1.5.1 Sur les flips
La première question laissée ouverte sur les flips est bien sûr de trouver une borne supérieure sur le temps de mélange. Une borne supérieure polynomiale en n a très récemment été obtenue par Alessandra Caraceni et Alexandre Stauffer [51]. Plus précisément, la borne obtenue est d’ordre n13/2. Trouver le bon exposant reste donc ouvert.
Par ailleurs, il est également possible de définir une dynamique de flips sur des triangulations infinies en munissant chaque arête d’un processus de Poisson, et en la flippant chaque fois que le processus saute. On peut montrer que l’UIPT ainsi que les PSHIT sont stationnaires pour cette dynamique. Il est alors naturel de se demander si les mélanges de PSHIT sont les seules triangulations stationnaires pour cette dynamique.
Cette dynamique sur des triangulations infinies soulève par ailleurs d’autres interrogations. Par exemple, peut-on trouver des propriétés presque sûres de l’UIPT pour lesquelles il existe des
temps exceptionnels auxquels la propriété n’est plus vérifiée ? La croissance en r4 semble assez rigide, mais on peut penser par exemple à l’absence de composante infinie pour la percolation critique.
1.5.2 Sur les PSHIT
La principale question restant ouverte sur les PSHIT est la Conjecture 1.4 (dont la Conjecture B.1 est une version plus précise). Comme pour l’UIPT, une preuve de cette conjecture devrait reposer sur des résultats précis sur l’énumération des cartes de genre grand. Des relations de récurrence existent pour compter ces cartes [80], et il faudrait en extraire des asymptotiques quand la taille et le genre tendent simultanément vers l’infini.
Une autre question naturelle est la suivante : les PSHIT et le plan brownien hyperbolique admettent-ils, à l’instar de l’UIPT et du plan brownien, des constructions "à la Schaeffer" à partir d’arbres étiquetés ? Notons qu’avant l’introduction des PSHIT, une telle construction partant d’un arbre de Galton–Watson surcritique avait été proposée par Itai Benjamini [25], mais l’objet obtenu semble différent. Il y a des raisons de penser que de telles constructions n’existent pas forcément24. En revanche, nous pensons que les bandes délimitées par les géodésiques infinies que nous étudions dans le chapitre 4 peuvent être vues comme des limites de cartes browniennes, conditionnées à avoir un diamètre proportionnel à leur volume, puis découpées le long d’une géodésique.
Les modèles du demi-plan ne sont pas abordés dans le chapitre 3. On pourrait cependant renormaliser les triangulations du demi-plan Hαde [18] avec α > 23 tout en faisant tendre α vers sa valeur critique 23, et se demander si elles admettent une limite d’échelle quasi-critique qu’on appellerait le demi-plan brownien hyperbolique. Une approche naturelle serait alors d’adapter les arguments du chapitre 3 en utilisant le demi-plan brownien [22] au lieu du plan brownien. Cependant, cela nécessiterait une meilleure compréhension des périmètres et volumes des enve-loppes dans le demi-plan brownien (analogue des résultats de [63]). Ces questions sont l’objet d’un travail en cours avec Armand Riera. L’outil naturel pour les étudier est la construction du demi-plan brownien proposée par Nicolas Curien et Alessandra Caraceni [50].
Enfin, une étude plus complète des cartes markoviennes biparties du plan serait très intéres-sante. En particulier, comme noté dans l’Appendice C, il est possible qu’il existe des analogues hyperboliques des cartes stables, c’est-à-dire des cartes hyperboliques possédant de grandes faces, et peut-être une géométrie différente des PSHIT.
1.5.3 Sur les cartes causales
Nous laissons dans le chapitre 5 un certain nombre de questions ouvertes sur les cartes causales surcritiques. Ces questions sont majoritairement liées au comportement de la marche aléatoire simple. La plus naturelle est de chercher à supprimer l’hypothèse µ(0) = 0 dans le Théorème 1.4.3. De même que sur les arbres de Galton–Watson [109], on pourrait également étudier la marche biaisée sur ces cartes, où la probabilité d’aller vers le parent du sommet courant est différente de la probabilité d’aller vers un de ses enfants. En particulier, sur les arbres, si µ(0) > 0, un drift trop fort vers le haut peut paradoxalement ralentir la marche en la "coinçant" dans de petits arbres finis. Nous pensons que ce phénomène disparaît dans les cartes causales.
Une étude plus précise de la mesure harmonique sur les cartes causales serait aussi inté-ressante. Par exemple, on peut la comparer à la mesure limite quand n → +∞ de la mesure
24. Dans les bijections entre arbres et cartes, l’arbre correspond usuellement au cut-locus de la carte, c’est-à-dire à l’ensemble des points admettant plusieurs géodésiques vers la racine (qui peut être à l’infini). Pour "remplir" la carte, ce cut-locus devrait croiser les géodésiques infinies que nous étudions dans le chapitre 4, ce qui est impossible d’après les résultats de [98].
uniforme sur l’ensemble des sommets de la génération n. Il est montré dans [108] que pour la marche sur l’arbre, ces deux mesures sont singulières, ce qui signifie que la marche aléatoire se concentre en fait sur une "petite" partie de l’arbre. Nous nous attendons à ce que ce phénomène se produise également dans les cartes causales.
Une autre quantité liée à la marche aléatoire qu’il peut être intéressant d’étudier est la vitesse de décroissance de la probabilité pn de retour en 0 au temps n. Cette quantité décroît comme exp −n1/3 dans les arbres de Galton–Watson surcritiques et dans les versions semi-planaires des PSHIT [17]. On s’attend à un comportement similaire dans les cartes causales surcritiques (voir la dernière section du chapitre 5). Nos arguments dans la preuve du Théorème 1.4.3 permettent au mieux de montrer que pn tend vers0 plus vite que n’importe quel polynôme, ce qui reste un résultat assez faible. Les preuves pour les modèles précédents utilisent la propriété d’expansion enracinée, qui ne semble cependant pas évidente à montrer chez les cartes causales.
Chapter 2
On the mixing time of the flip walk on
triangulations of the sphere
ou Une suite de flips.
This chapter is adapted from [44], published in Comptes-Rendus Mathématiques de l’Académie des Sciences.
A simple way to sample a uniform triangulation of the sphere with a fixed number n of vertices is a Monte-Carlo method: we start from an arbitrary triangulation and flip repeatedly a uniformly chosen edge. We give a lower bound of order n5/4 on the mixing time of this Markov chain.
Contents
2.1 Introduction . . . . 44 2.2 Combinatorial preliminaries and couplings . . . . 45 2.3 Proof of Theorem 2.1 . . . . 49 2.A Appendix: Connectedness of the flip graph for type-I triangulations 51
e2
e1
t flip(t, e1)
Figure 2.1 – An example of flip of an edge. The orange edge e2 is not flippable.
2.1 Introduction
Much attention has been given recently to the study of large uniform triangulations of the sphere. Historically, these triangulations have been first considered by physicists as a discrete model for quantum gravity. Before the introduction of more direct tools (bijection with trees or peeling process), the first simulations [84, 86] were made using a Monte-Carlo method based on flips of triangulations.
More precisely, for all n≥ 3, let Tn be the set of rooted type-I triangulations of the sphere with n vertices (that is, triangulations that may contain loops and multiple edges, equipped with a distinguished oriented edge). If t is a triangulation we write V(t) for the set of its vertices and E(t) for the set of its edges. If t∈ Tn and e∈ E(t), we write flip(t, e) for the triangulation obtained by removing the edge e from t and drawing the other diagonal of the face of degree 4 that appears. We say that flip(t, e) is obtained from t by flipping the edge e (cf. Figure 2.1). Note that it is possible to flip a loop and to flip the root edge. The only case in which an edge cannot be flipped is if both of its sides are adjacent to the same face like the edge e2 on Figure 2.1. In this case flip(t, e) = t. Note that there is a natural bijection between E(t) and E (flip(t, e)). When there is no ambiguity, we shall sometimes treat an element of one of these two sets as if it belonged to the other.
The graph of triangulations of the sphere in which two triangulations are related if one can pass from one to the other by flipping an edge has already been studied in the type-III setting (that is, triangulations with neither loops nor multiple edges): it is connected [138] and its diameter is linear in n [91]. We extend these results to our setup in Lemma 2.12.
We define a Markov chain (Tn(k))k≥0 on Tn as follows: conditionally on (Tn(0), . . . , Tn(k)), let ek be a uniformly chosen edge of Tn(k). We take Tn(k + 1) = flip(Tn(k), ek). It is easy to see that the uniform measure onTnis reversible, thus stationary for(Tn(k))k≥0, so this Markov chain will converge to the uniform distribution (the irreducibility is guaranteed by the connectedness results described above and the aperiodicity by the possible existence of non flippable edges). It is then natural to estimate the mixing time of (Tn(k))k≥0 (see Chapter 4.5 of [104] for a proper definition of the mixing time). Our theorem provides a lower bound.
Theorem 2.1. There is a constant c >0 such that for all n≥ 3 the mixing time of the Markov chain(Tn(k))k≥0 is at least cn5/4.
Mixing times for other types of flip chains have also been investigated. For triangulations of a convex n-gon without inner vertices it is known that the mixing time is polynomial and at least of order n3/2 (see [113, 121]). In particular, our proof was partly inspired by the proof of the lower bound in [121]. Finally, see [49] for estimates on the mixing time of the flip walk on lattice triangulations, that is, triangulations whose vertices are points on a lattice and with Boltzmann weights depending on the total length of their edges.
The strategy of our proof is as follows: we start with two independent uniform triangulations with a boundary of length1 and n2 inner vertices and glue them together along their boundaries. We obtain a triangulation of the sphere with a cycle of length1 such that half of the vertices lie on each side of this cycle. We then start our Markov chain from this triangulation and discover one of the two sides of the cycle gradually by a peeling procedure. By using the estimates of Curien and Le Gall [64] and a result of Krikun about separating cycles in the UIPT [94], we show that after o(n5/4) flips, with high probability, the triangulation still has a cycle of length o(n1/4), on each side of which lie a proportion at least 1
4 of the vertices. But by a result of Le Gall and Paulin [103], this is not the case in a uniform triangulation (this is the discrete counterpart of the homeomorphicity of the Brownian map to the sphere), which shows that a time o(n5/4) is not enough to approach the uniform distribution.
Acknowledgements: I thank Nicolas Curien for carefully reading earlier versions of this manuscript. I also thank the anonymous referee for his useful comments. I acknowledge the support of ANR Liouville (ANR-15-CE40-0013) and ANR GRAAL (ANR-14-CE25-0014).