Passage d’une génération à l’autre (SOGA vs MOGA)

Dans cette partie, la comparaison consiste exclusivement à décrire nos versions particulières d’algorithme génétique. Certaines manières de faire sont néanmoins propres aux classes SOGA et MOGA.

Les différentes étapes permettant de passer d’une génération à l’autre vont être ici analysées. Dans l’ordre, nous passerons donc en revue les opérations de sélection, de croisement et de mutation. Nous terminerons par la définition de la nouvelle population, qui achève le changement de génération.

Nous noterons Ni le nombre d’individus constituant une population. On rappelle que ce nombre reste constant

au fil des itérations. On souhaite passer de la population Pk(kiemegénération) à la population Pk+1((k + 1)ieme

génération). Pour cela, deux populations intermédiaires sont créés. Il s’agit de la population-parent Pk,p et de

la population-fils Pk,f.

Opération de sélection

Cette étape peut être vue comme une initialisation de la nouvelle population Pk+1sur la base de la précédente

(Pk). Partant de la population Pk, nous allons donc former la population-parent Pk,p.

Voici les deux manières de faire.

– Pour la méthode de type SOGA, Npop individus de la population Pk sont choisis aléatoirement pour

former la population Pk,p. La probabilité de retenir un individu est proportionnelle à l’importance relative

de la valeur de son objectif. Par exemple, un individu associé à la valeur maximale de l’objectif a la plus forte probabilité d’être sélectionné. Bien sûr, un même individu peut être choisi plusieurs fois (sinon, on aurait automatiquement Pk,p= Pk).

– Concernant la méthode de type MOGA, une différence importante vient du fait que la population temporaire Pk,pest composée de

 Npop

2 

individus (bxc désignant la partie entière de x). La sélection des individus de Pk pour former la population Pk,p va se faire itérativement. En vue de choisir un individu,

on commence par retenir Ns individus distincts de Pk. Dans notre étude, l’entier Ns sera fixé à 2. Le

choix final de l’individu (parmi les Ns possibles) va se faire conformément au critère de qualité. Ainsi,

on sélectionne l’individu de rang minimal. Si le rang ne permet pas de dégager un individu, on se base sur le second indicateur de qualité : la distance. Parmi les individus de rang minimal (sur les Ns pré-

sélectionnés), nous prenons celui qui est associé à la distance maximale. Dans le cas où au moins deux individus restent en compétition, on en choisit alors un au hasard.

Cette population-parent Pk,p va être soumise à des modifications génétiques (croisement et mutation) pour

former la population-fils Pk,f (de même taille que Pk,p).

Opération de croisement

Cette opération consiste à créer deux individus-fils à partir de deux parents. A chaque opération de croise- ment, on remplace donc les deux parents par les deux fils. Pour faire le parallèle avec la biologie, il s’agit de la naissance de deux fils héritant du patrimoine génétique de leurs deux parents.

Concrètement, voici les deux variantes retenues pour effectuer le croisement.

– En présence de la méthode SOGA, on choisit de faire exactement deux opérations de croisement par changement de génération. La première étape est de choisir deux parents (notés Pc,1et Pc,2) aléatoirement

parmi la population Pk,p issue de l’opération de sélection. On autorise la sélection de deux parents

identiques. Ensuite, on détermine un nombre a, choisi aléatoirement entre 0 et 1 (loi uniforme). Dès lors, les deux fils Fc,1 et Fc,2cherchés s’obtiennent comme suit :

   Fc,1= aPc,1+ (1 − a)Pc,2 Fc,2= (1 − a)Pc,1+ aPc,2 (IV.4) – Pour la méthode MOGA d’algorithme génétique, c’est le nombre total d’opérations de modification génétique (croisement ou mutation) qui reste identique à chaque changement de génération. Il vaut

 Npop

2 

(taille de la population temporaire Pk,p). Le choix du type d’opération (croisement ou mutation)

est aléatoire, sachant que le croisement est privilégié sur la mutation (90% contre 10%).

On commence par sélectionner deux parents distincts (notés Pc,1et Pc,2). Ce choix se fait aléatoirement,

sur la base de la population-parent Pk,p. Les deux fils Fc,1et Fc,2 valent alors :

         Fc,1= (1 + ∆u)Pc,1+ (1 − ∆u)Pc,2 2 Fc,2= (1 − ∆u)Pc,1+ (1 + ∆u)Pc,2 2 (IV.5)

La valeur du paramètre ∆u dépend de celle de la quantité u, issue du tirage aléatoire d’un réel entre 0 et

1 suivant la loi uniforme. Voici les formules utilisées pour passer de u à ∆u :

   ∆u= (2u) 1 µ+1 _{si u ≤ 0.5} ∆u= (2(1 − u))− 1 µ+1 _{si u > 0.5} (IV.6) Dans notre variante d’algorithme génétique, le paramètre µ est égal à 20.

Opération de mutation

Un fils est ici déterminé à partir d’un unique parent soumis à une légère perturbation. Le fils remplace son parent à chaque mutation effectuée. On peut faire le parallèle avec la croissance d’un être vivant, qui voit son organisme subir différentes modifications au cours de sa vie.

En pratique, cette opération de mutation se réalise de la façon suivante.

– Dans le cas de la méthode de type SOGA, le nombre de mutations par changement de génération est fixé à deux. On se base sur la population-parent Pk,p qui vient de subir deux opérations de croisement.

Un parent Pm est sélectionné au hasard. Celui-ci vit dans un espace à d dimensions (d étant le nombre

de paramètres d’optimisation). Parmi les d dimensions de l’espace, on en sélectionne une au hasard. Elle sera notée dm. La diemem composante (Pm)dm de Pmest forcément comprise entre les valeurs Vdm,min et Vdm,max (bornes fixées au préalable, destinées à réduire le domaine d’exploration). On commence par

tirer une valeur u entre 0 et 1 (suivant la loi uniforme). Ensuite, les d composantes (Fm)1≤i≤ddu fils Fm

valent :          (Fm)i= (Pm)i si i 6= dm (Fm)dm = (Pm)dm+ ks(Vdm,max− (Pm)dm) si u ≤ 0.5 (Fm)dm = (Pm)dm− ks((Pm)dm− Vdm,min) si u > 0.5 (IV.7)

L’expression du paramètre k est :

ks= (a(1 −

gc

gmax

))µ2

où les entiers gc et gmax désignent respectivement le numéro de la génération courante et le nombre

maximal de générations demandées. On rappelle que l’algorithme génétique s’arrête dès que gc atteint la

valeur gmax (fixée avant de lancer la simulation). Le paramètre a est un réel pris aléatoirement entre 0 et

1 (loi uniforme). Enfin, la variable µ2 est une constante choisie une fois pour toute. Dans notre cas, elle

sera fixée à 3.

– Passons à la méthode de type MOGA. On choisit de faire une mutation (plutôt qu’un croisement) avec une probabilité de 10%, sachant que le choix est proposé  Npop

2 

fois à chaque changement de génération. L’opération de mutation débute par la sélection aléatoire d’un parent Pm∈ Pk,p. Ensuite, les

d composantes du fils Fm sont calculées. L’expression de la iieme composante (Fm)i du fils Fm est égale

(Fm)i= (Pm)i+ ∆i

où le paramètre ∆i (dépendant d’une variable ui tirée aléatoirement entre 0 et 1 suivant la loi uniforme)

vaut :    ∆i = (2ui) 1 µ2+1 _{si ui≤ 0.5} ∆i = (2(1 − ui))− 1 µ2+1 _{si ui > 0.5} (IV.8) La constante µ2 est fixée à 20 dans toute la suite de l’étude.

A l’issue des deux opérations de modification génétique (croisement et mutation), la population-fils Pk,f

est donc formée. Elle vient remplacer la population-parent dont elle est issue. Elle est de taille Npop (méthode

SOGA) ou Npop 2



(méthode MOGA).

Définition de la nouvelle population

Cette ultime étape est destinée à créer la nouvelle génération (population Pk+1). Le point de départ est la

population-fils Pk,f issue des trois étapes précédemment décrites (opérations de sélection, de croisement et de

mutation). L’idée importante de cette étape est de garantir que les modifications génétiques n’altèrent pas la qualité de la population de départ Pk. Cette population Pk+1ouvrira alors la voie à la nouvelle génération.

Le descriptif de cette étape est donné ci-dessous.

– Avec la méthode de type SOGA, la population Pk,f possède la taille adéquate (Npop individus). Elle

peut donc directement faire office de nouvelle population. Pour s’assurer que la qualité n’est pas dégradée, nous remplaçons simplement le moins bon membre de la population-fils Pk,f par le meilleur individu de

la population initiale Pk. On aboutit ainsi à la population Pk+1 cherchée.

– Par contre, en présence de la méthode de type MOGA, la taille de la population Pk,f n’est pas

conforme. La population Pk,f possède en effet environ deux fois moins d’individus que prévu (

 Npop

2  contre Npop). C’est pourquoi, nous introduisons une population intermédiaire (notée Pk+1n ). Elle provient

simplement du regroupement des populations Pk,f et Pk. Ainsi, cette population Pk+1n possède Npop+

 Npop

2 

individus. Pour construire la nouvelle population Pk+1, on sélectionne les Npopmeilleurs individus

de Pn

k+1. On rappelle que les meilleurs individus sont ceux de rang minimal et, en cas d’égalité de rang, de

distance maximale. Ces notions (rang et distance) ont été explicitées lors du premier point de comparaison des méthodes SOGA et MOGA. Cette sélection, basée sur le critère de qualité, garantit la non-dégradation des populations au fil des générations.

Pour les deux variantes d’algorithme génétique, le critère d’arrêt est donné par le nombre maximal de générations.