Passage au commutatif

Une r´esolution libre bifiltr´ee minimale de M est une suite exacte bifiltr´ee · · · → L1 → L0 → M → 0

avec Li = Dri[n(i)][m(i)], qui induit une r´esolution libre minimale

· · · → grV_(R(L

1)) → grV(R(L0)) → grV(R(M )) → 0 (1.4)

Cette derni`ere r´esolution est un complexe de modules sur l’anneau grV(D(h)). C’est un anneau noeth´erien non commutatif. Notre objectif est d’´etudier les nombres de Betti et les d´ecalages de la r´esolution minimale bifiltr´ee de M . On se propose, sous certaines conditions, de se ramener `a une situation d’alg`ebre commutative. Nous entendons par l`a que nous d´efinirons un module bigr(M ) sur l’anneau commutatif bigr(D), poss´edant une r´esolution minimale dont les invariants sont ceux du module M de d´epart.

Reprenons la suite exacte (1.4). On souhaite d´eshomog´en´eiser. Lemme 1.2.1. On a un isomorphisme d’anneaux

grV(D) ' gr

V_(D(h)₎

(h − 1) .

Proposition 1.2.1. On a un isomorphisme de grV_{(D)-modules gradu´es :}

On a grV(D)⊗_grV_(D(h)₎grV(R(M )) ' grV_{(R(M ))} (h − 1)grV_{(R(M ))} ' ⊕k grV k(R(M )) (h − 1)grV k(R(M )) . La derni`ere fl`_{eche est un isomorphisme de C-espaces vectoriels. Ainsi est} d´efinie la V -graduation.

Preuve Pr´ecisons le morphisme

ψ : ⊕grV_k(M ) → grV(D) ⊗ ⊕d,k Fd,k(M )Td Fd,k−1(M )Td . Soit ¯m ∈ grV k(M ), m ∈ Fd,k(M ). On pose ψ( ¯m) = 1⊗[mTd] o`u [mTd] d´esigne la classe de mTd dans Fd,k(M )Td/Fd,k−1(M )Td.

Montrons que ψ est bien d´efinie. Supposons m ∈ Fd1,k(M ) ∩ Fd2,k(M ) avec

d1 < d2. Alors

1 ⊗ [mTd1_{] = h}d2−d1 _{⊗ [mT}d1_{] = 1 ⊗ [mT}d1+d2−d1_{] = 1 ⊗ [mT}d2_]

donc ψ( ¯m) ne d´epend pas de l’entier d. D’autre part, si m ∈ Vk−1(M ), alors

il existe d tel que m ∈ Fd,k−1(M ) et [mTd] = 0 donc ψ( ¯m) = 0.

Montrons que ψ est grV_{(D)-lin´eaire. Soit ¯m ∈ gr}V

k(M ), m ∈ Fd,k(M ) et g(x)∂β _{∈ gr}V k0(D). On a ψ(g(x)∂β_{. ¯m) = ψ(g(x)∂}β_{m) = 1 ⊗ [g(x)∂}β_mTd+|β|_]. D’autre part g(x)∂β_{ψ( ¯m) = 1 ⊗ g(x)∂}β_.[mTd_{] = 1 ⊗ [g(x)∂}β_mTd+|β|_].

On d´efinit ensuite une application

φ : grV(D) × grV(R(M )) → grV(M )

comme suit : pour P ∈ Vk0(D) et m ∈ F_d,k(M ), φ(P , [mTd]) = P m ∈

grV

k+k0(M ). Montrons que cette application passe au produit tensoriel. Soit

Q = g(x)∂βhl ∈ Vk00(D(h)), alors φ(P .Q, [mTd]) = P g(x)∂β_{m ∈ gr}V k+k0_+k00(M ) et φ(P , Q.[mTd]) = φ(P , [g(x)∂βmTd+β+l] = P g(x)∂β_{m ∈ gr}V k+k0_+k00(M ).

On a donc une application

φ : grV(D) ⊗ grV(R(M )) → grV(M ).

Il est clair que φ est grV_{(D)-lin´eaire et que ψ et φ sont inverses l’une de}

l’autre. 

Le membre de droite de la Proposition 1.2.1 est la d´eshomog´en´eisation du module grV_{(R(M )), not´ee ρ(gr}V_{(R(M ))). Sur ce module, on peut d´efinir une}

F -filtration comme suit : grV_{(R(M )) est muni d’une graduation}

(grV(R(M )))d = ⊕k Fd,k(M )Td Fd,k−1(M )Td On d´efinit alors Fd(ρ(grV(R(M ))) = 1 ⊗ (grV(R(M )))d= 1 ⊗ ⊕k Fd,k(M )Td Fd,k−1(M )Td .

L’image de cette filtration par l’isomorphisme ψ−1 d´efinit une F -filtration sur grV_{(M ) :}

Fd(grV(M )) = ψ−1(Fd(ρ(grV(R(M )))) = ⊕k

Fd,k(M ) + Vk−1(M )

Vk−1(M )

. Le terme de degr´e d du gradu´e asoci´e est :

grF_d(grV(M )) = ⊕k

Fd,k(M ) + Vk−1(M )

Fd−1,k(M ) + Vk−1(M )

. Supposons maintenant que M v´erifie :

∀d, k, Fd,k(M ) = Fd(M ) ∩ Vk(M ). (1.5)

Lemme 1.2.2. Sous cette hypoth`ese, on a grF_dgrV_k(M ) ' Fd,k(M )

Fd,k−1(M ) + Fd−1,k(M )

.

D´efinition 1.2.1. Un grV(D(h))-module bigradu´e M est dit h-satur´e si l’ap- plication h : M → M est injective.

Lemme 1.2.3. grV_{(R(M )) est h-satur´e ⇔ ∀d, k, F}

d,k(M ) = Fd(M )∩Vk(M ).

Ce lemme exprime la h-saturation du module grV(R(M )) sous une forme particuli`erement simple, en termes de la bifiltration de M . Il d´ecoule des deux lemmes suivants.

Lemme 1.2.4. grV(R(M )) est h-satur´e ⇔ ∀d, k, Fd,k(M ) = Fd+1,k(M ) ∩ Fd,k+1(M ).

Preuve grV(R(M )) est h-satur´e ⇔ pour tous d, k, l’application h : Fd,k(M )T

d Fd,k−1(M )Td → Fd+1,k(M )T d+1 Fd+1,k−1(M )Td+1 est injective. Cela ´equivaut `a : ∀d, k, Fd,k(M ) ∩ Fd+1,k−1(M ) ⊂ Fd,k−1(M ) ⇔ (∀d, k, Fd,k(M ) = Fd+1,k(M ) ∩ Fd,k+1(M )) Lemme 1.2.5. (∀d, k, Fd,k(M ) = Fd+1,k(M ) ∩ Fd,k+1(M )) ⇔ (∀d, k, Fd,k(M ) = Fd(M ) ∩ Vk(M ))

Preuve Supposons (∀d, k, Fd,k(M ) = Fd+1,k(M ) ∩ Fd,k+1(M )). Soit x ∈

Fd(M ) ∩ Vk(M ). On sait ∃i ≥ 0, x ∈ Fd+i,k(M ) ∩ Fd,k+i(M ). Alors x ∈

Fd0_,k0(M ) si    d0 ≥ d k0 ≥ k d0+ k0 = d + k + 2i − 1

Montrons par r´ecurrence descendante sur j ≥ 0 que x ∈ Fd0_,k0(M ) si

   d0 ≥ d k0 ≥ k d0 + k0 = d + k + j

Le premier pas de la r´ecurrence est donn´e par j = 2i − 1. Supposons la propri´et´e vraie au rang j. Soit (d0, k0) tel que

   d0 ≥ d k0 ≥ k d0+ k0 = d + k + j − 1 On a x ∈ Fd0_+1,k0(M ) ∩ F_d0_,k0₊₁(M ) ⊂ F_d0_,k0. Pour j = 0 on a donc x ∈ Fd,k(M ).

La r´eciproque est ´_evidente.

On va alors ´enoncer un r´esultat analogue au th´eor`eme 3.4 de [12], ce qui fournira une d´efinition des r´esolutions minimales bifiltr´ees via la bigradua- tion.

Auparavant, on a besoin d’un r´esultat analogue `a la Proposition 3.3 de [12]. L’isomorphisme d’anneaux grV_{(D) '} grV_(D(h)₎

(h−1) nous a permis de

d´efinir un foncteur ρ = grV_{(D) ⊗}

la cat´egorie des grV(D(h))-modules bigradu´es vers la cat´egorie des grV(D)- modules gradu´es F -filtr´es.

R´eciproquement, on a un isomorphisme d’anneaux R(grV_{(D)) ' gr}V_(D(h)₎

qui fournit un foncteur d’homog´en´eisation not´e encore R, de la cat´egorie des grV_{(D)-modules gradu´es F -filtr´es vers la cat´egorie des gr}V_(D(h)_)-modules

bigradu´es.

Proposition 1.2.2. Les foncteurs ρ et R sont exacts et ´etablissent une ´

equivalence de cat´egorie entre la cat´egorie des grV_(D(h)_{)-modules bigradu´es}

h-satur´es de type fini et la cat´egorie des grV_{(D)-modules gradu´es munis d’une}

bonne F -filtration.

La d´emonstration est analogue `a celle de la Proposition 3.3 de [12]. Notation : Pour un D-module bifiltr´e M , notons

bigr(M ) = ⊕d,k

Fd,k(M )

Fd−1,k(N ) + Fd,k−1(M )

. C’est un module bigradu´e sur l’anneau bigr(D) commutatif.

Th´eor`eme 1.2.1. Soit M un D-module muni d’une bonne bifiltration tel que ∀d, k, Fd,k(M ) = Fd(M ) ∩ Vk(M ). Alors il existe une unique r´esolution

bifiltr´ee libre

· · · → L1 → L0 → M → 0.

qui induit une r´esolution bigradu´ee minimale libre

· · · → bigr(L1) → bigr(L0) → bigr(M ) → 0.

De plus cette r´esolution est la r´esolution minimale bifiltr´ee de M au sens de la D´efinition 1.1.6.

Preuve Partons de la r´esolution bifiltr´ee minimale de M :

· · · → L1 → L0 → M → 0 (1.6)

Par d´efinition, elle induit une r´esolution bigradu´ee libre minimale

· · · → grV(R(L1)) → grV(R(L0)) → grV(R(M )) → 0. (1.7)

D´eshomog´en´eisons la r´esolution (1.7), i.e. appliquons le foncteur ρ, pour ob- tenir un complexe

o`u L0_i ' grV_(L i).

Or M v´erifie l’hypoth`ese (1.5) et chaque Li ´egalement, alors les modules

grV_(R(L

i)) et grV(R(M )) sont h-satur´es d’apr`es le Lemme 1.2.3, donc le

complexe (1.8) est F -filtr´e par la Proposition 1.2.2. On peut le F -graduer pour obtenir une suite exacte bigradu´ee

· · · → bigr(L1) → bigr(L0) → bigr(M ) → 0 (1.9)

en utilisant le Lemme 1.2.2.

Pour passer de (1.7) `a (1.9), dans les matrices on fait h = 0, alors la r´esolution (1.9) est minimale. On a donc montr´e que la r´esolution bifiltr´ee minimale de M satisfait l’´enonc´e. De plus, le module bigradu´e bigr(M ) et le module bifiltr´e M ont les mˆemes nombres de Betti.

Pour montrer l’unicit´e, on va montrer qu’une r´esolution satisfaisant l’´enonc´e est une r´esolution minimale bifiltr´ee. Soit donc

· · · → L1 → L0 → M → 0 (1.10)

une r´esolution bifiltr´ee qui induit une r´esolution bigradu´ee minimale · · · → bigr(L1) → bigr(L0) → bigr(M ) → 0.

La r´esolution (1.10) a donc les nombres de Betti du module bigradu´e grV(R(M )). D’autre part, en appliquant `a (1.10) le foncteur de Rees puis en graduant par rapport `a la V -filtration, on obtient une suite exacte bigradu´ee

· · · → grV(R(L1)) → grV(R(L0)) → grV(R(M )) → 0.

Cette suite exacte est donc une r´esolution minimale bigradu´_{ee. }

Corollaire 1.2.1. Sous les hypoth`ese du th´eor`eme, les nombres de Betti et les d´ecalages du module bifiltr´e M sont les nombres de Betti et les d´ecalages du module bigradu´e bigr(M ).

Donnons un ´enonc´e sur la remont´ee des suites exactes bigradu´ees. Proposition 1.2.3. Soient M1, M2, M3 des D-modules munis de bonnes bi-

filtrations tels que ∀i, d, k, Fd,k(Mi) = Fd(Mi) ∩ Vk(Mi). Soit un complexe

bifiltr´e

M1 → M2 → M3.

Alors

1. La suite bigrM1 → bigrM2 → bigrM3 est un complexe.

2. Si ce dernier est exact, alors le complexe M1 → M2 → M3 est bifiltr´e

Preuve bigrM1 → bigrM2 → bigrM3 est un complexe : suivre les ´etapes

de la d´emonstration du Th´eor`eme 1.2.1 : homog´en´eisation, V -graduation, d´ehomog´en´eisation, F -graduation.

Supposons le complexe bigrM1 → bigrM2 → bigrM3 exact. Alors le com-

plexe

grVM1 → grVM2 → grVM3

est exact (remont´ee des suites exactes F -filtr´ees) et V -gradu´e. Le complexe grVRM1 → grVRM2 → grVRM3

est exact (homog´en´eisation) bigradu´e. Le complexe RM1 → RM2 → RM3

est exact gradu´e V -filtr´e d’apr`es [12], Proposition 2.5. Finalement par d´ehomog´en´eisation, le complexe

M1 → M2 → M3

est exact bifiltr´_{e. }