prazo correspondente a janeiro de 2012. Assim, o caso de estudo é composto por quatro subsistemas equivalentes: Sudeste/Centro-Oeste, Sul, Nordeste e Norte. O horizonte de estudo compreende um período de cinco anos de estudo e, para uma melhor análise da otimalidade das soluções, os períodos de pós-estudo não foram considerados.
As afluências utilizadas correspondem ao histórico de vazões tanto para o cálculo da política eletroenergética quanto para as simulações de operação. Contudo, foi utilizado somente um cenário de afluências, correspondendo à sequência de energia afluente obtida a partir do primeiro registro do histórico. Ou seja, utilizou-se a faixa de afluências compreendidas entre janeiro de 1931 a dezembro de 1935 de forma sequencial tal que resulta em um horizonte de estudo com um total de 60 estágios.
Como o estudo proposto nesta seção considera somente um cenário de afluência, pode-se comparar o resultado obtido pela metodologia proposta com o valor ótimo da solução do problema, que é obtido através do método determinístico da PDDD. Além disso, foram feitas simulações de forma a comparar resultados obtidos da discretização uniforme da PDE-CH com os resultados obtidos na metodologia proposta de discretização eficiente. Foram utilizadas 2 discretizações para a aproximação inicial da PDEE e as tolerâncias utilizadas na simulação correspondem a valores percentuais do erro máximo em relação aos valores máximo e mínimo de custo obtidos na aproximação inicial. Os
resultados gerais são apresentados na Tabela 30.
Tabela 30 – Comparação entre os resultados
Descrição Custo (109 R$) Tempo (s)
PDDD 17.36857 36 PDEE: Tolerância 10% 23.38098 27 PDEE: Tolerância 5% 21.83960 50 PDEE: Tolerância 2% 18.10316 100 PDEE: Tolerância 1% 17.51640 170 PDEE: Tolerância 0,5% 17.38660 370 PDE-CH: 3 Discretizações 26.36064 7 PDE-CH: 5 Discretizações 19.19205 77 PDE-CH: 7 Discretizações 17.74765 541
Observa-se que, em função da diminuição da tolerância utilizada na PDEE, o tempo computacional despendido aumenta e o custo de operação se aproxima do valor ótimo, de acordo com o esperado. Em relação à PDE-CH, quanto mais discretizações utilizadas, maior é o esforço computacional e também observa-se a aproximação em relação ao valor ótimo. Porém, o valor do custo de operação obtido desta última técnica que utiliza a discretização uniforme de espaço de estados não é tão próximo quanto ao que foi encontrado pela técnica que utiliza a discretização eficiente.
A convergência utilizada para a PDDD foi de R$100,00, tal que a solução ótima do problema seja bem descrita na ordem de grandeza dos custos obtidos. A PDDD apresenta uma convergência rápida porque resolve-se o caso determinístico e a função de custo futuro obtida não contempla todo o espaço de estados, porém é suficiente para a determinação da política ótima para a ocorrência da série em questão dada a mesma condição inicial (energia armazenada no início do período de planejamento). Por isto, o tempo computacional obtido por esta técnica é consideravelmente inferior.
O resultado obtido ao utilizar a tolerância de 0,5% para a PDEE se aproxima consideravelmente do valor ótimo para a série em estudo. Porém, além de avaliar o custo de simulação obtido, serão apresentadas características das convergências do processo. Ressalta-se que, como proposto, o processo iterativo da PDEE é aplicado a cada estágio do planejamento para o qual determina-se função de custo futuro.
Os casos exemplo ilustrados no Capítulo 7 para um e dois subsistemas equivalentes de energia foram resolvidos somente para o último estágio de planejamento. Nesta seção, o horizonte de planejamento utilizado é consideravelmente maior, tal que pode-se também verificar o efeito da aplicação aninhada da metodologia proposta, em que a convergência é realizada tal que os erros encontrados durante a o estágio t se referem à transição t æ t+1.
Deve-se, então, lembrar que há erros adicionais nas relações t + 1 æ t + 2, t + 2 æ t + 3 e assim por diante, de acordo com a tolerância adotada. Contudo, a aproximação à PDDD foi obtida mesmo para o caso em estudo com 60 estágios.
De forma a aferir o comportamento geral da metodologia na diminuição do erro ao longo das iterações para os diversos estágios do problema, apresentam-se convergências de estágios específicos. Assim, será inicialmente avaliado, através da Tabela 31, o penúltimo estágio de planejamento, que corresponde a novembro de 2016. Serão mostrados os erros obtidos ao longo do processo iterativo e o número acumulado de vértices determinados pelo algoritmo de Halfspace Intersection. Cada vértice representa um estado de armazenamento a ser considerado que, por consequência, determina PPL’s para a construção de um corte. O fator representado por erro_maxi≠1/erro_maxi representa como o erro diminui ao longo de iterações consecutivas, em que fatores maiores representam quedas maiores no erro máximo obtido.
Tabela 31 – Análise da metodologia da PDEE para 11/2016
Iteração (i) erro_maxi erro_maxi≠1/erro_maxi Vértices
1 7 208 773.62 — 60
2 783 824.28 9.20 152
3 69 564.55 11.27 218
O processo convergiu em 3 iterações e as quedas apresentadas no erro entre iterações consecutivas são altas porque o caráter linear por partes é predominante no caso determinístico, sobretudo nos estágios finais do planejamento. Graficamente, a aproximação é mostrada no gráfico da Figura 62.
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8x 10 6 Erro Máximo em 11/2016 Iterações Erro (R$)
Erro máximo ao longo das iterações Tolerância
Quedas abruptas no erro também podem ocorrer, como no período de julho de 2016. A Tabela 32 mostra o comportamento obtido.
Tabela 32 – Análise da metodologia da PDEE para 7/2016
Iteração (i) erro_maxi erro_maxi≠1/erro_maxi Vértices
1 6 325 282.87 — 98
2 4 296 529.69 1.47 558
3 359 225.38 11.96 2 180
Graficamente, a convergência é apresentada na Figura 63.
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 0 1 2 3 4 5 6 7x 10 6 Erro Máximo em 7/2016 Iterações Erro (R$)
Erro máximo ao longo das iterações Tolerância
Figura 63 – Convergência da PDEE obtida para 7/2016
Adicionalmente, comparando a Tabela 31 com a Tablela 32 observa-se que há uma diferença considerável no número de vértices encontrados ao longo das iterações. Isto mostra que o número de vértices encontrados pelo HI pode ser maior em estágios específicos, tal que FCF’s de alguns estágios podem demandar a utilização de um número maior de vértices.
Outro ponto a ser visto é que valores mais baixos de tolerância podem demandar um número excessivamente alto de vértices a serem avaliados de tal forma que a execução do cálculo pode não ser realizável dentro de um tempo viável.
Para analisar a convergência obtida em outro estágio, a Tabela 33 apresenta o comportamento obtido na resolução do problema referente a novembro de 2015.
Tabela 33 – Análise da metodologia para 11/2015
Iteração (i) erro_maxi erro_maxi≠1/erro_maxi Vértices
1 16 013 973.09 — 116
2 5 280 259.41 3.03 612
3 1 945 440.79 2.71 2 728
4 506 186.43 3.84 6 576
5 317 428.45 1.59 6 648
É possível observar que a aproximação se dá em razões de ordens de grandeza próximas àquelas obtidas nos exemplos do Capítulo 7, mostrando que as considerações an- teriores podem ser estendidas para casos de maior dimensão. Graficamente, a convergência obtida para 11/2015 é apresentada na Figura 64.
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18x 10 6 Erro Máximo em 11/2015 Iterações Erro (R$)
Erro máximo ao longo das iterações Tolerância
Figura 64 – Convergência da PDEE obtida para 11/2015
Outra observação que pode ser feita com relação a estes resultados é quanto ao número de pontos ou vértices obtidos na 4a e 5a iterações mostrados na Tabela 33. Devido à tolerância adotada, começa a haver vértices repetidos entre iterações consecutivas e o pequeno acréscimo relativo entre as iterações destacadas mostra que na última iteração houve uma aproximação local sobre uma região que ainda não estava com a aproximação adequada. Ou seja, há uma evidência de que realmente há a capacidade do algoritmo realizar aproximação local mesmo em dimensões maiores, o que reforça a ideia inicial de uma discretização eficiente.
Os comportamentos apresentados nos demais estágios são bastante próximos aos exemplificados na presente seção. Entretanto, em alguns estágios a convergência ocorre já
na primeira iteração e no caso simulado, não houve mais do que 5 iterações para qualquer estágio. Como apresentado anteriormente, o número esperado de iterações depende mais fortemente da tolerância utilizada, enquanto o número de vértices ou tempo por iteração apresentam forte dependência com o número de cenários e número de reservatórios considerados.
Quanto à utilização da PDEE em problemas com afluências determinísticas, pode-se citar uma vantagem relativa a esta técnica que é da política obtida não depender do estado inicial do problema. Isto porque diversas discretizações de armazenamento são avaliadas tal que a função de custo futuro determinada pode ser utilizada para estados iniciais distintos do apresentado no caso de estudo. Sendo assim, a condição de subotimalidade que seria marcante na PDDD ao alterar os volumes iniciais não ocorre nas metodologias da PDE-CH ou da PDEE. Assim, a FCF produzida pelos modelos baseados em PDE aplicados em problemas com afluência determinística tendem a ser mais abrangentes e fornecerem políticas menos sensíveis a desvios nos estados iniciais, porém, demandam um custo computacional incremental considerável, tal que o tempo de resolução da PDDD é consideravelmente menor. A dinâmica da técnica da PDEE tem uma função similar à tabela de estados de Bellman, que descreve diversas possibilidades para os estados operacionais ao longo do estudo de planejamento. Assim, mesmo que aplicada a um problema determinístico, a PDEE considera uma quantidade bastante aumentada de possibilidades quando comparada à PDDD.