Dans ce chapitre, nous pr´esentons certaines directions de recherche et nos conclu-sions sur le travail d´ecrit dans cette th`ese. Tout d’abord, un ensemble d’extenconclu-sions et d’am´eliorations possibles de l’approche propos´ee sera pr´esent´e. Puis, nous aborderons nos conclusions sur ce travail en rappelant les r´esultats th´eoriques et exp´erimentaux obtenus.
6.1 Discussion et perspectives
6.1.1 Extension de la m´ethode de mod´elisation
La m´ethode de mod´elisation utilis´ee ´etant bas´ee sur la sp´ecification des fonctions di-rectes, l’int´egration des param`etres non g´eom´etriques ne pose aucun probl`eme particulier. D`es lors qu’on est capable de donner un mod`ele direct pour un ph´enom`ene donn´e en utilisant un ensemble de param`etres, la nature de la m´ethode utilis´ee (formalisme baye-sien) permet d’exploiter implicitement les ´eventuelles erreurs de mod´elisation lors de la r´esolution des probl`emes inverses.
Par exemple, nous pensons que la prise en compte des efforts statiques dans les m´ecanismes articul´es ainsi que les aspects dynamiques est tout `a fait envisageable. Cela ne pourrait qu’accroˆıtre les capacit´es du syst`eme concernant les ph´enom`enes non forc´ement g´eom´etriques. L’utilisation d’un param`etre de temp´erature, abord´ee au chapitre 4, est un autre exemple concret de cette possibilit´e.
6.1.2 Am´elioration de la m´ethode d’optimisation
L’un des principaux reproches fait `a l’utilisation des algorithmes g´en´etiques comme m´ethode d’optimisation globale est l’absence de r´esultats significatifs sur la convergence de ces algorithmes [Rudolph94]. Nous pouvons justifier l’utilisation de ce type d’algorithme dans l’approche que nous avons propos´ee par les arguments suivants :
1. L’utilisation d’un algorithme de type “recuit simul´e” pose dans la pratique le mˆeme probl`eme. La convergence de ce type d’algorithme n’est d´emontr´ee que pour des conditions tr`es contraignantes quant `a la d´ecroissance de la temp´erature de l’algo-rithme [Laarhoven87]. L’application de ces conditions en pratique rend l’algol’algo-rithme inutilisable et peu diff´erent d’une recherche syst´ematique dans l’espace des solutions. 2. La pr´esence pour un algorithme g´en´etique d’une population de solutions (et non d’une seule solution `a un instant donn´e) permet plus de robustesse dans les calculs.
Cet avantage est plus significatif dans notre cas o`u la fonction objectif n’est connue que par une approximation.
3. La pr´esence de plusieurs solutions permet un calcul multipr´ecision de la fonction objectif. L’augmentation de la pr´ecision de l’approximation au fur et `a mesure du proc´ed´e d’optimisation permet de commencer par des ´evaluations peu coˆuteuses de la fonction objectif, puis de d´epartager les diff´erentes solutions par la suite.
4. La facilit´e de la mise en œuvre et de la parall´elisation de ces algorithmes.
Toutefois, l’utilisation d’une m´ethode locale en fin du processus ne peut qu’am´eliorer la qualit´e des solutions trouv´ees. Nous pensons qu’il est possible dans la plupart des cas de calculer la d´eriv´ee de la fonction objectif. Pour ce faire, nous pouvons par exemple exploiter la propri´et´e suivante :
g(x) = ∂[ R F(x, y)dy] ∂x = Z ∂F(x, y) ∂x dy
pour toute fonction F d´erivable. Cela permet de calculer une approximation de cette d´eriv´ee par une m´ethode de Monte-Carlo en ´ecrivant :
g(x)'X i " ∂F(x, y(i)) ∂x #
L’utilisation de cette d´eriv´ee permet d’appliquer une m´ethode locale (descente du gradient par exemple) au voisinage de la solution trouv´ee par l’algorithme g´en´etique.
Une autre direction de recherche, pour l’am´elioration de la m´ethode de calcul, est d’´etudier la possibilit´e d’appliquer des m´ethodes probabilistes variationnelles [Jaakkola99]. Ces m´ethodes d´eterministes permettent une approximation plus performante de l’inf´erence sur les mod`eles probabilistes.
6.1.3 Extension pour aborder le probl`eme de planification de trajectoire
Dans ce travail, nous nous sommes int´eress´es `a trouver, pour un probl`eme de g´eom´etrie, une configuration finale satisfaisant au mieux les contraintes de la sp´ecification sans se pr´eoccuper de la mani`ere de passer d’une configuration initiale vers la solution retenue. Pour les probl`emes d’inversion g´eom´etrique pour un m´ecanisme articul´e, ce probl`eme de planification de trajectoire sous incertitudes n’est pas des plus triviaux. L’extension du syst`eme pour aborder ce probl`eme de planification de trajectoire nous paraˆıt envisageable. En particulier, nous souhaitons pouvoir exprimer explicitement les incertitudes sur les pa-ram`etres de poses des objets et les prendre en compte dans la planification de la trajectoire entre la configuration initiale et la solution retenue.
6.1.4 Nouvelles applications potentielles
En plus des applications en robotique et en CAO-robotique que nous avons abord´ees dans cette th`ese, les potentialit´es d’exploitation de l’approche propos´ee nous paraissent prometteuses. La g´en´eralit´e et l’homog´en´eit´e de nos m´ethodes permettent, a priori, l’uti-lisation de cette approche sans un important effort suppl´ementaire pour les adapter `a une application particuli`ere.
6.1. DISCUSSION ET PERSPECTIVES 127 Par exemple, l’utilisation de ces m´ethodes pour l’analyse et la synth`ese des tol´erancements pour la fabrication et l’assemblage des pi`eces m´ecaniques nous paraˆıt tr`es prometteuse. Pour cette application, la m´ethode que nous avons propos´ee pr´esente un int´erˆet du fait qu’elle permet une exploitation maximale de toutes les informations dispo-nibles sur les tol´erances interm´ediaires, sans se pr´eoccuper des conditions n´ecessaires `a la lin´earisation du mod`ele comme le proposent la plupart des travaux qui ont ´et´e fait dans ce domaine [Gaunet94, Whitney94, Sanderson97].
Cette application sera certainement d´evelopp´ee dans le futur proche. Elle fait l’objet d’une discussion avec la soci´et´e Dassault-Syst`emes pour une ´eventuelle application de nos m´ethodes pour l’analyse des tol´erancements dans le logiciel de CAO CATIA.
6.2 Conclusion
Nous avons pr´esent´e dans ce m´emoire nos travaux sur la sp´ecification bayesienne des probl`emes de g´eom´etrie en CAO-robotique et leur r´esolution.
Nous nous sommes efforc´es de r´epondre d’une part, `a la repr´esentation et la manipu-lation des incertitudes g´eom´etriques, d’autre part, `a l’utilisation de ces repr´esentations lors de la r´esolution de probl`emes g´eom´etriques sous incertitudes.
L’approche propos´ee est bas´ee sur le formalisme bayesien pour la sp´ecification et la r´esolution. Elle peut ˆetre vue comme une extension de la notion de contrainte g´eom´etrique. Cette notion est utilis´ee comme ´etant, dans le cas g´en´eral, une distribution de probabilit´e sur les param`etres et non pas une ´egalit´e ou bien une in´egalit´e. Dans un souci de g´en´eralit´e, aucune supposition n’a ´et´e faite sur les formes des distributions et sur les amplitudes des incertitudes li´ees aux mod`eles utilis´es.
Pour la mod´elisation d’un probl`eme, les m´ecanismes articul´es et leur environnement de travail sont assimil´es `a des corps rigides. La mod´elisation des poses relatives entre ces derniers est donn´ee par des distributions de probabilit´e sur les param`etres de ces poses. De la mˆeme mani`ere, les objectifs sont donn´es en termes de contraintes (distributions) `a ´etablir ou bien `a maintenir sur les poses relatives entre les corps rigides.
La structuration d’un probl`eme ainsi sp´ecifi´e sous la forme d’un graphe cin´ematique permet d’engendrer automatiquement une fonction objectif `a maximiser. Cette fonction correspond `a la distribution de probabilit´e sur l’espace des solutions et r´esulte de l’inf´erence bayesienne `a partir de la distribution conjointe sur l’ensemble des param`etres du probl`eme.
Dans le cas g´en´eral, la fonction objectif ainsi obtenue contient une int´egrale mul-tidimensionnelle. La dimension de l’espace d’int´egration d´epend, bien entendu, du probl`eme et peut ˆetre tr`es importante. De plus, cette fonction est multimodale dans la plupart des cas, ce qui rend l’utilisation d’une m´ethode d’optimisation locale inadapt´ee.
Le probl`eme de l’int´egration sur des espaces de grandes dimensions est abord´e par une m´ethode num´erique de type Monte-Carlo. Ces m´ethodes pr´esentent l’int´erˆet de bien s’adapter aux espaces de grandes dimensions. De plus, elles permettent dans notre cas de prendre en compte d’une mani`ere simple les contraintes g´eom´etriques d’in´egalit´es, en utilisant un tirage par rejet.
Ce proc´ed´e d’int´egration est contrˆol´e pour l’optimisation de la fonction objectif par un algorithme g´en´etique adaptatif permettant un calcul multipr´ecision de la fonction objectif. Cela permet en particulier de commencer l’optimisation avec des estimations de la fonction objectif qui peuvent ˆetre peu pr´ecises, et d’affiner ces estimations au fur et `a mesure. Pour rem´edier au probl`eme de la complexit´e de la forme de la fonction objectif pour les probl`emes tr`es contraints, une notion de temp´erature inspir´ee des m´ethodes de recuit simul´e a ´et´e introduite. Cette notion permet une relaxation provisoire des contraintes au d´ebut du proc´ed´e d’optimisation. Elle permet par la suite de retrouver
6.2. CONCLUSION 129 progressivement les contraintes originelles en d´ecroissant la temp´erature.
L’approche propos´ee a fait l’objet d’une exp´erimentation pouss´ee grˆace au d´eveloppement d’un environnement de programmation d´edi´e. L’homog´en´eit´e qui d´ecoule de la m´ethode de sp´ecification utilis´ee et la robustesse de la m´ethode de r´esolution pro-pos´ee nous ont permis la mise en œuvre d’un grand nombre de probl`emes g´eom´etriques qui peuvent paraˆıtre `a premi`ere vue de natures tr`es diff´erentes.
Annexe A