"Mas você quer dizer que a expressão '+2' o deixa em dúvida sobre o que fazer, por exemplo, depois de 2004? - Não; eu respondo "2006" sem hesitação. Mas exatamente por esta razão é supérfluo supor-se que isto tenha sido determinado antes. (RFM, parte I, 3, pg. 37)
A esta altura, Wittgenstein nos chama a atenção para uma série de embaraçosas possibilidades, dúvidas perturbadoras e que, no entanto, parecem ganhar sentido, embaladas na assimetria do que nosso interlocutor propõe, entre o nosso "acesso" sempre parcial às séries e tabuadas e sua determinação impessoal e atemporal, estendendo-se muito além de qualquer implementação jamais empreendida. Dito de outra forma, o filósofo explora o hiato entre nosso processo de aprendizado a partir de apenas alguns exemplos (finitos) e na ênfase em nosso posterior domínio de uma infinitude de respostas.
Wittgenstein imagina um professor ensinando a um aluno a série infinita dos números pares. Após algumas dificuldades, o aluno finalmente "toma posse" da regra e executa vários trechos dela corretamente. Ele escreve, por exemplo
2, 4, 6, 8, 10...
e continua a operação corretamente mesmo para números mais elevados:
32, 34, 36, 38, ...
Assim, após alguns testes, declaramos que tal aluno domina a série dos pares. E neste ponto dá Wittgenstein início ao seu argumento. Ele pergunta: Agora, depois de alguns esforços da parte do professor, ele continua a série corretamente, ou seja, como nós fazemos. E assim podemos dizer que dominou o sistema. Mas até onde precisaria ele continuar a série para termos o direito de afirmarmos tal coisa? (PI, 145, pg 57-8) Não pareceria fazer
sentido, segundo a abordagem proposta por nosso interlocutor, exigirmos do critério definitivo (ainda que impraticável) e dizermos: "infinitamente além!"
O problema que nos ronda aqui é claro. Em analogia ao caso de adições e de execuções de divisões até casas decimais específicas, imaginamos algo, uma espécie de resposta impessoal e atemporal, independentemente de treinamentos, máquinas sujeitas a defeitos, etc. E estas entidades, estas seqüências ou tabuadas infinitas, funcionariam como uma espécie de resultado total daquelas operações. Nosso problema é que, da mesma forma que o critério último e decisivo para dizermos que "Fulano somou 44 + 76" era sua resposta,
120 (caso contrário, por mais que sua execução parecesse correta, não seria realmente
correta) aqui também, pareceria se nos impor um critério último (ainda que "impraticável") para afirmamos algo como "Fulano soma": a execução de uma resposta infinita. Wittgenstein escreve: Sua idéia, então, é que você sabe a aplicação da regra da série de forma independente de lembrar-se de aplicações concretas a números específicos. E você talvez diria: "É claro! Pois a série é infinita e o pedaço que desenvolvi é finito." (PI, 147, pg. 58)
O desafio mais perturbador proposto por Wittgenstein, no entanto, não diz respeito a como se saber se alguém aprendeu a executar um destes processos mas como sabermos o que foi aprendido. Voltemos alguns parágrafos atrás, a imagem dos vários algoritmos se distinguindo, uns dos outros, à medida que avançávamos na seqüência das várias casas decimais. Como vimos, Pi por exemplo,se distiguiria do processo de divisão de 377 : 120 já a partir da quinta casa decimal depois da vírgula.
Pi = 0,3141595... 377 : 120 = 0,3141666...
Tomemos agora um processo simples, como a série dos pares ou a repetição de um grupo de algarismos. O argumento do filósofo novamente explora o hiato entre a finitude dos exemplos de aplicação destes processos e algo - a série infinita - que deveria funcionar como critério último determinador de nossa real "posse" dos mesmos. Wittgenstein imagina a curiosa possibilidade de uma cisão em nosso entendimento de um mesmo processo, duas compreensões distintas de algo que tomávamos como um mesmo procedimento, por dois agentes executores, que apenas nunca notem a discrepância porque estas séries associadas a estes procedimentos concordariam em seus segmentos iniciais, apenas divergindo a partir de valores muito altos, jamais alcançados.
Voltemos ao exemplo do professor ensinando a série dos pares ao aluno. O professor dá explicações e exemplos até um número qualquer, digamos, até 1000:
2, 4, 6, 8, 10,... 352, 354, 356, 358,...
992, 994, 996, 998...
após alguns testes, o professor está pronto a decretar o domínio do aluno sobre a série dos pares, quando então Wittgenstein imagina uma situação, um certo tipo de engano, que reaparece freqüentemente em seus escritos da fase madura. O professor pede ao aluno que continue agora a série de um ponto além dos exemplos que lhe haviam sido apresentados. O filósofo escreve: Vamos supor que tenhamos feito exercícios e lhe dado testes até o número
1000, 1004, 1008, 1012. (PI, 185, pg. 75). O aluno errou, não há dúvida. No entanto, logo
adiante, o filósofo nos explica que seu erro tinha sido de um tipo especial. É natural para esta pessoa entender a nossa ordem e nossas explicações como nós entenderíamos a ordem: "Some 2 até 1000, 4 até 2000, 6 até 3000 e assim por diante." (PI, 185, pg. 75)
O filósofo imagina assim, em sua pequena narração, duas maneiras de compreender a ordem "vá listando os números pares", a maneira do aluno e a do professor. Todos os exemplos, as explicações trocadas entre os dois eram entendidas de duas formas diferentes, "associadas" duas séries infinitas que, no entanto, coincidiam até o número 1000. E caso o aluno e professor não tivessem tentado executar suas séries para além daquele número, esta diferença de compreensões entre os dois teria permanecido despercebida. E aqui chegamos ao cerne da dificuldade proposta por Wittgenstein. Deveríamos imaginar que a mesma curiosa cisão de compreensões ocorrida entre o aluno e seu professor nos rondaria também a todos? A ênfase de nosso interlocutor na assimetria entre a finitude dos exemplos por nós executados, frente a infinitude das séries que determinaria realmente os vários processos aritméticos, não acabaria abrindo espaço para constantemente duvidarmos da compreensão alheia? Em outra passagem, explorando o mesmo problema em uma de suas palestras de 1939, Wittgenstein escreve: Suponha que eu ensine Lewy a elevar números ao quadrado dando-lhe a regra e calculando exemplos. E suponha que estes exemplos sejam tomados da série dos números de 1 a 1.000.000. Somos tentados a dizer, "Não podemos realmente saber que ele não diferirá de nós quando elevar ao quadrado números maiores do que, digamos, 1.000.000.000. E isto mostra que nunca sabemos com certeza o que outra pessoa entende." LFM, Palestra II, pg. 27
O argumento do filósofo procede de forma notavelmente paralela a uma outra possibilidade perturbadora, muito conhecida em filosofia, envolvendo não conceitos matemáticos, mas estados de consciência. No segundo capítulo de nossa dissertação transcrevemos um trecho de Wittgenstein onde, novamente apoiado na idéia de um certo "algo" por detrás de nossa compreensão das palavras que designam as cores, o filósofo sugere a possibilidade de que, sem que pudéssemos perceber, metade das pessoas visse vermelho de uma forma diferente da outra metade: A suposição seria possível - apesar de não verificável - que uma parte da humanidade tivesse uma sensação de vermelho e a outra parte, outra. (PI, 272, pg. 95) Assim como no caso de nossa compreensão dos processos matemáticos, pareceríamos correr constantemente o risco de que certo dia, um novo objeto colorido aparecesse - ou uma nova casa decimal fosse calculada - que, para nossa surpresa, efetuasse a segregação de todos nós em dois tipos de "olhadores de vermelho" (ou dois tipos de "somadores +2").
Encontramos em vários trechos dos escritos de Wittgenstein sobre filosofia da matemática, o recurso ao argumento das "continuações não-standard" de séries simples, sempre como forma do filósofo contrapor-se a idéia de seqüências definidas, atemporais, funcionando, ainda que apenas "teoricamente", como os reais critérios da posse, por um agente calculador qualquer, destes processos aritméticos. Somos constantemente alertados para a conexão entre a introdução destes entes e o sentido de se imaginar possibilidades de enganos generalizados e sistemáticos na compreensão do prosseguimento de séries para além de nossas reticências.
Não pretendemos nos envolver, nesta dissertação, na discussão das conexões variadas que o argumento das continuações não-standard guarda com outros setores do pensamento
daquele filósofo, notadamente sua concepções sobre a linguagem e sua abordagem dos termos que designam estados de consciência. Ainda assim, queremos abordar aqui, ainda que rapidamente, o chamado "argumento cético" do já mencionado ensaio de Saul Kripke
Wittgenstein on Rules and Private Language. Nesta obra, o filósofo americano faz amplo uso
da estratégia de argumentação das "compreensões não-standard" para sugerir mais uma nova e estranha possibilidade. Trata-se da possibilidade da constante alteração, através do tempo, das conexões entre os nomes de nossas operações e as séries e tabuadas infinitas que as definem.
Na primeira metade daquela obra, Kripke constrói um exemplo de "compreensão não-standard" envolvendo a própria operação de adição. Como em Wittgenstein, o problema tem início quando da execução de uma soma de dois números que ainda não tinham sido calculados antes por uma determinada pessoa, uma soma para além da zona finita dos exemplos de cálculos passados. Para fins de ilustração, imagina que a tal pessoa jamais tenha somado qualquer número acima de 57. A pessoa executa então a operação 68 + 57 e encontra o resultado 125. Kripke introduz neste ponto a figura de um cético que imagina uma operação binária não-standard, a operação "zoma" 2, simbolizada por " ", e definida por:
x y =
{
y<57 = x+y,x 57 =5~
Deixemos o próprio filósofo americano expor seu argumento: [O cético] propõe o desafio em termos de uma hipótese cética sobre uma mudança de uso. Talvez, quando eu tenha usado o termo "soma" (plus) no passado, sempre tenha querido dizer zoma (quus): por hipótese eu nunca me dei instruções explícitas que fossem incompatíveis com aquela suposição. 3
É claro que no caso da soma, diferentemente talvez do que no caso dos processos anteriores mais simples de que tratamos, poderíamos apelar para processos mais básicos que compõe a operação de somar. Kripke imagina a operação de adição sendo reduzida a uma operação, a mais concreta possível, executada com bolinhas de gude. Contaríamos o primeiro grupo de 68 bolinhas, depois o segundo grupo de 57 e a seguir, após reunirmos cuidadosamente os dois grupos, recontaríamos o total. No entanto, o filósofo lembra que a operação de contagem também pode ser alvo do ataque de interpretações não-standard. Kripke escreve: Mas eu apliquei "contagem", como "soma", a apenas um número finito de casos no passado. Assim o cético está livre para questionar o minha interpretação atual sobre meu uso passado de "contagem" tal qual ele o fez com "soma" (K. pg. 16). O filósofo então conclui: É tentador tentar responder-se ao cético apelando-se a uma regra mais "básica". Mas a estratégia do cético pode ser repetida no nível mais "básico" também (K. pg. 17).
Introduzimos, ainda que de forma sumária, o argumento das "continuações não-standard" para chamarmos a atenção para uma curiosa inversão em direção a qual este tipo de argumento procura apontar. Esta inversão seria a seguinte: com a aceitação da noção de execuções atemporais e impessoais de processos matemáticos infinitos, todas as execuções de processos matemáticos finitos pareceriam perder suas caraterísticas impessoais e atemporais. Assim, tomemos o exemplo dos números pares, e de alguém que afirmasse algo como "2, 10, 22 são números pares". Segundo argumentamos acima, uma afirmação assim poderia ser vista sempre como tendo algo de parcial, como estando imersa em algo maior, a série infinita da qual seria apenas uma parte.
Poderíamos então, sistematicamente, imaginar que as palavras "números pares", para aquela pessoa, estivessem associadas a uma série infinita diferente da nossa (para números muito grandes) e, portanto, estritamente, a um outro conceito matemático. Por mais exemplos de pares que conferíssemos com ela, nunca poderíamos afastar a possibilidade de que, no futuro, atingíssemos um número muito grande que acabasse indicando uma cisão entre a nossa compreensão da expressão "número par" e a compreensão daquela pessoa. Poderíamos imaginar desta forma os conceitos de "número par" se multiplicando, um para cada agente calculador.
De forma análoga, a conclusão visada pela argumentação do cético de Kripke parece ser a perda de outra característica não empírica das afirmações matemáticas: seu caráter atemporal (agora no caso da operação de adição). Segundo ele, poderíamos passar a falar na adição 35 + 35 = 70 desta manhã, imaginando uma "operação de adição" associada a uma "tabuada infinita" que não necessariamente seria a mesma associada à "operação de adição"
realizada agora, quando afirmamos "35 + 35 = 70". Continuamente o cético introduziria a possibilidade de mudança de uso, de uma alteração da "denotação da palavra soma" que passaria não mais a indicar a "conhecida função matemática" (de que fala Kripke), mas uma outra função qualquer que com ela coincidisse até um valor determinado. O filósofo americano escreve: O cético, provisoriamente, não está questionando o meu uso presente da palavra "soma"(...) Ele apenas questiona se meu uso presente concorda com meu uso passado (...) O problema não é "como eu sei que 68 mais 57 é 125", que deveria ser respondido apresentando-se uma computação aritmética, mas "como eu sei que "68 mais 57" da maneira como eu entendia "soma" no passado, deveria [agora] denotar 125? 4
Como conseqüência da sugestão de nosso interlocutor, Wittgenstein propõe um espetacular estilhaçamento dos conceitos matemáticos em que cada agente, a cada instante, poderia estar executando uma nova função matemática associada a velhas palavras. Tal explosão semântica, no entanto, seria silenciosa: jamais a notaríamos porque (ainda?) não teríamos atingido os valores que a tornariam aparente. Cabe aqui outra citação de Wittgenstein, novamente retirada de um contexto que fala sobre estados de consciência: Livre-se sempre da idéia de objeto privado desta forma: assuma que ele constantemente se modifica, mas que você não nota as mudanças porque sua memória constantemente o trai. (PI, pg. 207)
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