Pente maximale asymptotique d’un fibré inversible hermitien

µmax(π_∗(L ⊗π^∗(M))^⊗n) =µ�max(π_∗(L^⊗n)) +nµ(M� ).

Par passage à la limite on obtientµ�^π_max(L ⊗π^∗M) =µ(M� ) +µ�^π_max(L).

4.2.2. Pente maximale asymptotique d’un fibré inversible hermitien quelconque. – La sur-additivité deµ�^π_maxobtenue dans le sous-paragraphe précédent permet d’étendre le domaine de définition de la fonctionµ�^π_max(L)à l’espace de tous les fibrés inversibles hermitiens sur X. Dans le reste de la section, le symbole Θ désigne l’espace des fibrés inversibles hermitiensL surX tels queLK soit gros.

Définition 4.2.4. – Soient

L

et L deux fibrés inversibles hermitiens sur X. On suppose que L ∈ Θ. Il existe alors un entier n0(

L

,L) > 0 tel que

L

K ⊗L_K^⊗n soit gros quel que soit n� n0(

L

,L)(cf. [33, 2.2.24]). On définit, pour tout entier n�n0(

L

,L),

An(

L

,L) =µ�^π_max(

L

_⊗L^⊗n)−nµ�^π_max(L).

Lemme 4.2.5. – SoientE etF deux

O

X-modules localement libres de rang fini. Pour tout homomorphismef :EK →FK, il existe un élément non-nula∈

O

K tel queaf se relève en un homomorphisme deE versF. Si de plusf est injectif, l’homomorphisme relevé peut être choisi injectif.

Démonstration. – Soitη: SpecK→Spec

O

K le point générique. C’est un morphisme plat. SoitX :=XK. On désigne parp:X →SpecK et q:X →X les morphismes canoniques, qui s’insèrent dans un carré cartésien:

X ^q ��

p

��

�

X

π

��SpecK _η ��Spec

O

K.

D’après [26] III, 1.4.15, pour tout

O

X-module quasi-cohérent G, l’homomorphisme canonique η^∗π_∗G → p_∗q^∗G est un isomorphisme. Par conséquent, on a un isomorphisme canonique H⁰(X,GK) ∼= H⁰(X,G)K. Si E et F sont deux

O

_X -modules localement libres de rang fini, alorsHom_OX(E,F)s’identifie à l’espace des sections deE^∨⊗F au-dessus deX. D’autre part,

Hom_OX(EK,FK)∼=H⁰(X,E_K^∨⊗FK) =H⁰(X,E^∨⊗F)K.

94 CHAPITRE 4. APPLICATIONS

Par conséquent, pour tout homomorphismef :EK →FK, il existe un élément non-nul a ∈

O

K tel que af se relève en un homomorphisme deE →F, autrement dit, l’image de l’homomorphisme composé

E ^a ��E ��q_∗EK q_∗f

��q_∗FK

est dansF. Cet homomorphisme est injectif lorsquef est injectif.

Soit

E

un fibré vectoriel normé sur X. On dit qu’une section s∈ H⁰(X,

E

)est effective si max

σ:K→C�s�^σ,sup � 1. On dit que s est strictement effective si l’inégalité est stricte, c’est-à-dire max

σ:K→C�s�^σ,sup <1. Toute section s ∈H⁰(X,

E

) correspond à un homomorphisme ϕ :

O

X →

E

. Si on munit

O

X des métriques hermitiennes habituelles, alorss est effective si et seulement si max

σ:K→C sup

x∈Xσ(C)�ϕx�^σ �1; elle est strictement effective si et seulement si max

σ:K→C sup

x∈Xσ(C)�ϕx�^σ<1.

Soient

E

1 et

E

2 deux fibrés vectoriels normés sur X, et f :

E

1,K →

E

2,K un homomorphisme. On a démontré dans le lemme 4.2.5 qu’il existe a∈

O

K tel queaf se relève en un homomorphisme de

E

1 vers

E

2. Par conséquent, pour tout sauf un nombre fini de place finie p, l’homomorphisme f_Cp se relève en un homomorphisme de

E

_1,�Op vers

E

_2,�Op. Pour tout p∈Σf, on désigne parhp(f) la borne inférieure des valeurs −log|b|p, où b parcourt l’ensemble des éléments dans Cp tels que bf_Cp se relève en un homomorphisme de

E

_1,�O

p vers

E

_2,�O

p. L’argument ci-dessus montre que hp<+∞et quehp(f)�0pour toute sauf un nombre fini de places finiesp. Sivest une place infinie de K qui correspond à un plongement σ: K →C, on désigne par hv(f)ouhσ(f)le nombre réel sup

x∈Xσ(C)

log�fx�^σ. Le nombrehv(f)(v∈Σf∪Σ_∞) est appelé lahauteur localedef env. On définit lahauteur def comme le nombre

(74) h(f) = 1

[K:Q]

�

v∈Σ

nvhv(f)∈[−∞,+∞[.

On observe que, lorsque X = Spec

O

K, la définition de hv(f) et de h(f) coïncide avec celle à la fin de §2.1.1.

Lemme 4.2.6. – Soient

E

1et

E

2 deux fibrés vectoriels normés surX, etf :

E

1,K→

E

2,K un homomorphisme. Soitϕ:H⁰(XK,

E

1,K)→H⁰(XK,

E

2,K)l’application K-linéaire induite par f. Alors on a hv(ϕ)�hv(f)quel que soit v∈Σf∪Σ_∞, où on a considéréH⁰(XK,

L

i,K) comme la fibre générique deπ_∗(

E

i) (i= 1,2). Si de plusϕ est injectif, alors

(75) �µmax(π_∗(

E

1))��µmax(π_∗(

E

2)) +h(f).

Démonstration. – Soientp∈Σf et

ϕp:H⁰(X_Cp,

E

1,C^p)→H⁰(X_Cp,

E

2,C^p)

MÉMOIRES DE LA SMF 120

4.2. PENTE MAXIMALE ASYMPTOTIQUE 95

l’homomorphisme induit parϕ. Par définition, π_∗(

E

1)⊗�

O

p (resp.π_∗(

E

2)⊗�

O

p) est le disque fermé de rayon 1 dans H⁰(X_Cp,

E

1,Cp) (resp. H⁰(X_Cp,

E

2,Cp)). Si b ∈ C^p est tel que bf_Cp se relève en un homomorphisme de

E

_1,�Op vers

E

_2,�Op, alors bϕp se relève en un homomorphisme de π_∗(

E

1)⊗�

O

p vers π_∗(

E

2)⊗�

O

p. Donc �bϕp�p �1, d’où �ϕp�^p �|b|⁻¹p . On obtient donc log�ϕp�^p �hp(f). Supposons maintenant que σ:K→Cest un plongement. Pour tout éléments∈H⁰(Xσ(C),

E

1,σ), on a

�ϕσ(s)�^σ,sup= sup

x∈Xσ(C)�f(s)x��e^hσ(f)�s�^σ,sup, qui implique quelog�ϕσ�^σ�hσ(f). Par conséquent, on ah(ϕ)�h(f).

Si f est injectif, l’homomorphisme ϕ est injectif. L’inégalité (75) résulte donc de l’inégalité de pentes (22).

Remarque 4.2.7. – On garde les notations du lemme 4.2.6.

(1) Si l’homomorphismef lui-même se relève en un homomorphisme de

E

1 vers

E

2, alorshp(f)�0quel que soitp∈Σf. Donc on obtient

h(f)� 1 [K:Q]

�

σ:K→C

hσ(f).

(2) SiL est un autre fibré inversible hermitien, et sig:

E

1,K⊗LK→

E

2,K⊗LKest l’homomorphisme induit parf, alors on ahv(g) =hv(f)pour toutev∈Σf∪Σ_∞. (3) Si

L

^�₁ et

L

^�₂ sont deux fibrés inversibles hermitiens et si f^� :

L

^�_{1,K →}

L

^�_2,K est un homomorphisme, alorshv(f ⊗f^�)�hv(f) +hv(f^�)pour toute v∈Σf∪Σ_∞. En particulier, si

E

1 et

E

2 sont de rang 1, alors pour tout entiern�1 et toute v ∈Σf ∪Σ_∞, on a hv(f^⊗n)�nhv(f). Dans ce cas-là, si on applique le lemme 4.2.6 à f^⊗n :

E

^⊗1,Kⁿ →

E

^⊗2,Kⁿ, on obtient que, la hauteur de l’homomorphisme ϕn :H⁰(XK,

E

^⊗1,Kⁿ)→H⁰(XK,

E

^⊗2,Kⁿ)induit parf^⊗n est majorée parnh(f).

(4) Soit φ une fonction continue sur X(C) qui est invariante par la conjugaison complexe. Soit

O

X(φ)le fibré inversible hermitien surX dont le fibré inversible sous-jacent est le fibré trivial

O

X et tel que la norme de la section unitaire1en x∈X(C)este^−φ(x). Alors la hauteur locale enσ:K→Cde l’homomorphisme d’identité

O

X →

O

X(φ)est égale à la valeur maximale de la restriction de −φ àXσ(C). En particulier, siφ=aest une fonction constante, alors la hauteur de l’homomorphisme d’identité

O

X →

O

X(a)est−a.

(5) Si

E

i (i= 1,2,3) sont des fibrés inversibles hermitiens surX, f :

E

1,K →

E

2,K

etg:

E

2,K→

E

3,Ksont des homomorphismes, alorshv(gf)�hv(g) +hv(f)pour toutev∈Σf ∪Σ_∞.

(6) Soient

E

un fibré vectoriel normé sur X et g :

O

X →

E

un homomorphisme, alorsg correspond à une section effective (resp. strictement effective) de

E

si et seulement sihσ(g)�0(resp.hσ(g)<0) pour toutσ:K→C.

(7) Pour tout fibré vectoriel normé

E

surX, on a

logλ1(π_∗(

E

)) = inf{a∈R|

E

_⊗

O

X(a)admet une section effective non-nulle}.

96 CHAPITRE 4. APPLICATIONS

Si l’homomorphismef est injectif, et se relève en un homomorphisme de

E

1 vers

E

2, et sihσ(f)�aquel que soitσ:K→C, alorsλ1(π_∗(

E

1))�e^−aλ1(π_∗(

E

2)).

Proposition 4.2.8. – Soit

L

un fibré inversible hermitien surX.

1) pour tout L ∈ Θ, la suite (An(

L

,L))n�n0(L,L) est croissante et converge vers une limite dansR;

2) siM est un fibré inversible hermitien sur Spec

O

K,L ∈Θ, alors An(

L

,L ⊗π^∗M) =An(

L

,L)

quel que soit n�n0(

L

,L);

3) si

L

K est gros, alors

�

µ^π_max(

L

) = inf

L∈Θ lim

n→+∞An(

L

,L);

4) pour tout fibré inversible hermitienM sur Spec

O

K, on a

�

µ(M) = inf

L∈Θ lim

n→+∞An(π^∗(M),L).

Démonstration. – 1) D’après la proposition 4.2.2, pour tout entiern�n0(

L

,L),

�

µ^π_max(

L

_⊗L^⊗(n+1))�µ�^π_max(

L

_⊗L^⊗n) +µ�^π_max(L).

DoncAn+1(

L

,L)�An(

L

,L).

Comme LK est gros, une de ses puissances tensorielles s’écrit comme le produit tensoriel d’un fibré inversible ample et d’un fibré inversible effectif. Donc il existe un entier m�1 et un homomorphisme injectif ϕde

L

K vers L_K^⊗m (cf. proposition 1.4.3 1)). Pour tout entier n � n0(

L

,L), soit ϕn :

L

K ⊗L_K^⊗n → L_K^⊗(m+n) l’homomorphisme induit par ϕ, qui est également injectif. D’après l’inégalité (75), pour tout entieru�1, on a

�

µmax(π_∗(

L

^⊗u_⊗L^⊗un))��µmax(π_∗(L^⊗u(n+m))) +h(ϕ^⊗_n^u).

D’après la remarque 4.2.7 (3), on a h(ϕ^⊗_n^u) � uh(ϕn) � uh(ϕ). Par passage à la limite, on obtient

�

µ^π_max(

L

_⊗L^⊗n)��µ^π_max(L^⊗(m+n)) +h(ϕ).

D’après la proposition 4.2.3 1), on a

An(

L

,L)�mµ�^π_max(L) +h(ϕ).

Par conséquent, la suite (An(

L

,L))n�n0(L,L) est bornée supérieurement, donc converge dansR.

2) En effet, pour toutn�n0(

L

,L), on a, d’après la proposition 4.2.3 2),

An(

L

,L⊗π^∗(M)) =�µ^π_max(

L

_⊗L^⊗n⊗π^∗(M^⊗n))−nµ�^π_max(L⊗π^∗(M)) =An(

L

,L).

3) D’après la proposition 4.2.3 1), on aAn(

L

,

L

) =�µ^π_max(

L

), donc

�

µ^π_max(

L

)� inf

L∈Θ

n→+∞lim An(

L

,L).

MÉMOIRES DE LA SMF 120

4.2. PENTE MAXIMALE ASYMPTOTIQUE 97

D’autre part, pour toutL ∈Θ, d’après la proposition 4.2.2, on a l’estimation An(

L

,L)�µ�^π_max(

L

) +�µ^π_max(L^⊗n)−n�µ^π_max(L) =µ�^π_max(

L

).

Par conséquent, lim

n→+∞An(

L

,L)�µ�^π_max(

L

).

4) En effet, pour toutL ∈Θ, on a, d’après la proposition 4.2.3 2), An(π^∗(M),L) =µ�^π_max(π^∗(M)⊗L^⊗n)−nµ�^π_max(L) =µ(M� ).

Définition 4.2.9. – Soit

L

un fibré inversible hermitien sur X. On appelle pente maximale asymptotiquede

L

relativement àπla valeur

�

µ^π_max(

L

) := inf

L∈Θ

n→+∞lim An(

L

,L)∈[−∞,+∞[.

La proposition 4.2.8 3) montre que cette fonction généralise la fonction de la pente maximale asymptotique initialement définie surΘ.

La proposition suivante montre que la fonction �µ^π_max prolongée préserve les propriétés de la fonction initiale.

Proposition 4.2.10. – Soient

L

,

L

1 et

L

2 trois fibrés inversibles hermitiens sur X, etM un fibré inversible hermitien surSpec

O

K. On a

1) µ�^π_max(

L

1⊗

L

2)��µ^π_max(

L

1) +µ�^π_max(

L

2);

2) µ�^π_max(

L

^⊗n) =nµ�^π_max(

L

)pour tout entier n�1;

3) µ�^π_max(

L

_⊗π^∗(M)) =µ�^π_max(

L

) +�µ(M);

4) sif :

L

1,K→

L

2,K est un homomorphisme non-nul, alors (76) �µ^π_max(

L

1)��µ^π_max(

L

2) +h(f).

Démonstration. – Pour tout fibré inversible hermitienL surX tel queLK soit gros, et tout entiermsuffisamment grand, on a, d’après les propositions 4.2.2 et 4.2.8 et le lemme 4.2.6, que

A2m(

L

1⊗

L

2,L)�Am(

L

1,L) +Am(

L

2,L), Amn(

L

^⊗n,L) =nAm(

L

,L),

Am(

L

_⊗π^∗(M),L) =Am(

L

,L) +�µ(M), Am(

L

1,L)�Am(

L

2,L) +h(f).

Par passage à la limite, on obtient les (in)égalités annoncées.

98 CHAPITRE 4. APPLICATIONS

4.2.3. Pente maximale asymptotique d’un fibré vectoriel hermitien. – La

Dans le document Mémoires de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE (Page 95-100)