Performances de la couche de substitution selon les cinq critères énoncés: Les différents tests réalisés précédemment, nous ont permis de choisir le bon couple Les différents tests réalisés précédemment, nous ont permis de choisir le bon couple 

6, 4 permettant d’avoir les meilleures performances de la couche de substitution.  Partant  de  ce  couple  de  valeurs,  nous  évaluons  ici  les  cinq  critères  et  nous  comparons  les  résultats obtenus avec ceux obtenus par différentes couches de substitution de la littérature.    

A  ce  propos,  nous  générons    1000  clés  dynamiques    de  taille    bits  (avec  4, et 8 ,  de  façon  aléatoire  et  uniforme.  Pour  chaque  clé,  et  pour  un  même  vecteur  d’entrée  1, 2, ,256  (tel que  ),  le  calcul  de  la  fonction  de  substitution    se  fait comme suit : 

Pour le premier paramètre de contrôle, on calcule la fonction de substitution    de façon  itérative    fois.  Le  résultat  obtenu  de    est  utilisé  comme  vecteur  d’entrée  permettant  d’itérer  à  nouveau      fois,  pour  le  deuxième  paramètre  de  contrôle,  et  ainsi  de  suite,  jusqu’à épuisement du dernier paramètre.  

Sur  chaque  fonction    calculée,    nous  calculons  immédiatement  les  cinq  critères 

NLF, , , , et  avant de passer au calcul de la fonction   suivante. Au final,  nous obtenons 5 tableaux de 1000 lignes et de 1 colonne contenant les cinq critères. 

2.6.4.1 Résultats du critère NLF 

Dans  les  figures  3.40‐a,  3.40‐b,  nous  présentons  l’évolution  du  NLF en  fonction  de  la  clé  dynamique  et  sa  distribution.  Sur  ces  figures,  nous  remarquons  que  93.2%  de  clés  dynamiques  utilisées  (donc  de  couches  de  substitution)  achèvent  des  non‐linéarités 

96. En Matlab ce calcul se fait par :  96 / 100. 

Ceci correspondant à une probabilité d’approximation linéaire  2 .  

Nous observons aussi que 6.8% des clés dynamiques aboutissent à des non‐linéarités faibles   96, et donc un  2 . Notons que toutes les techniques de création de couches de  substitution dynamiques possèdent un certain nombre de clés dites faibles. 

Les  maximum,  minimum,  moyenne  et  écart  type  obtenus  de  la  non  linéarité  sont :  110,  60,  102.62,  et  4.5  respectivement.  La  probabilité  d’approximation  linéaire  moyenne  est  de  2 . _{. Ces résultats nous permettent de conclure qu’en moyenne, l’objectif de la non‐}

linéarité est atteint.   

Rappelons  au  passage  que  la  couche  de  substitution  statique  de  l’algorithme  AES  a  été  conçue pour obtenir   , | | 32, soit une non‐linéarité maximale  112, 

(a)  (b) 

Fig. 3.40:‐a. Evolution du NLF en fonction de la clé dynamique,  ‐b.  Distribution du NLF       

2.6.4.2 Résultats du critère   

Dans  les  figures  3.41‐a,  3.41‐b,  nous  présentons  l’évolution  du    en  fonction  de  la  clé  dynamique et sa distribution (l’échelle ordonnée de la figure 20‐a, et l’échelle abscisse de la  figure 20‐b sont des échelles en  ). Nous pouvons faire les remarques suivantes : 

93.2%  de  clés  dynamiques  utilisées  donnent  des  2 ,  27.4%  des  couches  de  substitution possèdent des   tel que 2 2  et seulement 0.008% des couches de  substitution possèdent des  2 . 

Par  ailleurs,  les  maximum,  minimum,  moyenne  et  écart‐type  obtenus  du    sont : 2 . , 2 . , 2 . et 0.0189.   Tous ces résultats sont en cohérence totale avec les résultats obtenus par le critère NLF.    (a)    (b)         Fig. 3.41: ‐a. Evolution du LPF en fonction de la clé dynamique, ‐b) Distribution du  LPF           Les résultats obtenus par les critères NLF et   montrent clairement que la majorité  des couches de substitution (93.2%) sont résistantes vis‐à‐vis de l’attaque linéaire. 

2.6.4.3 Résultats du critère   

La  probabilité  d’approximation  différentielle  a  un  comportement  similaire  à  la  probabilité  d’approximation  linéaire  et  possède  les  mêmes  ordres  de  grandeur  en  fonction  des clés dynamiques. Rappelons aussi, que la couche de substitution statique de l’algorithme 

AES possède un  2 . 

Dans  les  figures  3.42‐a,  3.42‐b,  nous  présentons  l’évolution  du    en  fonction  de  la  clé  dynamique et sa distribution (l’échelle ordonnée de la figure 3.42‐a, et l’échelle abscisse de la  figure 3.42‐b sont des échelles en  ). Nous pouvons faire les remarques suivantes : 

90.2%  de  clés  dynamiques  utilisées  donnent  des  2 . ,  70.3%  des  couches  de  substitution possèdent des   tel que 2 2  et seulement 0.022% des couches de  substitution possèdent des  2 . 

Par  ailleurs,  les  maximum,  minimum,  moyenne  et  écart‐type  obtenus  du    sont : 2 . , 2 . , 2 . et 0.0228.  

Ces  résultats  montrent  que  la    majorité  des  couches  de  substitution  résiste  à  l’attaque  différentielle. 

(a)  (b) 

Fig. 3.42:‐a. Evolution du  DPF en fonction de la clé dynamique, ‐b.  Distribution du  DPF        

2.6.4.4 Résultats du critère   

Dans  les  figures  3.43‐a,  3.43‐b,  nous  présentons  l’évolution  de  la  moyenne  du    en  fonction de la clé dynamique et sa distribution. Nous pouvons faire les remarques suivantes :  97.2% de clés dynamiques utilisées donnent des valeurs moyennes des  0.46, 74. 90%  des  couches  de  substitution  possèdent  des  moyennes    tel  que  0.48 0.5142  et  seulement 0.028% des couches de substitution possèdent des moyennes  0.46. 

Par  ailleurs,  les  maximum,  minimum,  moyenne  et  écart‐type  obtenus  des    moyennes  sont :  0.5142,  0.4282,    0.48638    et  0.0117.  La    majorité  des  valeurs  moyennes  des  SAC  sont  autour la valeur optimale de 0.5.   

(a)  (b)  Fig. 3.43 :‐a. Evolution de la moyenne des  SAC    ‐b.  Distribution de la moyenne des SAC en  fonction de la clé dynamique        2.6.4.5 Résultats du critère    Dans les figures 3.44‐a, 3.44‐b, nous présentons l’évolution de la moyenne du   en  fonction de la clé dynamique et sa distribution. Rappelons que la diagonale de la matrice BIC  est vide. Nous pouvons faire les remarques suivantes : 

97. 1% des couches de substitution possèdent des moyennes   tel que 0.49 0.51 et  seulement 0.029% des couches de substitution possèdent des moyennes  0.49. 

Par  ailleurs,  les  maximum,  minimum,  moyenne  et  écart‐type  obtenus  des    moyennes  sont : 0.5101, 0.4623,  0.4999  et 0.0046. La  majorité des valeurs moyennes des BIC sont autour  la valeur optimale de 0.5.      (a)  (b)  Fig. 3.44:‐a. Evolution de la moyenne des BIC     ‐b.  Distribution de la moyenne des BIC en  fonction de la clé dynamique.         

Les  résultats  des  figures  3.43  et  3.44,  montrent  clairement  que  la  majorité  des  couches  de  substitution  satisfont  les  critères  SAC  et  BIC. Donc,  les  couches  de  substitution  en  question  résistent à l’attaque à texte clair/chiffré connu et choisi.