1 plus proches voisins souligne une autre limite du
Th´eor`eme I.3.1 : lorsque le support de la suite (pk)k≥1 n’est pas compact, une muraille
comme celle construite dans les preuves des Propositions I.4.3 et I.5.3 n’est pas efficace
pour les points marqu´es ayant une marque l∈ N∗tr`es grande. Un point marqu´e positionn´e
d’un cˆot´e de la muraille peut ´eventuellement ”sauter” par dessus si sa marque est plus grande qu’un certain entier. En d’autres termes, l’hypoth`ese Shield n’est pas v´erifi´ee pour un tel mod`ele. Par ailleurs, il est impossible de trouver un k uniforme (ind´ependant de la configuration et du sommet) pour l’hypoth`ese Loop : plus un sommet a une marque grande, plus il faut ajouter des points pour former la boucle (en suivant la strat´egie de
la preuve de la Proposition I.5.2). N´eanmoins, la non-compacit´e du support de la suite
(pk)k≥1 n’est certainement pas une condition suffisante pour la percolation de la marche ;
certaines propri´et´es sur la queue de distribution de la marque, ou bien sur ses moments, pourraient assurer l’absence de percolation.
La gen`ese du Th´eor`eme I.3.1 est n´ee de l’´etude du line segment model introduit
par D.J. Daley, S. Ebert et G. Last dans [7]. Ce mod`ele sera rigoureusement d´efini dans
le Chapitre II et des r´esultats d’absence de percolation seront ´enonc´es et prouv´es dans le
Chapitre III. En particulier, on montrera qu’une dynamique de segments grandissants `a
vitesse constante fournit un exemple de POG qui v´erifie les hypoth`eses Loop et Shield.
Comme mentionn´e dans la SectionI.3.1, on souhaite obtenir le maximum de propri´et´es
sur la loi de la taille d’un cluster typique dans un POG qui ne percole pas. La taille ´etant simplement d´efinie comme le nombre de points. Il apparaˆıt que la densit´e de points m- shield est fortement reli´ee `a la loi de la taille d’un cluster. L`a encore, la recherche d’un r´esultat donnant des informations sur la loi de la taille d’un cluster pour n’importe quel POG qui v´erifie les hypoth`eses Loop et Shield est une motivation importante. Il s’agit de
Chapitre II
Mod`eles germes grains arrˆet´es
R´esum´e du chapitre
Dans ce chapitre, nous pr´esentons une d´efinition du mod`ele germes grains Poissoniens dans le plan. Cette d´efinition est directement inspir´ee de mo- d`eles de segments grandissants ´etudi´es lors de la derni`ere d´ecennie. En exemple, nous introduisons un mod`ele de mouvements browniens grandis- sants. Lorsque tous les grains sont stopp´es avec probabilit´e 1, on dit que le mod`ele germes grains est arrˆet´e. Le r´esultat principal du chapitre (Th´eo-
r`eme II.4.1) donne une condition suffisante sur les param`etres d’un mod`ele
germes grains pour qu’il soit arrˆet´e.
La d´emonstration du th´eor`eme d’existence de mod`eles germes grains arrˆet´es est directement inspir´ee de la preuve d’existence d’intensit´e sous cri- tique pour la percolation dans le mod`ele Poisson bool´een. Nous montrerons qu’un mod`ele g´en´eral de segments grandissants v´erifie la condition suffisante exprim´ee par le th´eor`eme, et qu’il en est de mˆeme pour le mod`ele brownien
´evoqu´e plus haut (CorollaireII.4.2).
La structure des composantes connexes de grains stopp´es peut ˆetre mise en relation avec celle d’un graphe outdegree-one. Ainsi, toute la th´eorie des POG ´etablie dans le premier chapitre s’av`ere utile `a l’´etude de l’absence de percolation de certains mod`eles germes grains arrˆet´es (les mod`eles arrˆet´es en temps fini). Cette relation ´etroite entre un syst`eme de grains arrˆet´es et un graphe orient´e outdegree-one avait d´ej`a ´et´e exploit´ee dans l’´etude du mod`ele Lilypond. Une partie du chapitre sera d´edi´ee `a la pr´esentation de ce mod`ele qui a largement impuls´e les probl´ematiques pr´esent´ees dans cette th`ese.
Sommaire
II.1 Le mod`ele Lilypond . . . 58
II.1.1 D´efinition et existence . . . 58
II.1.2 Absence de percolation . . . 59