(a) (b)
Figure 2.22 – Calcul de l’amplitude de modulation OMA en fonction de Lact : (a) pour chaque épaisseur (N = 1018cm≠3) et (b) pour chaque niveau de dopage (Tox= 10 nm) simulés
On reproduit le même exercice pour le modulateur COPA-V (figure 2.22). Ce modulateur étant moins performant que le modulateur COPA-H, j’ai choisi de simuler des épaisseurs d’isolant plus agressives, inférieures à 10 nm. Ceci pénalise la fréquence de coupure car la capacité de l’isolant est plus importante. Néanmoins, une marge de 25 % de capacité totale est disponible en comparant la largeur de la capacité, égale à W = 400 nm pour COPA-H et à TSOI = 300 nm pour COPA-V. Le niveau de dopage est par ailleurs moins agressif car la résistance d’accès du modulateur COPA-V est moins critique que dans le cas COPA-H, ce dernier possédant des épaisseurs d’accès deux à trois fois plus faibles. On voit que le point de comparaison avec le modulateur COPA-H, pour un niveau de dopage de N = 1018 cm≠3 et une épaisseur d’isolant Tox= 10 nm, montre des performances inférieures au modulateur COPA-H, avec une amplitude de modulation maximale de ≠10 dBm au lieu de ≠6 dBm précédemment.
Le modulateur COPA-V est un composant à privilégier pour de très bonnes performances en pertes d’insertion. En effet, le fort confinement du mode dans l’isolant permet de diminuer les pertes dues à l’absorption des porteurs majoritaires apportés par les dopants. De plus, l’optimisation du profil de dopage en vue de diminuer la résistance d’accès est moins stratégique que dans le cas
V - Conclusions du chapitre
du modulateur COPA-H. Ce choix d’intégration forme un très bon support pour utiliser des effets de champ non linéaires dans l’isolant, complémentaires des effets de porteurs présents dans les semiconducteurs.
V - Conclusions du chapitre
En résumé, les simulations à éléments finis consistent à résoudre dans un premier temps l’équation de Poisson pour décrire le comportement électrique de la région active du modulateur capacitif et en particulier les concentrations en porteurs libres dans les semiconducteurs en fonction de la tension appliquée. Dans un second temps, les densités de charges sont converties en indices de réfraction puis en indices effectifs grâce au calcul numérique du mode optique guidé à travers la structure active.
Les simulations permettent d’optimiser le guidage pour les performances des modulateurs capacitifs. Le modulateur COPA-H possède un fort intérêt grâce au fort confinement du mode optique qu’il procure, avec une largeur de guide – et donc une largeur de capacité totale – inférieure à 400 nm. Cela est apporté par les gravures partielles de part et d’autre du guide d’onde. D = 50 nm de gravure partielle apportent un bon compromis entre efficacité de modulation et bande passante. Le modulateur COPA-V permet de réduire encore la capacité totale du composant puisque la largeur de la capacité correspond à l’épaisseur du SOI, TSOI = 300 nm, sans contre-partie sur la largeur de guide qui est optimale à W > 400 nm.
Les simulations TCAD montrent que deux paramètres clés déterminent les performances électro-optiques et la bande passante des modulateurs capacitifs : l’épaisseur de l’isolant et le profil de dopage. Une analyse spécifique a été conduite pour déterminer la capacité et la résistance totale du composant. En particulier, la zone déterminante pour la résistance est la zone faiblement dopée dans les zones partiellement gravées servant de zones d’accès électriques. D’un point de vue optique, la contribution de l’absorption du poly-Si est étudiée. Pour un terme d’absorption pessimiste de 1.5 dB/mm dans le matérieu poly-Si, l’indice effectif ne subit que 0.5 ≠ 0.6 dB/mm de pertes de propagation à travers la région active des modulateurs capacitifs dues à l’absorption du poly-Si.
L’analyse du composant d’un point de vue électrique montre que les profils de charges sont uni-dimensionnels dans la direction perpendiculaire à l’isolant. Ceci motive l’intérêt de construire un modèle analytique. L’utilisation d’un modèle analytique permet de simplifier les contributions de chaque paramètre clé du modulateur capacitif et d’effectuer des optimisations de systèmes plus efficacement. Ce dernier est décrit dans le chapitre suivant. L’emploi des résultats de simulations à éléments finis reste indispensable pour calibrer le modèle analytique et compenser les simplifications faites dans le modèle.
Chapitre 3
Solution analytique
I - Introduction
1. Motivations
Un modèle compact, ou modèle analytique, est une représentation des performances du com-posant en termes d’équations, dont les variables sont les dimensions de la région active et les profils de dopage. La compacité du modèle se fait par la simplicité des équations impliquées. Cela se traduit par un code court apportant une solution instantanée, peu (voire ridiculement) coûteuse en performances de calculs. Le modèle permet d’éviter une simulation à éléments finis et propose une solution approchée. Généralement, le modèle analytique emploie des équations 1D (voire 0D comme le calcul de la capacité d’oxyde dans notre cas) et des paramètres d’ajustement pour com-penser les lacunes du modèle (à ne pas confondre avec les variables du modèle). Les modèles sont utilisés tous les jours par les concepteurs de circuits en microélectronique, ils sont embarqués dans les kits de conception, ou Physical Design Kit – kit de conception incluant les modèles et mesures physiques des omposants – (PDK), des technologies silicium ; le plus utilisé en technologie silicium est bien entendu le modèle du transistor, capable de calculer les capacités, la transconductance et les effets canaux courts en fonction de la longueur de grille, l’épaisseur et la nature de l’empilement de grille [147].
Développer un modèle analytique pour le modulateur optique silicium à électro-réfraction a plusieurs intérêts :
— Accélérer drastiquement la vitesse de simulation pour obtenir rapidement les compromis entre les différentes figures de mérite (bande passante, longueur active, pertes d’insertion) ; — Simplifier et séparer l’effet de chaque variable (épaisseur d’oxyde, dopage, largeur de guide) ; — Décrire des architectures plus complexes impliquant les composants électro-optiques dont le
comportement est décrit analytiquement ;
— Linéariser les performances des composants pour passer à des simulations systèmes facilement (modèles type Spice ou Interconnect de Lumerical [148]).
Dans ce chapitre, je présente le modèle analytique de trois composants : le modulateur ca-pacitif COPA-V, le modulateur caca-pacitif COPA-H et le modulateur à jonction PN. Après avoir montré étape par étape la résolution analytique des équations, les performances des modulateurs seront évaluées, optimisées puis comparées d’une version à l’autre de modulateur. S’agissant d’un modèle à une dimension et contenant de nombreuses approximations, l’acuité des résultats est permise grâce à leur ajustement dans la continuité des résultats de simulations TCAD que je viens de présenter. Aligner les résultats des simulations TCAD et du modèle analytique permet d’utiliser
la légèreté du code du modèle pour obtenir des optimisations instantannées des performances dy-namiques au niveau système. Le modèle permet de prolonger les résultats des simulations TCAD 2D.
2. Description des structures
Le modèle analytique qui a été développé dans cette thèse permet de calculer les performances d’un modulateur utilisant trois géométries possibles de la région active (figure 3.1). Ces régions actives sont une jonction PN dite de référence fonctionnant en régime de déplétion, et les deux modulateurs capacitifs à l’étude, basés sur une intégration verticale V ou horizontale COPA-H de la capacité au sein du guide d’onde. Ces trois régions actives sont présentées sur la figure 3.1 et la faisabilité de leur fabrication sera détaillée dans le chapitre suivant. Dans les trois cas, l’objectif de la structure est d’obtenir une variation de densité de porteurs au sein du guide d’onde, basé sur la déplétion de porteurs (diode PN) ou l’accumulation de porteurs de part et d’autre de la capacité (COPA-V et COPA-H). Dans les trois cas, les contacts électriques sont déportés de part et d’autre du guide d’onde. Pour obtenir de faibles résistances d’accès tout en minimisant les pertes du mode optique, des régions fortement dopées sont utilisées de part et d’autre du guide d’onde.
Pour pouvoir proposer un modèle analytique simple il est nécessaire de réduire la dimension des vues en coupe de la région active. Ceci est possible car le couplage électro-optique, calculé à partir de la convolution des densités de charges et du profil de champ optique le long de la dimension u, est essentiellement influencé par la dimension u perpendiculaire à l’isolant ou à la jonction PN. Par suite, les calculs sont donc faits selon une seule dimension, perpendiculaire à l’isolant ou au plan de la jonction PN, et ajustés à l’aide de paramètres secondaires. Pour le calcul du facteur de recouvrement électro-optique en particulier, l’intervention de la deuxième dimension s’avère nécessaire de part sa contribution au confinement du mode optique lorsque la largeur du guide ou l’épaisseur des couches sont modifiées. Ces paramètres permettent d’ajouter des contributions d’ordre supérieur. Ils permettent en particulier de corriger le modèle pour aligner les performances aux valeurs attendues (simulations à éléments finis ou mesures). Ils donnent une évaluation des performances de la région active par unité de longueur. Un seul schéma équivalent (figure 3.1) peut donc être utilisé pour les deux structures capacitives à l’étude, V et COPA-H, mais également pour la jonction PN, à condition d’identifier correctement les paramètres de chaque structure intervenant dans le modèle 1D. La largeur de guide W et l’épaisseur du SOI TSOI
contrôlent le confinement du mode optique. L’un ou l’autre participent à la surface de la capacité selon l’intégration, W pour COPA-H, et TSOI pour COPA-V et la jonction PN. Les épaisseurs des accès électriques Tslab, Tdslab et Tposlab ont un rôle crucial dans les valeurs des résistances d’accès
Rpet Rn. La distance entre les régions fortement dopées et les bords des guides waccest également impliquée dans le calcul de la résistance de la région active.
En variables, le modèle comprend l’épaisseur d’oxyde, les niveaux de dopage, NDet NA, et la valeur de la tension électrique appliquée pour l’état ON VON et l’état OF F VOF F , correspondant à un régime d’accumulation (pour les modulateurs capacitifs seulement) ou de déplétion. La tension est appliquée entre le pôle dopé de type p et le pôle de type n. Pour la jonction PN, une tension positive appliquée au pôle de type n permet d’augmenter la largeur de déplétion par rapport à la largeur à 0V . Pour les modulateurs capacitifs, il faut appliquer une tension dans le sens opposé : positive sur le pôle de type p (COPA-V) ou négative sur le pôle de type n (COPA-H). La distinction entre les deux modulateurs capacitifs provient de la nécessaire réduction des effets parasites du modulateur capacitif. En plaçant le SOI et le substrat au même potentiel électrostatique (la masse), la capacité parasite entre SOI et substrat formée par le BOX est court-circuitée.
I - Introduction
Figure 3.1 – Représentation unidimensionnelle du couplage électro-optique à partir des vues en coupe 2D des trois régions actives à l’étude
3. Méthode de résolution
Figure 3.2 – Méthode de résolution du modèle analytique
L’évaluation des performances du modulateur basé sur un modèle analytique est décrit sur la figure 3.2. Les principales étapes sont :
— la résolution électrique de la région active consistant à calculer les concentrations de porteurs libres en fonction de la tension appliquée, ainsi que les résistances d’accès et la capacité équivalente de la structure, qui permet d’en déduire la bande passante électrique ;
— la prise en compte du couplage électro-optique, c’est-à-dire la conversion des variations de densités de porteurs en variations d’indice de réfraction 1D ;
— le calcul du mode optique, soit le profil 1D du mode, le calcul de l’aire du mode et éventuel-lement son indice effectif réel ;
— le calcul du déphasage et de l’absorption le long de la propagation du mode optique ; — le calcul de performances systèmes, soit par exemple le taux d’extinction d’un interféromètre
MZ en quadrature et les pertes d’insertion en fonction du potentiel électrique et de la longueur active.
II - Modèle analytique du couplage électro-optique : les
mo-dulateurs à électro-réfraction en équations
1. Modèle électrique de la région active
La solution électrique consiste à calculer les densités de porteurs et le schéma électrique équivalent de la structure en fonction de la tension appliquée.
a. Le modulateur capacitif
i - Régimes de fonctionnement
Pour le modualteur capacitif, différents régimes de fonctionnement existent en fonction de la tension appliquée (figure 3.3). En effet, le champ présent dans l’oxyde peut attirer les porteurs majoritaires (régime d’accumulation pour V > VF B) ou les repousser (régime de déplétion pour
V < VF B). On nommera ON l’état où la tension est la plus élevée. De façon générale, il s’agit du régime d’accumulation. L’état OF F peut être choisi en accumulation ou en déplétion, selon les critères d’optimisation privilégiés.
II - Modèle analytique du couplage électro-optique : les modulateurs à électro-réfraction en
équations
Figure 3.3 – Schéma équivalent du modulateur capacitif ramené à une structure 1D : schéma équivalent et représentation de la charge nette et des densités de porteurs libres le long de la structure pour chaque régime de fonctionnement
À partir du calcul de la capacité formée par l’isolant, il est possible de connaître la charge totale stockée par la capacité (figures 3.1 et 3.3). Les densités de porteurs majoritaires se déduisent de la charge totale en résolvant l’équation de Poisson à une dimension pour la structure Semi-Conducteur (SC) – Oxyde – SC. La nature de la charge stockée est propre aux semiconducteurs et dépend du régime de fonctionnement : porteurs libres en régimes d’accumulation et d’inversion ou impuretés ionisées en régime de déplétion.
Le régime d’accumulation correspond à des valeurs de tensions plus grandes que la tension de bandes plates (VON > 0.9 ≠ 1 V ). Dans ce régime, on observe une accumulation de porteurs majoritaires en excès par rapport au niveau de dopage, qui jouent le rôle de la charge ±Q de la capacité formée par l’isolant entre les deux semiconducteurs dopés.
Si le potentiel électrique est en-dessous de la tension de bandes plates (y compris les valeurs négatives de tension), le champ électrique entre les deux SC de dopages opposés repousse les porteurs libres majoritaires, les deux semiconducteurs de dopage symétrique sont alors en régime de déplétion. La zone de déplétion comporte alors une charge nette non nulle, correspondant aux impuretés ionisées. Le régime d’inversion, obtenu pour des tensions inférieures à la tension de seuil [149], proche de ≠1 V , correspond à l’accumulation de porteurs minoritaires aux interfaces de l’isolant dans la zone de déplétion. Ce régime n’est pas approprié au fonctionnement dynamique du modulateur [150].
Figure 3.4 – Diagramme du modèle électrique
La figure 3.4 tente d’illustrer la philosophie de la résolution électrique. Par la suite nous allons détailler chaque étape du diagramme en résolvant les équations de façon analytique.
ii - Tension de bandes plates
La tension de bandes plates, VF Bpour Flat-Band voltage en anglais, correspond à la tension de passage du régime de déplétion au régime d’accumulation. Il est défini par l’absence de charge nette à travers la structure, et donc à l’absence de courbure de bandes (en intégrant l’équation de Poisson, seule une densité de charges nette peut résulter en une courbure du potentiel électrostatique). Dans
ces conditions, la tension de bandes plates se déduit de l’écart de niveaux de Fermi aux bornes de l’oxyde, défini par les niveaux de dopage Na côté p et Na côté n [151] :
VF B= kBTlnNaNd
n2i (3.1)
où kB = 8.62 ◊ 10≠5 eV /K est la constante de Boltzmann et ni = 1010 cm≠3 correspond à la densité de porteurs présents dans le SC pur à température ambiante T [K].
iii - Accumulation
Dans le cas des modulateurs capacitifs, l’état ON correspond à une tension supérieure à la tension de bandes plates appliquée sur la région active. Cette région correspond au régime d’accumulation. Comme le dopage est opposé entre les électrodes, il est possible de charger la capacité avec les charges majoritaires : +Qtotavec les trous côté p, et ≠Qtotavec les électrons côté n. Il nous faut d’abord calculer la capacité de la région active pour obtenir la valeur de Qtot et ensuite donner le profil de la charge dans les semiconducteurs.
En l’absence de déplétion, la capacité formée par le diélectrique Coxest prépondérante devant la capacité de SC. Elle s’exprime [150] :
Cox=Á0Áox
Tox
(3.2) En utilisant :
Qtot= Cox(Von≠ VF B) (3.3)
En utilisant l’approximation de Boltzmann, qui lie les densités de charge au potentiel électro-statique et en approximant la chute de potentiel à travers la charge d’accumulation, il est possible de calculer les profils de densités [150, 54].
La charge n’étant pas purement surfacique, elle crée une légère chute de potentiel VSn/p qui résulte en une tension amoindrie aux bornes de l’oxyde de la capacité. Une boucle de convergence (figure 3.4) est ajoutée à l’algorithme pour corriger la charge d’accumulation en conséquence. Pour ce faire, on ajoute à la capacité d’oxyde les deux capacités séries CSn et CSp, a priori similaires, définies par ([150]) : CSn/p= Á0ÁSi Ldn/p e q|VSn/p| 2kBT (3.4) Il vient : C= 1 1 CSn + 1 Cox + 1 CSp (3.5) La chute de tension à travers la charge d’accumulation s’exprime :
VSn/p= ûQtotLd
Á0ÁSi (3.6)
Où le signe + s’applique pour les trous du côté de type p, et ≠ pour les électrons. Il suit :
Qtot= C(Von≠ VF B) (3.7)
qui est l’expression de la charge totale utilisée dans la boucle de convergence (figure 3.4), avec un critère de sortie de boucle à 0.01 % de la valeur précédente de la tension aux bornes de l’oxyde.
Les densités de porteurs libres majoritaires s’expriment :
non(u) = Y _ ] _ [ ND+ C qLdn(Von≠ VF B)e≠|u≠Tox/2|Ldn (u < ≠Tox 2 ) 0 (|u| < Tox 2 ) n2i NA ¥ 0 (u > Tox 2 ) pon(u) = Y _ _ ] _ _ [ n2i ND ¥ 0 (u < ≠Tox 2 ) 0 (|u| < Tox 2 ) NA+ C qLdp(Von≠ VF B)e≠|u≠Tox/2|Ldp (u > Tox 2 ) (3.8)
II - Modèle analytique du couplage électro-optique : les modulateurs à électro-réfraction en
équations
Où Ld = ÒÁ0ÁSikBT
q2N est la longueur de Debye, u = {x ou z}, Von est la tension appliquée aux bornes du modulateur en état ON, Toxest l’épaisseur d’oxyde, et N est le niveau de dopage (n ou p) local.
iv - Déplétion
Le régime de déplétion correspond aux tensions appliquées inférieures à la tension de bandes plates. Un calcul similaire au régime d’accumulation est nécessaire pour connaitre les concentrations de porteurs dans la région active. Le régime de déplétion est propre à la jonction PN (états ON et
OF F avec différentes largeurs de déplétion). Ce régime peut aussi être exploité pour l’état OF F des modulateurs capacitifs.
En première approximation, le régime de déplétion se réduit à deux régions dans les semicon-ducteurs [150] :
— charge nette nulle en-dehors de la zone de déplétion (et dans l’oxyde de la capacité) ; — charge nette locale égale au niveau de dopage dans la zone de déplétion, correspondant aux
impuretés ionisées.
Les deux inconnues restantes sont les largeurs de zone de déplétion dans chaque SC. La chute de potentiel qui a lieu dans le diélectrique est facilement déterminée par les conditions de continuités du potentiel et de sa dérivée, le champ électrique, en l’absence de charges aux interfaces. En résolvant l’équation de Poisson pour une charge nette uniforme dans la zone de déplétion, le potentiel est de forme parabolique dans la zone de charge d’espace et de dérivée nulle au bord de la zone de déplétion. Ceci me conduit à une première relation :
VF B≠ VOF F = qND
2Á0ÁSi
w2n+ qNA
2Á0ÁSi
wp2+ Vox (3.9)
On peut en déduire la charge totale +Qtot côté p (et ≠Qtot côté n) en intégrant le profil de la charge nette pour chaque SC et en imposant que le champ électrique à travers l’oxyde soit constant (en l’absence de charges dans l’oxyde). Par continuité, j’obtiens alors une expression du champ dans l’oxyde liant les largeurs de zones de déplétion par la différence de dopage :
Á0ÁoxEox= Á0ÁoxTVoxox = qNDwn = qNAwp
wn= NA
NDwp (3.10)
En injectant 3.10 dans 3.9, je fais apparaitre un trinôme dont je prends la solution (positive). Je propose donc une expression analytique de la largeur de déplétion de part et d’autre de l’isolant en fonction de l’épaisseur de l’isolant, du niveau de dopage et de la tension appliquée :
wp=ÁSiTox Áox ND NA+ ND AÛ 1 + 2 Á0Á2ox ÁSiqNATox2 |VOF F ≠ VF B|NA+ ND ND ≠ 1 B (3.11) Remarquons que cette expression étend le calcul analytique de la largeur de déplétion à la strucutre capacitive SC – Oxyde – SC.